向量方法在高中數(shù)學解題中的應用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上向量方法在高中數(shù)學解題中的應用王賢舉摘要：向量具有豐富的物理背景。它既是幾何的研究對象，又是代數(shù)的研究對象，是溝通代數(shù)、幾何的橋梁。通過向量法使代數(shù)問題幾何化、使幾何問題代數(shù)化、使代數(shù)問題和幾何問題相互轉(zhuǎn)化的一些實例，體現(xiàn)向量法在解決中學代數(shù)問題和幾何問題的一些作用和優(yōu)點。關鍵詞：高中數(shù)學；向量法；解題；應用Abstract: The vector has rich physical backgrounds. It is both the object of geometry and the object of algebra, and also is the bri

2、dge of algebra and geometry. By some examples about vector methods that make some algebra problems into geometry problems, or make some geometry problems into algebra problems, or make algebra problems and geometry problems transform mutually, it manifests the merit of vector methods in solving alge

3、bra and geometry problems in senior high school mathematics.Key word: Senior high school mathematics; Vector methods; Problem solving; Application1、向量與高中數(shù)學教學向量是既有大小，又有方向的量【1】，是數(shù)學中的重要概念之一。向量具有豐富的物理背景，如力、位移、速度、加速度、動量、電場強度等都是向量。在高中數(shù)學新課程中設置向量的內(nèi)容，是基于以下幾方面原因：1.1向量是幾何的研究對象物體的位置和外形是幾何學的基本研究對象。向量可以表示物體的位置，也是

4、一種幾何圖形（幾何里用有向線段表示向量：所指的方向為向量的方向，線段的長度表示向量的大?。蚨蔀閹缀螌W的基本研究對象。作為幾何學的研究對象，向量有方向，可以刻畫直線、平面等幾何對象及它們的位置關系；向量有長度，可以刻畫長度、面積、體積等幾何度量問題。1.2向量是代數(shù)的研究對象運算及其規(guī)律是代數(shù)學的基本研究對象。向量可以進行加、減、數(shù)乘、數(shù)量積（點乘）等多種運算，這些運算及其規(guī)律賦予向量集合特定的結(jié)構(gòu)，使得向量具有一系列豐富的性質(zhì)。向量的運算及其性質(zhì)自然成為代數(shù)學的研究對象。1.3向量是代數(shù)研究對象和幾何研究對象的橋梁。著名數(shù)學家拉格朗日曾經(jīng)說過：“只要代數(shù)同幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢

5、.它們的應用就狹窄。但當這兩門科學結(jié)合成伴侶時，它們就互相吸收新鮮的活力，從而以快捷的步伐走向完美”。我國著名數(shù)學家華羅庚先生也有“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”的精辟論述。高中數(shù)學中引入向量后【2】，通過在代數(shù)、幾何中應用，改善教材結(jié)構(gòu)、簡化解題方法，也可通過在幾何中的應用，加深對向量內(nèi)容的理解。數(shù)學新大綱【3】引入向量后學習這部分內(nèi)容既可了解向量的實際應用，又可加深對該部分內(nèi)容的理解。本文通過向量法使代數(shù)問題幾何化、使幾何問題代數(shù)化、使代數(shù)問題和幾何問題相互轉(zhuǎn)化的一些實例，體現(xiàn)向量法在解決中學代數(shù)問題和幾何問題的一些作用和優(yōu)點。從而讓學生學會使用向量法來解決高中數(shù)學問題，提高數(shù)學解題能力

6、。2、向量方法在高中數(shù)學解題中的應用2.1、向量法使代數(shù)問題幾何化向量溝通了代數(shù)與幾何的聯(lián)系，因此對某些代數(shù)問題，如能巧妙地構(gòu)造向量，便能將其轉(zhuǎn)化為幾何問題【4】，從而使問題簡化。例1、證明：對于任意兩個向量，都有。證明：若中有一個為，則不等式顯見 成立若都不是時，作,則.（1） 當不共線時，如圖1所示，則,即.（2） 當共線時，若同向，如圖2所示， 即.若反向，如圖3所示， ,則綜上可知： .評注：該命題的證明方法有多種，但應用向量工具把代數(shù)問題幾何化，使其理解更容易和具體化。通過向量具有數(shù)形結(jié)合的性質(zhì)，當兩個向量不共線時，利用向量的三角形法則，轉(zhuǎn)化為幾何中三角形的性質(zhì)進行討論，得出.當兩向

7、量共線時，轉(zhuǎn)化為對線段的討論，從而可得到。2.2、向量法使幾何問題代數(shù)化通過對向量的學習可知，向量有一整套的符號和運算系統(tǒng)，對大量的幾何問題，不但可以用向量的語言加以敘述，而且完全可以借助向量的方法予以證明，從而把抽象的邏輯推理轉(zhuǎn)化為具體的向量運算【5】。例1、求證：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。證明：如圖4所示，在中，是邊上的中點。由向量加法的平行四邊形法則知 , 評注：向量作為聯(lián)系代數(shù)與幾何圖形的最佳橋梁，它可以使圖形量化，使圖形間的關系代數(shù)化。本題將直角三角形的各邊及斜邊上的中線用向量表示出來，利用平面向量的平行四邊形法則和兩向量垂直時數(shù)量積為0，轉(zhuǎn)化為向量的代數(shù)運算，得，即證得

8、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。例2、設拋物線的焦點為，經(jīng)過點的直線交拋物線于、兩點。點在拋物線的準線上，且/軸.求證：直線經(jīng)過原點【6】。證明：如圖5所示，設，（圖5）由題設可知，故, .由三點共線，知,. 且直線與直線有公共點，、三點共線，即直線經(jīng)過原點.評注：用向量方法去解傳統(tǒng)的立體幾何題也是有優(yōu)勢的，能使問題很清晰，本題通過建立平面直角坐標，可得到向量。根據(jù)三點共線得是共線的向量，從而可求得也是共線向量。由平面上共線的兩向量有公共點時，那么這三點在同一直線上，所以直線AC經(jīng)過原點O。例3、如圖6,在直三棱柱中,底面是等腰直角三角形,側(cè)棱,分別是與的中點,點在平面上的射影是的重心。

9、(1)求與平面所成的角的大小(結(jié)果用 反三角函數(shù)值表示);(2)求點到平面的距離。 解: 以為原點,分別為軸,建立空間直角坐標系,設則, 從而,由得 即,.(1) 設與平面所成的角,即與所成的角為,.(2) 設點在平面上的射影為則即代入運算得 或 (舍去) 從而評注：向量解決問題的直接好處體現(xiàn)得異常充分,學生比較容易找到落腳點,把空間的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,從向量的角度切入,可以有效地避開很多難點。本題通過建立空間直角坐標系，設，得到向量,。根據(jù)空間直線與平面間的定理可得，算出CA的長，在由之間的數(shù)量積、夾角和模的關系，可求出的夾角，即為設與平面所成的角。設點在平面上的射影為，可得到向量由兩向量

10、垂直時其數(shù)量積為0得可算出H的長度，也就是點到平面的距離。2.3、向量法使幾何與代數(shù)問題相互轉(zhuǎn)化在直角坐標系中，向量的坐標運算有加、減、數(shù)乘運算、數(shù)量積運算。建 立適當?shù)闹苯亲鴺?，通過向量的坐標運算將向量的幾何運算與代數(shù)運算有機結(jié)合起來【7】，充分體現(xiàn)了解析幾何的思想，讓學生初步利用"解析法"來解決實際問題。例 1、 已知直線平面，直線平面，垂足分別為A，B。求證： 證明 如圖1，在平面內(nèi)，過點A作互相垂直向量 ，以 三個不共面的向量作為基底，沿基底，分解向量，（圖1） 由空間向量基本定理可設 ， （1） （2）由，得AC，AD，同理AC，AD.又AC AD，且，分別代入（

11、1）、（2）得. 。.評注：本題根據(jù)空間的任一向量都可以用不共面的一組基底線性表示，利用不共線向量基本定理及兩向量垂直時的數(shù)量積為0，證得，則。例2 、如圖2，給出定點和直線AC-1BOyxB是直線上的動點，的角平分線交AB于點C，求C點的軌跡方程 ，并討論方程表示的曲線類型a值的關系。解 設則 由OC平分，知（圖2）(1) 當 又與共線，有 將代入得：(2) 當時，點C（0，0）適合。綜上（1）、（2）得C的軌跡方程為：評注：本題通過數(shù)形結(jié)合，建立平面坐標，設出相應的向量，可得到向量，根據(jù)角平分線定理得向量和的夾角相等，找出等量關系式進而求出c點的軌跡方程。例3、設點A和B為拋物線知原點以外

12、的兩個動點，已知求點M的軌跡方程 ，并說明它表示什么曲線。解：如圖3設 則（圖3） 即 化簡得 又垂直 即化簡得 ： 又即將代入得：A、B是異于原點的點，故，所以點M的軌跡方程為它表示為圓心，以2p為半徑的圓（除去圓點）.評注：本題通過建立平面直角坐標，將，AM轉(zhuǎn)化為向量，根據(jù)由兩向量垂直，它們的數(shù)量積為0，得又由共線向量的基本定理進行代數(shù)運算，從而求出點M的軌跡方程。例4、 如圖4，在四棱錐中，底面四邊長為1的菱形，, , ,為的中點，為的中點【8】（）證明：直線；（圖4）（）求異面直線AB與MD所成角的大??； （）求點B到平面OCD的距離。解： 方法一（空間定理法）（1）取OB中點E，連接

13、ME，NE又（2） 為異面直線與所成的角（或其補角）作連接，所以 與所成角的大小為（3）點A和點B到平面OCD的距離相等，連接OP,過點A作 于點Q，又 ,線段AQ的長就是點A到平面OCD的距離，所以點B到平面OCD的距離為方法二（向量法）解：作APCD于點P，如圖，分別以AB，AP，AO所在直線為x，y，z軸建立坐 標系（圖） ， （1）， 設平面OCD的法向量為，則=0，=0 即 取，解得 MN平面OCD （2）設AB與MD所成的角為， AB與MD所成角的大小為 （3）設點B到平面OCD的距離為d，則d為OB在向量上的投影的絕對值， 由OB=(1,0,-2)，得d= 所以點B到平面OCD的

14、距離為評注：本題通過用用常規(guī)法和向量法兩種方法來解題，可以看出向量法解題的方便，通過作APCD于點P，建立空間直角A-xyz坐標系，找出向量的坐標，設平面OCD的法向量為則 可以得到MN平面OCD。根據(jù)AB與MD的夾角、模和數(shù)量積的關系可算出AB與MD所成角。由向量OB在法向量上投影的絕對值求得點B到平面OCD的距離。運用向量法解題，是解決立體幾何題得好方法。3、小結(jié)與展望向量既是代數(shù)的對象，又是幾何的對象。是溝通代數(shù)與幾何的橋梁。向量作為代數(shù)對象，向量可以進行運算。作為幾何對象，向量有方向，可以刻畫直線、平面、切線等幾何對象；向量有長度，可以刻畫長度、面積、體積等幾何度量問題。因此學好向量在

15、高中數(shù)學中的應用是非常重要的。本文通過用向量方法解決高中數(shù)學中的一些幾何問題與代數(shù)問題，認識向量是一種處理幾何問題、代數(shù)問題等的好方法。其中包括向量法使代數(shù)問題幾何化、向量法使幾何問題代數(shù)化及向量法使幾何與代數(shù)問題相互轉(zhuǎn)化。把向量的代數(shù)和幾何聯(lián)系在一起。讓學生學好向量在高中數(shù)學中的解題方法，進一步促進學生對代數(shù)幾何的理解，運用代數(shù)幾何化、幾何代數(shù)化的方法，從多角度思維，充分體現(xiàn)了在應用向量來解題的過程中用到的數(shù)形結(jié)合的思想方法給我們帶來方便。增進對數(shù)學中向量的理解，注重向量的代數(shù)性質(zhì)及其幾何意義，掌握向量方法在數(shù)學解題中的應用。參考文獻1全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本·必修）第一冊（下）M.人民教育出版社2003 2王列惠.談高中數(shù)學中增加“向量”內(nèi)容J.數(shù)學通訊,1998年