華中科技大學(xué)2018年數(shù)學(xué)分析解答

1、華中科技大學(xué)2019年招收碩士研究生入學(xué)考試試題考試科目：數(shù)學(xué)分析(共10題，每小題15分).博士家園試題解答員：magic9901歡迎提供更多試題，我們會(huì)竭力幫助您！1.設(shè)2.設(shè)f(x)在區(qū)間0，1上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)= f(1)=0，試給出的一個(gè)估計(jì)。3.設(shè)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),證明：4.設(shè)f(x)在區(qū)間上可微且恒大于零，f(0)=1，單調(diào)減，證明：5. 設(shè)f(x)在區(qū)間a，b上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，,證明：6.設(shè)r>1為常數(shù)，級(jí)數(shù)收斂，求冪級(jí)數(shù)的收斂域。7. 設(shè)f(x)在區(qū)間上有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，是f(x)在區(qū)間上的Fourier系數(shù)，證明：存在常數(shù)M>0，使得。8.設(shè)Q(x,y

2、) 有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，積分完全決定于L的起點(diǎn)與終點(diǎn)，且對(duì)任何實(shí)數(shù)z成立等式：，求函數(shù)Q(x,y)。9. 設(shè)記球面，A是內(nèi)部一點(diǎn)，它與原點(diǎn)的距離為q,0<q<1, 記點(diǎn)A與上的點(diǎn)之間的距離，求10. 設(shè)是區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)，當(dāng)時(shí)， 一致收斂于函數(shù)f(x)，每個(gè)均有零點(diǎn)，證明：f(x) 至少有一個(gè)零點(diǎn)。2019年碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)分析試題參考解答1.解：容易知道，所以由題設(shè)條件可以得到：因此就有：2.解：由題設(shè)條件將f(x)分別在小x=0,x=1展成Taylor級(jí)數(shù)，就有：所以，因此，故。3.4.證明：由題設(shè)條件單調(diào)減，故，所以有：， 因此有：也就是：注意到f(0)=1即5.

3、證明：所以有：。6.7.證明：因?yàn)閒(x)在區(qū)間上有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，所以在上連續(xù)，故存在使得同理在上連續(xù)，故存在使得又由于是f(x)在區(qū)間上的Fourier系數(shù)，所以因此有：所以存在常數(shù)，使得：所以存在常數(shù)M>0，使得。8.解：由題設(shè)條件Q(x,y) 有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，積分完全決定于L的起點(diǎn)與終點(diǎn)，所以根據(jù)格林公式有因此另一方面，對(duì)任何實(shí)數(shù)z成立等式：，故有：，即：，所以：，把代入前式得到：，等式兩邊對(duì)z求導(dǎo)數(shù)得：，所以：910.證明：用反證法，假設(shè)f(x)在a,b上沒(méi)有零點(diǎn)，則.f(x)在a,b上不變號(hào)，不妨設(shè)，由于是連續(xù)函數(shù)，且在a,b上一致收斂到f(x)，故f(x)也是連續(xù)函數(shù)，則存在從而，取，則由于在a,b上一致收斂到f(x)，故存在自然數(shù)N，當(dāng)