分離變量在求定解問(wèn)題時(shí)的應(yīng)用

1、數(shù)學(xué)物理方法課程論文題目：分離變量在求定解問(wèn)題時(shí)的應(yīng)用系別：物理系 物理學(xué)班級(jí)：1101班姓名：李海濤學(xué)號(hào)：201105021262013年6月7日分離變量在求定解問(wèn)題時(shí)的應(yīng)用摘要：分離變量在解決數(shù)學(xué)物理方法微分方程中有著廣泛的應(yīng)用，它是求解微分方程的一種常用的輔助方法，是通過(guò)對(duì)原方程的變量（固變量或自變量）用新的變量替換使原方程化為相對(duì)簡(jiǎn)單的和我們能解的方程類(lèi)型，從而達(dá)到求解的目的。本文將通過(guò)實(shí)例給出分離變量在數(shù)學(xué)物理方法中的具體應(yīng)用。關(guān)鍵詞:常微分方程 偏微分方程 分離變量正文：物理模型：一個(gè)分兩段均勻的金屬細(xì)桿的側(cè)面絕熱，兩端保持零度，在銜接處按牛頓定律進(jìn)行熱交換，已知桿的初始溫度，求其

2、自由冷卻。首先需要把這個(gè)物理問(wèn)題表示為定解問(wèn)題。解：以細(xì)桿軸為x軸，桿左端邊緣垂直細(xì)桿軸的為y軸。桿上溫度滿足泛定方程 （x t0） (x t0）細(xì)桿兩端保持零度，可以寫(xiě)出邊界條件和初始條件：0x）（x）在銜接處按牛頓定律進(jìn)行熱交換，可以得到銜接條件 （1）設(shè)：兩端接觸良好，即接近于0的情況。于是銜接條件簡(jiǎn)化為溫度和熱流連續(xù) （）按照分離變量法 代入泛定方程。齊次邊界條件和銜接條件得 令 可以得到于是分離結(jié)果為 （2） 和（2）式為本征值問(wèn)題，由齊次邊界條件得 （3）代入銜接條件得 （4） 因?yàn)椴荒芡瑫r(shí)為零，所以要求上述代數(shù)方程組的系數(shù)行列式等于0.即 （5）若=0，則（4）式中,即為零解，所

3、以，有令 所以上式可以改寫(xiě)為 （6）用近似解求該方程的根，顯然當(dāng)時(shí)，（6）式可寫(xiě)為解得: （n=1,2,3）其中 特別當(dāng)時(shí)，即退化為均勻細(xì)桿的熱傳導(dǎo)情況，一般設(shè)（6）式根或本征值為： （n=1,2,3） （7）則本征函數(shù)為 （8）其中已經(jīng)選取，而由（4）式?jīng)Q定，即 （9）其中 其余方程的解為： （10）由（10）式和（8）式可得分離形式的特解，將它們線性疊加得到定解問(wèn)題的一般解： （11）代入初始條件可得 （12）展開(kāi)系數(shù)，又因?yàn)椋?）式的正交性質(zhì)，可以證明，它們具有正交性質(zhì) （13）其中 （14）所以（13）式也可以寫(xiě)成 （15）其中為本征函數(shù)的模利用正交性質(zhì)（13）式，易得展開(kāi)系數(shù)公式 （

4、16）其中 將（16）式代入（11）式，即得到定解問(wèn)題的解為： 通過(guò)上述例子可以看出，分離變量法在解決實(shí)際物理問(wèn)題中有著非常重要的作用，它是通過(guò)把一個(gè)實(shí)際的物理模型用數(shù)學(xué)模型表示出來(lái)。然后通過(guò)分離變量把問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而得到物理問(wèn)題的解?？偨Y(jié)：數(shù)學(xué)物理以研究物理問(wèn)題為目標(biāo)的數(shù)學(xué)理論和數(shù)學(xué)方法。它探討的是物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，即尋找物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述，并對(duì)模型已確立的物理問(wèn)題研究其數(shù)學(xué)解法，然后根據(jù)解答來(lái)詮釋和預(yù)見(jiàn)物理現(xiàn)象，或者根據(jù)物理事實(shí)來(lái)修正原有模型。物理問(wèn)題的研究一直和數(shù)學(xué)密切相關(guān)，許多數(shù)學(xué)理論是在物理問(wèn)題的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，很多數(shù)學(xué)方法和工具通常也只在物理學(xué)中找到實(shí)際應(yīng)用。在所有的物理領(lǐng)域中

5、，都離不開(kāi)微分方程。例如，研究氣體、液體運(yùn)動(dòng)，流體運(yùn)動(dòng)和研究固體運(yùn)動(dòng)的固體力學(xué)中會(huì)遇到偏微分方程。在研究物理量，如質(zhì)量、能量、動(dòng)量、電量等的轉(zhuǎn)移的所謂的輸運(yùn)方程時(shí)，研究電磁波和其他物質(zhì)波時(shí)都會(huì)遇到大量偏微分方程。它們將分別是熱物理、電磁物理、量子物理、統(tǒng)計(jì)物理等的研究對(duì)象，當(dāng)考慮機(jī)械運(yùn)動(dòng)與熱運(yùn)動(dòng)、電磁運(yùn)動(dòng)等等之間的相互作用時(shí)，會(huì)遇到更復(fù)雜的微分方程。本文通過(guò)對(duì)分離變量法的應(yīng)用，讓我們更加深刻的認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)方法在解決物理問(wèn)題時(shí)起著至關(guān)重要的作用，分離變量法的解題思路是把常微分方程轉(zhuǎn)化為偏微分方程進(jìn)行求解，分離變量法的解題思想是：先求出具有分離形式且滿足邊界條件的特解，然后由疊加原理做出這些解的組合

6、，最后由其余的定解條件確定疊加系數(shù)（疊加后這些特解滿足邊界條件不滿足初始條件，再由初始條件確定通解中的未知數(shù)）。分離變量法概要：一：做分離變量假設(shè)，代入方程和邊界條件中得到固有值問(wèn)題。二：確定固有函數(shù)和固有值。三：寫(xiě)出定解問(wèn)題的特解。四：將特解疊加，給出通解。五：用初始條件確定通解系數(shù)。六：得到方程的解。用數(shù)學(xué)方法研究實(shí)際問(wèn)題大致經(jīng)過(guò)以下步驟：首先把實(shí)際問(wèn)題簡(jiǎn)化抽出物理模型；然后把物理模型定量化，得到數(shù)學(xué)模型，緊接著便是解數(shù)學(xué)問(wèn)題，最后用來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。 主 要 參 考 文 獻(xiàn)1：胡嗣柱，徐建軍，數(shù)學(xué)物理方法解題指導(dǎo)，高等教育出版社，1997年2：邵惠民，數(shù)學(xué)物理方法（第二版），科學(xué)出版社，2010年3：汪德新，數(shù)學(xué)物理方法（第三版），科學(xué)出版社，2011年4：王竹溪，郭敦仁，特殊函數(shù)概論，北京大學(xué)出版社，2000年5：郭敦仁，數(shù)學(xué)物理方法（第二版），高等教育出版社，1991年6：陸振球，經(jīng)典和現(xiàn)代數(shù)學(xué)物理方法，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2004年7：吳崇試，數(shù)學(xué)物理方法（第二版），北京大學(xué)出版社，2003年8：嚴(yán)鎮(zhèn)軍，數(shù)學(xué)物理方法，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大