例析定義型試題

1、例析定義型試題近年來在各級(jí)競(jìng)賽和中考中，涌現(xiàn)了大量的著意考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新精神的定義型試題，體現(xiàn)了新中考、新競(jìng)賽、新特點(diǎn).定義型試題即試題中給出了一個(gè)考生從未接觸過的新規(guī)定，要求考生當(dāng)即應(yīng)用，用以考查考生接受能力和應(yīng)變能力.一、 新概念的定義例1.（2005年四川實(shí)驗(yàn)區(qū)）如圖1，四邊形ABCD為正方形，曲線DEFGHIJ叫做“四邊形ABCD的漸開線”，其中、 的圓心依次按A、B、C、D循環(huán)，當(dāng)漸開線延伸開時(shí)，形成了扇形S1，S2，S3，S4和一系列的扇環(huán)S5，S6， 當(dāng)AB=1時(shí)，它們的面積， 那么扇環(huán)的面積S8 = _. 分析 此題內(nèi)容取材于高中的解幾，學(xué)生對(duì)四邊形ABCD的漸開線概念

2、雖較陌生，但試題的難度并不大，只要運(yùn)用已有的扇形面積公式與求扇環(huán)的方法，就能得出S8 =12.例2 、(北京市競(jìng)賽題)一個(gè)自然數(shù)若能表示為兩個(gè)數(shù)的平方差，則稱這個(gè)自然數(shù)為“智慧數(shù)”，比如16 = 52 32，故16是一個(gè)“智慧數(shù)”. 在自然數(shù)列中，從1開始起，第1990個(gè)“智慧數(shù)”是_.分析 自然數(shù)可分為奇數(shù)和偶數(shù)，解題時(shí)首先要分析奇數(shù)與偶數(shù)中哪些是“智慧數(shù)”. ，每個(gè)大于1 的奇數(shù)與每個(gè)大于4且是4 的倍數(shù)的數(shù)都是智慧數(shù)，而被4除余數(shù)為2的偶數(shù)都不是智慧數(shù)，最小智慧數(shù)為3，從5開始，智慧數(shù)是：5，7，8；9，11，12；13，15，16；17，19，20，即2個(gè)奇數(shù)，1 個(gè)4的倍數(shù)，三個(gè)一組

3、依次排列下去 .因?yàn)?，即?990個(gè)智慧數(shù)是664組最后一個(gè)，所以這個(gè)智慧數(shù)是664×4=2656.例3.（江蘇泰州）閱讀下面材料，并解答下列各題：在形如的式子中，我們已經(jīng)研究過兩種情況：已知a 和b，求N，這是乘方運(yùn)算；已知b和N，求a，這是開方運(yùn)算；現(xiàn)在我們研究第三種情況：已知N和a，求b，我們把這種運(yùn)算叫做對(duì)數(shù)運(yùn)算.定義：如果（a > 0 , a 1, N > 0），則b 叫做以a 為底N的對(duì)數(shù)，記作.例如，因?yàn)?，所以；因?yàn)椋?（1）根據(jù)定義計(jì)算：_,_,_,如果，那么x = _.(2)設(shè)（a > 0 , a 1, M、N均為正數(shù)），.這是對(duì)數(shù)運(yùn)算的重要性

4、質(zhì)之一，進(jìn)一步地，我們可以得出：_(其中M 1 、M 2、 M 3 M n 均為正數(shù)，a > 0 , a 1)，_（M、N均為正數(shù)，a > 0 , a 1）.分析：本題是高中教材的“對(duì)數(shù)”內(nèi)容，要求學(xué)生讀懂“對(duì)數(shù)”這一新概念定義，并運(yùn)用這一定義進(jìn)行解題.（1） 4, 1 , 0 ,如果，那么x = 2 .（2）；.此類試題定義了一類新概念，考查學(xué)生閱讀理解、信息遷移的能力.讀懂題意是很關(guān)鍵的一步，搞清題意才能確定探索方向，尋找合理的解題途徑.二、 新運(yùn)算的定義例4.（2003年無錫市）讀一讀：式子“1234100”表示從1開始的100個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，由于上述式子比較長(zhǎng)，書寫也不方

5、便，為了方便起見，我們可將“1234100”表示為這“”是求和符號(hào).例如“135799”（即從1開始的100以內(nèi)的連續(xù)奇數(shù)的和）可表示為又如“132333103”可表示為，同學(xué)們，通過對(duì)以上材料的閱讀，請(qǐng)解答以下問題：（1）2468100用求和符號(hào)可表示為_；（2）計(jì)算_.分析：此題定義了一個(gè)書本中從未介紹過的求和符號(hào)“”，其本質(zhì)是將任意有窮數(shù)列中的所有數(shù)（或式）連加. 如：表示的和，即. （其中i表示數(shù)的起始位，n表示數(shù)的個(gè)數(shù)，代表該數(shù)列中的數(shù)，表示第一個(gè)數(shù)，表示最后一個(gè)數(shù)）.解：（1）由135799 =類推，2 n1表示奇數(shù)，則偶數(shù)用2 n表示，于是2468100 = ；（2）由=1323

6、33103 ，得：0381524 = 50.例5.（2005年北京海淀）用“”、“”定義新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)都有b = 和b = b.例如：3 2 = 3 ，3 2 = 2 ，則（20062005）（20042003）=_.解：由b = ，b = b 知，（20062005）（20042003）=20052003=2005.例6.（2005年云南）閱讀下列材料并解決有關(guān)問題：我們知道 | x | = ，現(xiàn)在我們可以用這一結(jié)論來化簡(jiǎn)含有絕對(duì)值的代數(shù)式，如化簡(jiǎn)代數(shù)式 | x 1 | | x 2 | 時(shí)，可令 x 1 = 0 和 x 2 = 0 ，分別求得 x = 1 , x = 2 （稱1，2分別

7、為 | x 1 | 與 | x 2 | 的零點(diǎn)值）.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，零點(diǎn)值x = 1和 x = 2可將全體實(shí)數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下3種情況：（1） 當(dāng) x < 1 時(shí)，原式 = （x 1）( x 2 ) = 2 x 1;（2） 當(dāng)1 x < 2 時(shí)，原式 =（x 1）( x 2 ) = 3；（3） 當(dāng)x 2 時(shí)，原式 = （x 1）( x 2 ) = 2 x 1.綜上討論，原式 = 通過以上閱讀，請(qǐng)你解決以下問題：（1） 分別求出 | x 2 | 和 | x 4 | 的零點(diǎn)值；（2） 化簡(jiǎn)代數(shù)式 | x 2 | | x 4 | .解：（1）分別令 x 2 = 0 和 x 4 =

8、0 ，分別求得x = 2和 x = 4 ，| x 2 | 和 | x 4 | 的零點(diǎn)值分別為x = 2和 x = 4.（2）當(dāng) x < 2時(shí)，原式 = （x 2）( x 4 ) = x 2 x 4 = 2 x 2;當(dāng)2 x < 4 時(shí)，原式 = x 2( x 4 ) = 6；當(dāng)x 4時(shí)，原式 = x 2( x 4 ) = 2 x 2 .綜上討論，原式 = 此類試題定義了一種新運(yùn)算，在代數(shù)式中某些相同的結(jié)構(gòu)或某種特定操作用特定算式符號(hào)來表示，形成一種新的運(yùn)算. 從知識(shí)立意向能力立意過渡，突出對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的考查.三、 應(yīng)用新定義例7. （湖北鄂州市）從A、B、C三人中選取二人當(dāng)代表，

9、有A和B、A和C、B和C三種不同的選法，抽象成數(shù)學(xué)模型是：從3 個(gè)元素中選取2 個(gè)元素的組合，記作：.一般地，從m個(gè)元素中選取n個(gè)元素的組合，記作.根據(jù)以上分析，從6人中選取4人當(dāng)代表的不同選法有_種.分析 這是一道考查學(xué)生自學(xué)能力的好題，它取材于高中教材的排列組合一單元，要求學(xué)生通過自學(xué)，掌握規(guī)律，從而正確的解題：例8.（江蘇競(jìng)賽題）用表示兩數(shù)中的較少者，用表示兩數(shù)中的較大者，例如設(shè)是互不相等的自然數(shù)，min ( a ，b) = p， min (c , d ) = q ， max ( p , q ) = x ， max ( a ,b ) = m， max ( c , d ) = n ， mi

10、n ( m , n ) = y ， 則（ ）.A、x > y B、x < y C、x = y D、x > y 和x < y都有可能.解 ：當(dāng)取當(dāng)取y = 3，所以x > y 和x < y都有可能，故選（D）.例9. （2005年四川）如果記，并且（1）表示當(dāng)x = 1 時(shí)y的值，即表示當(dāng)時(shí)y的值，即 那么_（結(jié)果用含n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù)）.分析 由得 ， 又，=.例10.（2005年資陽(yáng)市）若“！”是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)，并且1！=1，2！=2×1，3！= 3×2×1，4！= 4×3×2×1， 則

11、的值為（ ）.（A）. （B）. 99!（C）. 9900（D）. 2！分析 本題取材于高中代數(shù)的“階乘”內(nèi)容，要求學(xué)生通過閱讀自學(xué)、觀察歸納，得出階乘的計(jì)算方法，不難解出此題 .解答此類試題的關(guān)鍵是掌握新定義，弄懂歸納與類比的思想，要求在新情境下加以運(yùn)算，并允許學(xué)生根據(jù)各自對(duì)問題的理解，選擇自己喜歡的思維方式，采取不同的解題策略.四、 新函數(shù)的定義例11.（2005年廣東佛山市課改區(qū)）“三等分角”是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名問題，但僅用尺規(guī)不可能“三等分角”.下面是數(shù)學(xué)家帕普斯借助函數(shù)給出的一種“三等分銳角”的方法（如圖）：將給定的銳角AOB置于直角坐標(biāo)系中，邊OB在x 軸上，邊OA與函數(shù)的圖像交于點(diǎn)

12、P，以點(diǎn)P為圓心，以2OP為半徑作弧交圖像于點(diǎn)R. 分別過點(diǎn)P和R作x軸和y軸的平行線，兩直線相交于點(diǎn)M，連結(jié)OM得到MOB，則MOB =AOB.要明白帕普斯的方法，請(qǐng)研究以下問題：（1） 設(shè)P（）、R （），求直線OM對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式（用含a , b 的代數(shù)式表示）.（2） 分別過點(diǎn)P和R作y軸和x 軸的平行線，兩直線相交于點(diǎn)Q.說明Q點(diǎn)在直線OM上，并據(jù)此證明MOB = AOB.（3） 應(yīng)用上述方法得到的結(jié)論，你如何三等分一上鈍角（用文字簡(jiǎn)要說明）. 解：（1）設(shè)直線OM的函數(shù)關(guān)系式為， 則 直線OM的函數(shù)關(guān)系式為.（2）Q的坐標(biāo)滿足，Q在直線OM上.四邊形PQRM是矩形，OM交PR于S，

13、SP = SQ = SR = SM =.SQR = SRQ .PR = 2 OP ，.POS = PSO .PSQ 是SRQ的一個(gè)外角.PSQ = 2SQR . POS =2SQR . Q R OB ，SOB = SQR .POS = SOB .SOB = AOB .（3）答案不唯一，以下答題供參考：利用鈍角的一半是銳角，然后利用上述結(jié)論把銳角三等分.把鈍角減去一個(gè)直角得一個(gè)銳角，然后利用上述結(jié)論把銳角三等分后，再將直角利用等邊三角形將其三等分. 此類試題定義了一個(gè)新函數(shù)的作圖方法，放手讓學(xué)生多角度、多層次、多側(cè)面地思考問題，發(fā)展學(xué)生的求異思維，它具備綜合性強(qiáng)，容量大等特性，重視問題的探究過程

14、，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力.五、 新操作的定義例12.（2005年資陽(yáng)市）閱讀以下短文，然后解決下列問題：如果一個(gè)三角形和一個(gè)矩形滿足條件：三角形的一邊與矩形的一邊重合，且三角形的這邊所對(duì)的頂點(diǎn)在矩形這邊的對(duì)邊上，則稱這樣的矩形為三角形的“友好矩形”. 如圖所示，矩形ABEF即為ABC的“友好矩形”. 顯然，當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí)，其“友好矩形”只有一個(gè) .(1) 仿照以上敘述，說明什么是一個(gè)三角形的“友好平行四邊形”；(2) 如圖，若ABC為直角三角形，且C =90°，在圖中畫出ABC 的所有“友好矩形”，并比較這些矩形面積的大??；(3) 若ABC是銳角三角形，且BC>A

15、C>AB，在圖中畫出ABC的所有“友好矩形”，指出其中周長(zhǎng)最小的矩形并加以證明. 分析 (1) 如果一個(gè)三角形和一個(gè)平行四邊形滿足條件：三角形的一邊與平行四邊形的一邊重合，三角形這邊所對(duì)的頂點(diǎn)在平行四邊形這邊的對(duì)邊上，則稱這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”.(2) 此時(shí)共有2個(gè)友好矩形，如圖的BCAD、ABEF. 易知，矩形BCAD、ABEF的面積都等于ABC面積的2倍， ABC的“友好矩形”的面積相等. (3) 此時(shí)共有3個(gè)友好矩形，如圖的BCDE、CAFG及ABHK，其中的矩形ABHK的周長(zhǎng)最小 . 證明如下：易知，這三個(gè)矩形的面積相等，令其為S. 設(shè)矩形BCDE、CAFG及ABHK的周長(zhǎng)分別為L(zhǎng)1，L2，L3，ABC的邊長(zhǎng)BC = a，CA = b，AB = c，則L1 =+ 2a，L2 =+2b，L3 = + 2c