初中尺規(guī)基本作圖

1、【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1了解什么是尺規(guī)作圖2學(xué)會(huì)用尺規(guī)作圖法完成下列五種基本作圖：(1)畫一條線段等于已知線段；(2)畫一個(gè)角等于已知角；(3)畫線段的垂直平分線；(4)過(guò)已知點(diǎn)畫已知直線的垂線；(5)畫角平分線3了解五種基本作圖的理由4學(xué)會(huì)使用精練、準(zhǔn)確的作圖語(yǔ)言敘述畫圖過(guò)程5學(xué)會(huì)利用基本作圖畫三角形等較簡(jiǎn)單的圖形6通過(guò)畫圖認(rèn)識(shí)圖形的本質(zhì)，體會(huì)圖形的內(nèi)在美 【基礎(chǔ)知識(shí)精講】1尺規(guī)作圖：限定只用直尺和圓規(guī)來(lái)完成的畫圖，稱為尺規(guī)作圖注意：這里所指的直尺是沒(méi)有刻度的直尺，由于免去了度量，因此，用尺規(guī)作圖法畫出的圖形的精確度更高，它在工程繪圖等領(lǐng)域應(yīng)用比較廣泛2尺規(guī)作圖中的最基本、最常用的作圖稱為基

2、本作圖3基本作圖共有五種：(1)畫一條線段等于已知線段如圖24-4-1，已知線段DE求作：一條線段等于已知線段作法：先畫射線AB然后用圓規(guī)在射線AB上截取ACMN線段AC就是所要作的線段(2)作一個(gè)角等于已知角如圖24-4-2，已知AOB求作：AOB，使AOBAOB作法：作射線OA；以點(diǎn)O為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧，交OA于C，交OB于D以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)C長(zhǎng)為半徑作弧，交OA于C以點(diǎn)C為圓心，以CD為半徑作弧，交前弧于D經(jīng)過(guò)點(diǎn)D作射線OB，AOB就是所求的角(3)作線段的垂直平分線如圖24-4-3，已知線段AB求作：線段AB的垂直平分線作法：分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相

3、交于點(diǎn)C和D作直線CD直線CD就是線段AB的垂直平分線注意：直線CD與線段AB的交點(diǎn)，就是AB的中點(diǎn)(4)經(jīng)過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線a經(jīng)過(guò)已知直線上的一點(diǎn)作這條直線的垂線，如圖24-4-4已知：直線AB和AB上一點(diǎn)C，求作：AB的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)C作法：作平角ACB的平分線CF直線CF就是所求的垂線，如圖24-4-4b經(jīng)過(guò)已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線如圖24-4-5，已知：直線AB和AB外一點(diǎn)C求作：AB的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)C作法：任意取一點(diǎn)K，使K和C在AB的兩旁以C為圓心，CK長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D和E分別以D和E為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F作直線CF直線CF就是所求的垂線注

4、意：經(jīng)過(guò)已知直線上的一點(diǎn)，作這條直線的垂線轉(zhuǎn)化成畫線段垂直平分線的方法解決(5)平分已知角如圖24-4-6，已知AOB求作：射線OC，使AOCBOC作法：在OA和OB上，分別截取OD、OE分別以D、E為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，在AOB內(nèi)，兩弧交于點(diǎn)C作射線OCOC就是所求的射線注意：以上五種基本作圖是尺規(guī)作圖的基礎(chǔ)，一些復(fù)雜的尺規(guī)作圖，都是由基本作圖組成的，同學(xué)捫要高度重視，努力把這部分內(nèi)容學(xué)習(xí)好通過(guò)這一節(jié)的學(xué)習(xí)，同學(xué)們要掌握下列作圖語(yǔ)言：(1)過(guò)點(diǎn)×和點(diǎn)×畫射線××，或畫射線××(2)在射線××上截取×

5、;×××(3)以點(diǎn)×為圓心，××為半徑畫弧(4)以點(diǎn)×為圓心，××為半徑畫弧，交××于點(diǎn)×(5)分別以點(diǎn)×，點(diǎn)×為圓心，以××，××為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)×(6)在射線××上依次截取××××××(7)在×××的外部或內(nèi)部畫××××××注意

6、：學(xué)過(guò)基本作圖后，在作較復(fù)雜圖時(shí)，屬于基本作圖的地方，不必重復(fù)作圖的詳細(xì)過(guò)程，只用一句話概括敘述就可以了如：(1)畫線段××××(2)畫××××××(3)畫××平分×××，或畫×××的角平分線(4)過(guò)點(diǎn)×畫××××，垂足為點(diǎn)×(5)作線段××的垂直平分線××，等等但要注意保留全部的作圖痕跡，包括基本作圖的操作程序，不能

7、因?yàn)樽鞣ǖ臄⑹鍪÷远鲌D就不按程序操作，只有保留作圖痕跡，才能反映出作圖的操作是否合理 【經(jīng)典例題精講】例1 已知兩邊及其夾角，求作三角形如圖24-4-7，已知：，線段a、b，求作：ABC，使A，ABa，ACb作法：作MAN在射線AM、AN上分別作線段ABa，ACb連結(jié)BC如圖24-4-8，ABC即為所求作的三角形注意：一般幾何作圖題，應(yīng)有下面幾個(gè)步驟：已知、求作、作法，比較復(fù)雜的作圖題，在作圖之前可根據(jù)需要作一些分析 例2 如圖24-4-9，已知底邊a，底邊上的高h(yuǎn)，求作等腰三角形已知線段a、h求作：ABC，使ABAC，且BCa，高ADh分析：可先作出底邊BC，根據(jù)等腰三

8、角形的三線合一的性質(zhì)，可再作出BC的垂直平分線，從而作出BC邊上的高AD，分別連結(jié)AB和AC，即可作出等腰ABC來(lái)作法：(1)作線段BCa(2)作線段BC的垂直平分線MN，MN與BC交于點(diǎn)D(3)在MN上截取DA，使DAh(4)連結(jié)AB、AC如圖24-4-10，ABC即為所求的等腰三角形 例3 已知三角形的一邊及這邊上的中線和高，作三角形如圖24-4-11，已知線段a，m，h(m>h)求作：ABC使它的一邊等于a，這邊上的中線和高分別等于m和h(m>h)分析：如圖24-4-12，假定ABC已作出，其中BCa，中線ADm，高AEh，在AED中ADm，AEh，AED90

9、76;，因此這個(gè)RtAED可以作出來(lái)(AED為奠基三角形)當(dāng)RtAED作出后，由的關(guān)系可作出點(diǎn)B和點(diǎn)C，于是ABC即可得到作法：(1)作AED，使AED90°，AEh，ADm(2)延長(zhǎng)ED到B，使(3)在DE或BE的延長(zhǎng)線上取(4)連結(jié)AB、AC則ABC即為所求作的三角形注意：因?yàn)槿切沃?，一邊上的高不能大于這邊上的中線，所以如果h>m，作圖題無(wú)解；若mh，則作出的圖形為等腰三角形 例4 如圖24-4-13，已知線段a求作：菱形ABCD，使其半周長(zhǎng)為a，兩鄰角之比為12分析：因?yàn)榱庑嗡倪呄嗟?，“半周長(zhǎng)為a”就是菱形邊長(zhǎng)為，為此首先要將線段a等分，又因?yàn)榱庑螌?duì)邊平行，則

10、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，由“鄰角之比為12”可知，菱形較小內(nèi)角為60°，則菱形較短對(duì)角線將菱形分成兩個(gè)全等的等邊三角形所以作圖時(shí)只要作出兩個(gè)有公共邊的等邊三角形，則得到的四邊形即為所求的菱形ABCD作法：(1)作線段a的垂直平分線，等分線段a(2)作線段AC，使(3)分別以A、C為圓心，為半徑，在AC的兩側(cè)畫弧，兩弧分別交于B，D(4)分別連結(jié)AB、BC、CD、DA得到四邊形ABCD，則四邊形ABCD為所求作的菱形(如圖24-4-14)注意：這種通過(guò)先畫三角形，然后再畫出全部圖形的方法即為“三角形奠基法” 例5 如圖24-4-15，已知AOB和C、D兩點(diǎn)求作一點(diǎn)P，使PCPD，且使點(diǎn)

11、P到AOB的兩邊OA、OB的距離相等分析：要使PCPD，則點(diǎn)P在CD的垂直平分線上，要使點(diǎn)P到AOB的兩邊距離相等，則P應(yīng)在AOB的角平分線上，那么滿足題設(shè)的P點(diǎn)就是垂直平分線與角平分線的交點(diǎn)了作法：(1)連結(jié)CD(2)作線段CD的中垂線l(3)作AOB的角平分線OM，交l于點(diǎn)P，P點(diǎn)為所求注意：這類定點(diǎn)問(wèn)題應(yīng)需確定兩線，兩直線的交點(diǎn)即為定點(diǎn)，當(dāng)然這兩直線應(yīng)分別滿足題目的不同要求 【中考考點(diǎn)】例6 (2000·安徽省)如圖24-4-16，直線表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有( )A一處B二處C三處D四處分析：到直線

12、距離相等的點(diǎn)在相交所構(gòu)成的角的平分線上，可利用作角平分線的方法找到這些點(diǎn)解：分別作相交所構(gòu)成的角平分線，共可作出六條，三條角平分線相交的交點(diǎn)共有四個(gè)答案：D注意：本題應(yīng)用了角平分線的性質(zhì)，在具體作圖時(shí)，不可只作出位于中心位置的一處，而要全面考慮其他滿足條件的點(diǎn) 例7 (2002·陜西省)如圖24-4-17，ABC是一塊直角三角形余料，C90°，工人師傅要把它加工成個(gè)正方形零件，使C為正方形的個(gè)頂點(diǎn)，其他三個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、BC、AC邊上(1)試協(xié)助工人師傅用尺規(guī)畫出裁割線(不寫作法，保留作圖痕跡)；(2)工人師傅測(cè)得AC80 cm，BC120cm，請(qǐng)幫助工人師傅算

13、出按(1)題所畫裁割線加工成的正方形零件的邊長(zhǎng)解：(1)作ACB的平分線與AB的交點(diǎn)E即為正方形頂點(diǎn)，作CE線段的中垂線HK與AC、BC的交點(diǎn)F、D即為所作正方形另兩個(gè)頂點(diǎn)，如圖24-4-17(2)設(shè)這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)為x cm，DEAC，x48答：這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)為48cm注意：本題是幾何作圖和幾何計(jì)算相結(jié)合題目，要求讀者對(duì)基本作圖務(wù)必掌握，同時(shí)對(duì)作出圖形的性質(zhì)要清楚 例8 (2002·山西省)如圖24-4-18，有一破殘的輪片(不小于半個(gè)輪)，現(xiàn)要制作一個(gè)與原輪片同樣大小的圓形零件，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的有關(guān)知識(shí)，設(shè)計(jì)兩種方案，確定這個(gè)圓形零件的半徑分析：欲確定這個(gè)圓形零

14、件的半徑，可以借助三角板，T形尺或尺規(guī)作圖均可，圖中是這個(gè)零件的半徑，圖中OB是這個(gè)零件半徑解：如圖24-4-18所示 【常見錯(cuò)誤分析】例9 如圖24-4-19，已知線段a、b、h求作ABC，使BCa，ACb，BC邊上的高ADh并回答問(wèn)題，你作出的三角形唯一嗎？從中你可以得到什么結(jié)論呢？錯(cuò)解：(1)作法：作RtADC，使ADh，ACb在直線CD上截取CBa如圖24-4-20，則ABC就是所求作的三角形(2)作出的三角形唯一(3)得出結(jié)論：有兩邊及一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩三角形全等誤區(qū)分析：本題錯(cuò)解在于忽略了三角形的高可能在三角形內(nèi)部也可能在三角形的外部正解：如圖24-4-21，作法：作

15、RtADC，使ADh，ACb在直線CD上截取CBa(在點(diǎn)C的兩側(cè))則ABC，ABC都是所求作三角形(2)作出的三角形不唯一(3)得出結(jié)論有兩邊及邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩三角形不一定全等注意：與三角形的高有關(guān)的題目應(yīng)慎之又慎 【學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)】學(xué)習(xí)本單元基本作圖，主要是運(yùn)用觀察法，通過(guò)具體的操作，了解各種基本作圖的步驟，掌握作圖語(yǔ)言 【規(guī)律總結(jié)】畫復(fù)雜的圖形時(shí)，如一時(shí)找不到作法，般是先畫出一個(gè)符合所設(shè)條件的草圖，再根據(jù)這個(gè)草圖進(jìn)行分析，逐步尋找畫圖步驟有時(shí)，也可以根據(jù)已知條件和基本作圖，先作局部三角形，再以此為基礎(chǔ)，根據(jù)有關(guān)條件畫出其余部分，從而完成全圖，這種方法稱為三角形奠基法 【同步達(dá)綱練習(xí)】1下列畫圖語(yǔ)言表述正確的是( )A延長(zhǎng)線段AB至點(diǎn)C，使ACBCB以點(diǎn)O為圓心作弧C以點(diǎn)O為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫弧D在射線OA上截取OBa，BCb，則有OCab2過(guò)點(diǎn)C畫直線l的垂線的思想方法是：把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為畫_的方法來(lái)解決3作線段的垂直平分線的理論根據(jù)是_和兩點(diǎn)確定一條直線4把一個(gè)角四等分的步驟是：第一步：先把這個(gè)角_等分，第二步：把得到的兩個(gè)