八年級(jí)數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

1、八年級(jí)數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題 1（2012常德）已知四邊形ABCD是正方形，O為正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P從B開(kāi)始，沿射線BC運(yùn)動(dòng)，連接DP，作CNDP于點(diǎn)M，且交直線AB于點(diǎn)N，連接OP，ON（當(dāng)P在線段BC上時(shí)，如圖1：當(dāng)P在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2）（1）請(qǐng)從圖1，圖2中任選一圖證明下面結(jié)論：BN=CP；OP=ON，且OPON；（2）設(shè)AB=4，BP=x，試確定以O(shè)、P、B、N為頂點(diǎn)的四邊形的面積y與x的函數(shù)關(guān)系 解答：（1）證明：如圖1，四邊形ABCD為正方形，OC=OB，DC=BC，DCB=CBA=90°，OCB=OBA=45°，DOC=90°

2、;，DCAB，DPCN，CMD=DOC=90°，BCN+CPD=90°，PCN+DCN=90°，CPD=CNB，DCAB，DCN=CNB=CPD，在DCP和CBN中，DCPCBN（AAS），CP=BN，在OBN和OCP中，OBNOCP（SAS），ON=OP，BON=COP，BON+BOP=COP+BOP，即NOP=BOC=90°，ONOP，即ON=OP，ONOP （2）解：AB=4，四邊形ABCD是正方形，O到BC邊的距離是2，圖1中，S四邊形OPBN=SOBN+SBOP，2已知正方形ABCD，點(diǎn)P是對(duì)角線AC所在直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在DC邊所在

3、直線上，且隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，PE=PD總成立（1）如圖（1），當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)角線AC上時(shí)，請(qǐng)你通過(guò)測(cè)量、觀察，猜想PE與PB有怎樣的關(guān)系？（直接寫(xiě)出結(jié)論不必證明）；（2）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中猜想的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖（3），當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CA的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)你利用圖（3）畫(huà)出滿(mǎn)足條件的圖形，并判斷此時(shí)PE與PB有怎樣的關(guān)系？（直接寫(xiě)出結(jié)論不必證明）  解答：（1）解：PE=PB，PEPB （2）解：（1）中的結(jié)論成立四邊形ABCD是正方形，AC為對(duì)角線，CD=CB，ACD=ACB，又

4、PC=PC，PDCPBC，PD=PB，PE=PD，PE=PB，：由，得PDCPBC，PDC=PBC（7分）又PE=PD，PDE=PEDPDE+PDC=PEC+PBC=180°，EPB=360°（PEC+PBC+DCB）=90°，PEPB （3）解：如圖所示： 結(jié)論：PE=PB，PEPB3已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，垂足為O（1）如圖1，連接AF、CE求證四邊形AFCE為菱形，并求AF的長(zhǎng)；（2）如圖2，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿AFB和CDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周即點(diǎn)P

5、自AFBA停止，點(diǎn)Q自CDEC停止在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，已知點(diǎn)P的速度為每秒5cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求t的值若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)路程分別為a、b（單位：cm，ab0），已知A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求a與b滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系式  解答：解：（1）四邊形ABCD是矩形，ADBC，CAD=ACB，AEF=CFE，EF垂直平分AC，垂足為O，OA=OC，AOECOF，OE=OF，四邊形AFCE為平行四邊形，又EFAC，四邊形AFCE為菱形，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)AF=CF=xcm，則BF=（8x）cm，在RtAB

6、F中，AB=4cm，由勾股定理得42+（8x）2=x2，解得x=5，AF=5cm （2）顯然當(dāng)P點(diǎn)在AF上時(shí)，Q點(diǎn)在CD上，此時(shí)A、C、P、Q四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形；同理P點(diǎn)在AB上時(shí)，Q點(diǎn)在DE或CE上或P在BF，Q在CD時(shí)不構(gòu)成平行四邊形，也不能構(gòu)成平行四邊形因此只有當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在ED上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形，以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，PC=QA，點(diǎn)P的速度為每秒5cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，PC=5t，QA=124t，5t=124t，解得以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)， 秒 由題意得，四邊

7、形APCQ是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P、Q在互相平行的對(duì)應(yīng)邊上分三種情況：i）如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在AF上、Q點(diǎn)在CE上時(shí)，AP=CQ，即a=12b，得a+b=12；ii）如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在DE上時(shí)，AQ=CP，即12b=a，得a+b=12；iii）如圖3，當(dāng)P點(diǎn)在AB上、Q點(diǎn)在CD上時(shí)，AP=CQ，即12a=b，得a+b=12綜上所述，a與b滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系式是a+b=12（ab0）  4、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，以線段AP為一邊，在其一側(cè)作等邊三角形APQ當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)O處時(shí)，記Q的位置為B（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求證：當(dāng)點(diǎn)P在

8、x軸上運(yùn)動(dòng)（P不與O重合）時(shí)，ABQ為定值；（3）是否存在點(diǎn)P，使得以A、O、Q、B為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由  解答：（1）解：過(guò)點(diǎn)B作BCy軸于點(diǎn)C，A（0，2），AOB為等邊三角形，AB=OB=2，BAO=60°， （2）證明：當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)（P不與O重合）時(shí)，不失一般性，PAQ=OAB=60°，PAO=QAB，在APO和AQB中， APOAQB（SAS），ABQ=AOP=90°總成立，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)（P不與O重合）時(shí)，ABQ為定值90°； （3）解

9、：由（2）可知，點(diǎn)Q總在過(guò)點(diǎn)B且與AB垂直的直線上，可見(jiàn)AO與BQ不平行當(dāng)點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸上時(shí)，點(diǎn)Q在點(diǎn)B的下方，此時(shí)，若ABOQ，四邊形AOQB即是梯形，當(dāng)ABOQ時(shí)，BQO=90°，BOQ=ABO=60°當(dāng)點(diǎn)P在x軸正半軸上時(shí)，點(diǎn)Q在B的上方，此時(shí)，若AQOB，四邊形AOBQ即是梯形，當(dāng)AQOB時(shí)，ABQ=90°，QAB=ABO=60°5如圖，在ABC中，點(diǎn)O是AC邊上（端點(diǎn)除外）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線MNBC設(shè)MN交BCA的平分線于點(diǎn)E，交BCA的外角平分線于點(diǎn)F，連接AE、AF那么當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論解答：解

10、：當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)（或OA=OC）時(shí)，四邊形AECF是矩形證明：CE平分BCA，1=2，又MNBC，1=3，3=2，EO=CO，同理，F(xiàn)O=CO，EO=FO，又OA=OC，四邊形AECF是平行四邊形，CF是BCA的外角平分線，4=5，又1=2，1+5=2+4，又1+5+2+4=180°，2+4=90°，平行四邊形AECF是矩形6正方形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線DB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是DB所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PEBC于E，PFDC于F（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)（如圖），猜測(cè)AP與EF的數(shù)量及位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段DB上（不與點(diǎn)D、O、B重合）時(shí)（如圖），探

11、究（1）中的結(jié)論是否成立？若成立寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)點(diǎn)P在DB的長(zhǎng)延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)將圖補(bǔ)充完整，并判斷（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，直接寫(xiě)出結(jié)論；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出相應(yīng)的結(jié)論解答：解：（1）AP=EF，APEF，理由如下：連接AC，則AC必過(guò)點(diǎn)O，延長(zhǎng)FO交AB于M；OFCD，OEBC，且四邊形ABCD是正方形，四邊形OECF是正方形，OM=OF=OE=AM，MAO=OFE=45°，AMO=EOF=90°，AMOFOE（AAS），AO=EF，且AOM=OFE=FOC=45°，即OCEF，故AP=EF，且APEF （2）題（1）的結(jié)論

12、仍然成立，理由如下：延長(zhǎng)AP交BC于N，延長(zhǎng)FP交AB于M；PMAB，PEBC，MBE=90°，且MBP=EBP=45°，四邊形MBEP是正方形，MP=PE，AMP=FPE=90°；又ABBM=AM，BCBE=EC=PF，且AB=BC，BM=BE，AM=PF，AMPFPE（SAS），AP=EF，APM=FPN=PEFPEF+PFE=90°，F(xiàn)PN=PEF，F(xiàn)PN+PFE=90°，即APEF，故AP=EF，且APEF （3）題（1）（2）的結(jié)論仍然成立；如右圖，延長(zhǎng)AB交PF于H，證法與（2）完全相同7、如圖，一個(gè)直角三角形紙片的頂點(diǎn)A

13、在MON的邊OM上移動(dòng)，移動(dòng)過(guò)程中始終保持ABON于點(diǎn)B，ACOM于點(diǎn)AMON的角平分線OP分別交AB、AC于D、E兩點(diǎn)（1）點(diǎn)A在移動(dòng)的過(guò)程中，線段AD和AE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由（2）點(diǎn)A在移動(dòng)的過(guò)程中，若射線ON上始終存在一點(diǎn)F與點(diǎn)A關(guān)于OP所在的直線對(duì)稱(chēng)，判斷并說(shuō)明以A、D、F、E為頂點(diǎn)的四邊形是怎樣特殊的四邊形？（3）若MON=45°，猜想線段AC、AD、OC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，只寫(xiě)出結(jié)果即可不用證明  解答：解：（1）AE=AD理由如下：ABON，ACOM，AED=90°MOP，ADE=ODB=90°PON，而MOP=NOP

14、，AED=ADEAD=AE（2）菱形理由：連接DF、EF，點(diǎn)F與點(diǎn)A關(guān)于直線OP對(duì)稱(chēng)，E、D在OP上，AE=FE，AD=FD由（1）得AE=AD，AE=FE=AD=FD四邊形ADFE是菱形；（3）OC=AC+AD理由：四邊形ADFE是菱形，AEO=FEO，AOE=FOE，EFO=EAO，ACOM，OP平分MON，AE=EF，EFOC，EFO=90°，AE=EF=AD，OA=OF，MON=45°，ACO=AOC=45°，OA=AC，F(xiàn)EC=FCE，EF=CF，CF=AE，OC=OF+FC=OA+AE=AC+AD 8如圖，ABC中，點(diǎn)P是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

15、過(guò)P作直線MNBC，設(shè)MN交BCA的平分線于點(diǎn)E，交BCA的外角平分線于點(diǎn)F（1）求證：PE=PF；（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形AECF可能是矩形嗎？說(shuō)明理由；（3）若在AC邊上存在點(diǎn)P，使四邊形AECF是正方形，且 求此時(shí)BAC的大小   解答：（1）證明：CE平分BCA，BCE=ECP，又MNBC，BCE=CEP，ECP=CEP，PE=PC；同理PF=PC，PE=PF； （2）解：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AC邊中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形理由如下：由（1）可知PE=PF，P是AC中點(diǎn)，AP=PC，四邊形AECF是平行四邊形CE、CF分別平分BC

16、A、ACD，且BCA+ACD=180°，平行四邊形AECF是矩形； （3）解：若四邊形AECF是正方形，則ACEF，AC=2APEFBC，ACBC，ABC是直角三角形，且ACB=90°，BAC=30°9如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90°，AD=6，BC=8， ，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)沿MB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B后立刻以原速度沿BM返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)M出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度在射線MC上勻速運(yùn)動(dòng)在點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以PQ為邊作等邊三角形EPQ，使它與梯形ABCD在射線BC的同側(cè)點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)

17、P返回到點(diǎn)M時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也隨之停止設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t0）（1）設(shè)PQ的長(zhǎng)為y，在點(diǎn)P從點(diǎn)M向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，寫(xiě)出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫(xiě)t的取值范圍）；（2）當(dāng)BP=1時(shí)，求EPQ與梯形ABCD重疊部分的面積；（3）隨著時(shí)間t的變化，線段AD會(huì)有一部分被EPQ覆蓋，被覆蓋線段的長(zhǎng)度在某個(gè)時(shí)刻會(huì)達(dá)到最大值，請(qǐng)回答：該最大值能否持續(xù)一個(gè)時(shí)段？若能，直接寫(xiě)出t的取值范圍；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由              解答：解：（1）y=MP+MQ=

18、2t； （2）當(dāng)BP=1時(shí)，有兩種情形：EPQ與梯形ABCD重疊部分就是EPQ，其面積為 若點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)，由題意得t=5PQ=BM+MQBP=8，PC=7設(shè)PE與AD交于點(diǎn)F，QE與AD或AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)P作PHAD于點(diǎn)H，則HP= 在RtHPF中，HPF=30°，HF=3，PF=6FG=FE=2又FD=2，點(diǎn)G與點(diǎn)D重合，如圖2此時(shí)EPQ與梯形ABCD的重疊部分就是梯形FPCG，其面積為  （3）能，此時(shí)，4t5過(guò)程如下：如圖，當(dāng)t=4時(shí)，P點(diǎn)與B點(diǎn)重合，Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，此時(shí)被覆蓋線段的長(zhǎng)度達(dá)到最大值，PEQ為等邊三角形，EPC=60°，APE=30°， AF=3，BF=6，EF=FG=2，GD=623=1，所以Q向右還可運(yùn)動(dòng)1秒，F(xiàn)G的長(zhǎng)度不變，4t5 10（正方形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PFCD于點(diǎn)F如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，顯然有DF=CF（1）如圖2，若點(diǎn)P在