基本不等式求最值的類型與方法-經(jīng)典大全

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專題：基本不等式求最值的類型及方法一、幾個重要的基本不等式：當(dāng)且僅當(dāng)a = b時，“=”號成立；當(dāng)且僅當(dāng)a = b時，“=”號成立；當(dāng)且僅當(dāng)a = b = c時,“=”號成立； ,當(dāng)且僅當(dāng)a = b = c時,“=”號成立.注： 注意運(yùn)用均值不等式求最值時的條件：一“正”、二“定”、三“等”； 熟悉一個重要的不等式鏈：。二、函數(shù)圖象及性質(zhì)(1)函數(shù)圖象如圖：(2)函數(shù)性質(zhì)：值域：；單調(diào)遞增區(qū)間：，；單調(diào)遞減區(qū)間：，.三、用均值不等式求最值的常見類型類型：求幾個正數(shù)和的最小值。例1、求函數(shù)的最小值。解析：，當(dāng)且僅當(dāng)即時，“=”號成立，故此函數(shù)最小值是。評析：利用均值不等

2、式求幾個正數(shù)和的最小值時，關(guān)鍵在于構(gòu)造條件，使其積為常數(shù)。通常要通過添加常數(shù)、拆項(xiàng)（常常是拆底次的式子）等方式進(jìn)行構(gòu)造。類型：求幾個正數(shù)積的最大值。例2、求下列函數(shù)的最大值： 解析：，當(dāng)且僅當(dāng)即時，“=”號成立，故此函數(shù)最大值是1。，則，欲求y的最大值，可先求的最大值。,當(dāng)且僅當(dāng)，即時 “=”號成立，故此函數(shù)最大值是。評析：利用均值不等式求幾個正數(shù)積的最大值，關(guān)鍵在于構(gòu)造條件，使其和為常數(shù)。通常要通過乘以或除以常數(shù)、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式進(jìn)行構(gòu)造。類型：用均值不等式求最值等號不成立。例3、若x、y，求的最小值。解法一：（單調(diào)性法）由函數(shù)圖象及性質(zhì)知，當(dāng)時，函數(shù)是減函數(shù)。證明：

3、任取且，則，則，即在上是減函數(shù)。故當(dāng)時，在上有最小值5。解法二：（配方法）因，則有，易知當(dāng)時，且單調(diào)遞減，則在上也是減函數(shù)，即在上是減函數(shù)，當(dāng)時，在上有最小值5。解法三：（拆分法），當(dāng)且僅當(dāng)時“=”號成立，故此函數(shù)最小值是5。評析：求解此類問題，要注意靈活選取方法，特別是單調(diào)性法具有一般性，配方法及拆分法也是較為簡潔實(shí)用得方法。類型：條件最值問題。例4、已知正數(shù)x、y滿足，求的最小值。解法一：（利用均值不等式）,當(dāng)且僅當(dāng)即時“=”號成立，故此函數(shù)最小值是18。解法二：（消元法）由得，由，則。當(dāng)且僅當(dāng)即時“=”號成立，故此函數(shù)最小值是18。解法三：（三角換元法）令則有則：，易求得時“=”號成立，

4、故最小值是18。評析：此類問題是學(xué)生求解易錯得一類題目，解法一學(xué)生普遍有這樣一種錯誤的求解方法： 。原因就是等號成立的條件不一致。類型：利用均值不等式化歸為其它不等式求解的問題。例5、已知正數(shù)滿足，試求、的范圍。解法一：由，則，即解得，當(dāng)且僅當(dāng)即時取“=”號，故的取值范圍是。又，當(dāng)且僅當(dāng)即時取“=”號，故的取值范圍是。解法二：由，知，則：，由，則：，當(dāng)且僅當(dāng)，并求得時取“=”號，故的取值范圍是。，當(dāng)且僅當(dāng)，并求得時取“=”號，故的取值范圍是。評析：解法一具有普遍性，而且簡潔實(shí)用，易于掌握，解法二要求掌握構(gòu)造的技巧。四、均值不等式易錯例析：例1. 求函數(shù)的最值。錯解：當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號。所以當(dāng)時

5、，y的最小值為25，此函數(shù)沒有最大值。分析：上述解題過程中應(yīng)用了均值不等式，卻忽略了應(yīng)用均值不等式求最值時的條件導(dǎo)致錯誤。因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以須對的正?fù)加以分類討論。正解：1）當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號。所以當(dāng)時， 2）當(dāng)時， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以當(dāng)時，.例2. 當(dāng)時，求的最小值。錯解：因?yàn)樗援?dāng)且僅當(dāng)即時，。分析：用均值不等式求“和”或“積”的最值時，必須分別滿足“積為定值”或“和為定值”，而上述解法中與的積不是定值，導(dǎo)致錯誤。正解：因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以當(dāng)時，。例3. 求的最小值。錯解：因?yàn)?，所以分析：忽視了取最小值時須成立的條件，而此式化解得，無解，所以原函數(shù)取不到最小

6、值。正解：令，則又因?yàn)闀r，是遞增的。所以當(dāng)，即時，。例4.已知且，求的最小值.錯解： ,的最小值為.分析：解題時兩次運(yùn)用均值不等式，但取等號條件分別為和，而這兩個式子不能同時成立，故取不到最小值.正解：當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立. 的最小值為.綜上所述，應(yīng)用均值不等式求最值要注意： 一要正：各項(xiàng)或各因式必須為正數(shù)；二可定：必須滿足“和為定值”或“積為定值”，要湊出“和為定值”或“積為定值”的式子結(jié)構(gòu)，如果找不出“定值”的條件用這個定理，求最值就會出錯；三能等：要保證等號確能成立，如果等號不能成立，那么求出的仍不是最值。技巧一：湊項(xiàng)例1：已知，求函數(shù)的最大值。解：因，所以首先要“調(diào)整”符號，又不是常數(shù)

7、，所以對要進(jìn)行拆、湊項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，上式等號成立，故當(dāng)時，。技巧二：湊系數(shù)例2. 當(dāng)時，求的最大值。解析：由知，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，注意到為定值，故只需將湊上一個系數(shù)即可。當(dāng)，即x2時取等號 當(dāng)x2時，的最大值為8。技巧三： 分離例3. 求的值域。解：本題看似無法運(yùn)用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x1）的項(xiàng)，再將其分離。當(dāng),即時,（當(dāng)且僅當(dāng)x1時取“”號）。技巧四：換元解析二：本題看似無法運(yùn)用基本不等式，可先換元，令t=x1，化簡原式在分離求最值。當(dāng),即t=時,（當(dāng)t=2即x1時取“”號）。技巧五：在應(yīng)用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)的單

8、調(diào)性。例：求函數(shù)的值域。解：令，則因，但解得不在區(qū)間，故等號不成立，考慮單調(diào)性。因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，故。所以，所求函數(shù)的值域?yàn)?。技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。2：已知，且，求的最小值。解：，當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立，又，可得時， 。鞏固練習(xí)：1、已知：且，則的最大值為( )(A) (B) (C) (D)2、若，且恒成立，則a的最小值是( )(A) (B) (C)2 (D)13、已知下列不等式：；.其中正確的個數(shù)是( )(A)0個 (B)1個 (C)2個 (D)3個4、設(shè)，則下列不等式中不成立的是( )(A)

9、(B) (C) (D)5、設(shè)且的最大值是( )(A) (B) (C) (D)6、若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是( )(A)18 (B)6 (C) (D)7、若正數(shù)滿足，則的取值范圍是 .8、若,且，則的最小值為 . 基本不等式知識點(diǎn)：1. (1)若，則(2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）2. (1)若，則(2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）(3)若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）3.若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）4.若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）5.若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）注意：(1) 當(dāng)兩個正數(shù)的積為定植時，可以

10、求它們的和的最小值，當(dāng)兩個正數(shù)的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”(2)求最值的條件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際問題方面有廣泛的應(yīng)用應(yīng)用一：求最值例：求下列函數(shù)的值域（1）y3x 2 （2）yx解：(1)y3x 22 值域?yàn)椋?）(2)當(dāng)x0時，yx22；當(dāng)x0時， yx= （ x）2=2值域?yàn)椋ǎ?2，+）解題技巧技巧一：湊項(xiàng)例 已知，求函數(shù)的最大值。 解：因，所以首先要“調(diào)整”符號，又不是常數(shù)，所以對要進(jìn)行拆、湊項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，上式等號成立，故當(dāng)時，。技巧二：湊系數(shù)例： 當(dāng)時，求的最大值

11、。解析：由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到為定值，故只需將湊上一個系數(shù)即可。當(dāng)，即x2時取等號 當(dāng)x2時，的最大值為8。變式：設(shè)，求函數(shù)的最大值。解：當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立。技巧三： 分離技巧四：換元例：求的值域。解析一：本題看似無法運(yùn)用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x1）的項(xiàng)，再將其分離。當(dāng),即時,（當(dāng)且僅當(dāng)x1時取“”號）。解析二：本題看似無法運(yùn)用均值不等式，可先換元，令t=x1，化簡原式在分離求最值。當(dāng),即t=時,（當(dāng)t=2即x1時取“”號）。技巧五：在應(yīng)用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性。例：求

12、函數(shù)的值域。解：令，則因，但解得不在區(qū)間，故等號不成立，考慮單調(diào)性。因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，故。所以，所求函數(shù)的值域?yàn)椤＜记闪赫w代換多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。例：已知，且，求的最小值。錯解：，且， 故 。錯因：解法中兩次連用均值不等式，在等號成立條件是，在等號成立條件是即,取等號的條件的不一致，產(chǎn)生錯誤。因此，在利用均值不等式處理問題時，列出等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。正解：，當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立，又，可得時， 。技巧七例：已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x 21，求x的最大值.分析：因條件和

13、結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab。同時還應(yīng)化簡中y2前面的系數(shù)為 ， xx x·下面將x，分別看成兩個因式：x· 即x·x 技巧八：已知a，b為正實(shí)數(shù)，2baba30，求函數(shù)y的最小值.分析：這是一個二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進(jìn)行。法一：a， ab·b由a0得，0b15令tb+1，1t16，ab2（t）34t28 ab18 y 當(dāng)且僅當(dāng)t4，即b3，a6時，等號成立。法二：由已知得：30aba2b a2b2 30ab2令u則u22u300， 5u33，ab18，y點(diǎn)評：本題考查不等式的應(yīng)用、不等式的解法及運(yùn)算能力；如何由已知不等式出發(fā)求得的范圍，關(guān)鍵是尋找到之間的關(guān)系，由此想到不等式，這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含的不等式，進(jìn)而解得的范圍.技巧九、取平方例: 求函數(shù)的最大值。解析：注意到與的和為定值。又，所以當(dāng)且僅當(dāng)=，即時取等號。 故。應(yīng)用二：利用均值不等