七年級數學下冊84三元一次方程組的解法

1、8.4 三元一次方程組的解法初中數學人教版初中數學人教版 七七年級下冊年級下冊教師用書8.4 三元一次方程組的解法知識點一知識點一 三元一次方程三元一次方程(組組) 定義條件三元一次方程含有三個未知數,并且含有未知數的項的次數是1,這樣的方程叫做三元一次方程.(1)含有三個未知數;(2)含未知數的項的次數是1;(3)方程等號的左右兩邊是整式.三元一次方程組一般地,含有三個未知數,含有未知數的項的次數都是1,并且由三個方程組成,這樣的方程組叫做三元一次方程組.(1)方程組中共有三個未知數;(2)含未知數的項的次數是1;(3)每個方程等號兩邊都是整式.溫馨提示(1)三元一次方程組中,每一個方程都是

2、一次方程;(2)三元一次方程組中,不一定每個方程都是三元一次方程,如也是三元一次方程組.xy3,xz5,x28.4 三元一次方程組的解法例例1 下列方程是三元一次方程的是 .(填序號)x+y-z=1;4xy+3z=7;+y-7z=0;6x+4y-3=0.2x解析解析 是;不是,4xy的次數為2;不是,不是整式;不是,方程中只有2個未知數.2x答案答案8.4 三元一次方程組的解法例例2下列方程組中是三元一次方程組的是()A. B.C. D. 3245xyzyzwxzw0210-211xyzxyzxz3-04xyzx yzxz3145xyyzxz解析解析 A項含有4個未知數;B項中2yz的次數為2

3、;D項中y+=4不是整式方程.故選C.1z答案答案 C點撥點撥理解三元一次方程組的定義要注意以下幾點:(1)方程組中的每一個方程都是一次方程;(2)一般地,如果三個一次方程合起來共有三個未知數,它們就能組成一個三元一次方程組.8.4 三元一次方程組的解法知識點二知識點二 三元一次方程組的解法三元一次方程組的解法 基本思路具體步驟解三元一次方程組通過“代入”或“加減”進行消元,把“三元”化為“二元”,使解三元一次方程組轉化為解二元一次方程組,進而再轉化為解一元一次方程.(1)變形:變三元一次方程組為二元一次方程組;(2)求解:解二元一次方程組;(3)回代:將求得的未知數的值代入原方程組的一個適當

4、的方程中,得到一個一元一次方程;(4)求解:解一元一次方程,求出第三個未知數;(5)寫解:用“”將所求的三個未知數的值聯立起來,即得原方程組的解.轉化思想三元一次方程組二元一次方程組一元一次方程溫馨提示(1)在消元時,首先注意確定消去哪個未知數,再根據情況選擇代入消元還是加減消元;(2)有些特殊的方程組可用特殊的消元法,解題時要根據各方程的特點尋求較簡單的解法.8.4 三元一次方程組的解法例例3解方程組: 2311,32 -211,4 -3 -24.xyzxyzxyz8.4 三元一次方程組的解法解析解析 2-,得x+8z=11.3+,得10 x+7z=37.與聯立,得解這個方程組,得把x=3,

5、z=1代入,得y=2.所以原方程組的解為點撥點撥當方程組中某兩個方程的某個未知數的系數成整數倍關系時,通常用加減消元法消去這個未知數.811,10737.xzxz3,1.xz3,2,1.xyz8.4 三元一次方程組的解法題型一題型一 靈活求解三元一次方程組靈活求解三元一次方程組例例1解方程組:(1)(2) 1,6,3;xyyzzx3 4,4 5,36.x yy zxyz8.4 三元一次方程組的解法解析解析 (1)+,得2(x+y+z)=10,即x+y+z=5.由-,得z=4.由-,得x=-1.由-,得y=2.所以原方程組的解為(2)由,得x y z=3 4 5.設x=3k(k0),y=4k,z

6、=5k,代入,得3k+4k+5k=36,解得k=3.所以x=9,y=12,z=15.所以原方程組的解為-1,2,4.xyz9,12,15.xyz8.4 三元一次方程組的解法點撥點撥第(1)題采用整體消元的方法得到方程組的解,這是一種比較簡單的求解方法,也可以先用方程消去y,把所得到的方程和組成二元一次方程組求解.形如第(2)題,當方程組中未知數以比例形式出現時,可設1份為k,再根據其比例確定各未知數,然后將其代入方程組中的一個合適方程中,求出k的值,從而求出各未知數的值,此種方法稱為參數法.8.4 三元一次方程組的解法題型二題型二 三元一次方程組的簡單應用三元一次方程組的簡單應用例例2在y=a

7、x2+bx+c中,當x=-1時,y=2;當x=2時,y=8;當x=5時,y=158.(1)求a,b,c的值;(2)求當x=-2時,y的值.解析解析 (1)根據題意,得解這個方程組,得(2)由(1)得y=8x2-6x-12.當x=-2時,y=8(-2)2-6(-2)-12=32.點撥點撥 本題實質上仍是一個解三元一次方程組的問題,式子y=ax2+bx+c是以后要學的二次函數的解析式,轉化為解三元一次方程組是解決后面許多數學問題的有效方法.-2,428,255158.a bcabcabc8,-6,-12.abc8.4 三元一次方程組的解法題型三題型三 三元一次方程組在實際問題中的應用三元一次方程組

8、在實際問題中的應用例例3某汽車公司計劃用20輛汽車裝運甲、乙、丙三種蔬菜36噸到外地銷售(每輛汽車按規(guī)定滿載,且每輛汽車只能裝同一種蔬菜,每種蔬菜不少于1車),相關數據如下表,應該如何安排,可使公司獲得利潤18 300元?蔬菜種類甲乙丙每輛汽車能裝的噸數211.5每噸蔬菜可獲得的利潤(百元)5748.4 三元一次方程組的解法解析解析 設裝運甲、乙、丙三種蔬菜的車輛分別為x輛、y輛、z輛,由題意得解得答:當裝運甲、乙、丙三種蔬菜的車輛分別為15輛、3輛、2輛時,可使公司獲得利潤18 300元.點撥點撥本題考查了三元一次方程組在實際生活中的應用.解題的關鍵是找出等量關系,并列出方程組.20,21.

9、536,500 2700400 1.518 300,xyzxyzxyz15,3,2.xyz8.4 三元一次方程組的解法知識點一知識點一 三元一次方程三元一次方程(組組)1.下列方程是三元一次方程的是()A.x+y-z=1 B.4xy+3z=7C.+y-7z=0 D.6x+4y-3=02x答案答案 A A是;B不是,4xy為二次項;C不是,不是整式;D不是,方程中只有2個未知數.2x8.4 三元一次方程組的解法2.下列方程組不是三元一次方程組的是( )A. B.C. D. 576xxyxyz342xyyzzx4 -91731518232xzxyzxyz-51-32xy zxyzxy答案答案 D

10、選項D的xyz=1中“xyz”的次數是3,故D中方程組不符合三元一次方程組的定義.故D中的方程組不是三元一次方程組.3.若(a-1)x+5yb+1+2z2-|a|=10是一個關于x,y,z的三元一次方程,那么a= ,b= .答案答案-1;0解析解析 a-10,b+1=1,2-|a|=1,a=-1,b=0.8.4 三元一次方程組的解法知識點二知識點二 三元一次方程組的解法三元一次方程組的解法4.解方程組若用代入消元法解方程組,第一步應把 化為 ,代入 中,消去 ,組成二元一次方程組;如果用加減消元法解這個方程組,第一步應用 ,消去 ,與組成二元一次方程組.311,4318,5,xyxyzxyz答

11、案答案;y=11-3x;y;-;z5.若則x+y+z= .2 -3,2 -4,2 -5,x yy zz x答案答案12解析解析 三個方程相加,即可得出x+y+z=12.8.4 三元一次方程組的解法6.解方程組: (1)(2) 27,33,30;xyyzzx26,-1,2 -18.xyzx yx yz8.4 三元一次方程組的解法解析解析 (1)解法一:由+,得2x+2y+2z=90,即x+y+z=45.-,得z=18,-,得x=12,-,得y=15.因此,原方程組的解為解法二:由+-,得2y=30,即y=15.由+-,得2x=24,即x=12.由+-,得2z=36,即z=18.因此,原方程組的解

12、為解法三:由,得x=27-y.12,15,18.xyz12,15,18.xyz8.4 三元一次方程組的解法把代入,得z+27-y=30,即z-y=3.由與組成方程組,得解這個方程組,得把y=15代入,得x=12.因此,原方程組的解為(2)-,得x-2y=-8.-,得y=9.把y=9代入,得x-9=1,所以x=10.33,-3.yzz y15,18.yz12,15,18.xyz8.4 三元一次方程組的解法把x=10,y=9代入,得10+9+z=26 ,解得z=7.所以原方程組的解為 10,9,7.xyz8.4 三元一次方程組的解法1.下列方程中三元一次方程的個數為()z+3y+x=0;3a+b=

13、4c;-3y+2z=3m(m為常數);xyz-y+3z=5.A.1 B.2 C.3 D.42x答案答案 B 根據三元一次方程的定義來判斷,中不是整式,中xyz的次數為3,所以不是三元一次方程;只有是三元一次方程.故選B.2x8.4 三元一次方程組的解法2.下列方程組中,是三元一次方程組的是()A. B.C. D. 3593-2 -21xyzxymxm z421xyz3-18xyyzzw92 -2-0abd aba bd答案答案 B 因為A選項和C選項中都有四個未知數,而D選項中的含未知數的項的最高次數是二次,所以A、C、D都不是三元一次方程組,故選B.8.4 三元一次方程組的解法3.解三元一次

14、方程組時,要使運算簡便,應采取的消元的方法是( )A.先消去x B.先消去yC.先消去z D.以上說法都不正確-11,-5,-1xy zyz xzx y答案答案 D 可以同時消去兩個未知數,故選D.8.4 三元一次方程組的解法4.如果方程組的解是則a= ,b= ,c= .-8,-1,32ax bycy bzxzc1,-2,-1,xyz答案答案2;3;1解析解析 把代入方程組得解得 1,-2,-1xyz28,-21,3-12 ,abcbc2,3,1.abc8.4 三元一次方程組的解法5.解方程組: -4,-2-1,-1.x zzyxy z解析解析 -得-y=5,y=-5 .把y=-5代入,得z=

15、-11,再將z=-11代入得x=-7,所以方程組的解為 -7,-5,-11.xyz8.4 三元一次方程組的解法1.以為解建立一個三元一次方程,不正確的是()A.3x-4y+2z=3 B.x-y+2z=-2C.x+y-z=-2 D.-z=1 3,1,-1xyz132x 23y56答案答案 C 把x=3,y=1,z=-1分別代入四個選項驗算.8.4 三元一次方程組的解法2.已知三元一次方程組經過步驟-和4+消去未知數z后,得到的二元一次方程組是( )A. B.C. D. 540,3-411,-2,xyzxyzxyz432753xyxy432231711xyxy342753xyxy342231711

16、xyxy答案答案 A -得4x+3y=2;4+得7x+5y=3.8.4 三元一次方程組的解法3.有甲、乙、丙三種商品,如果購甲種商品3件、乙種商品2件、丙種商品1件共需315元,購甲種商品1件、乙種商品2件、丙種商品3件共需285元,那么購甲、乙、丙三種商品各一件共需 元.答案答案150解析解析 設甲種商品每件x元,乙種商品每件y元,丙種商品每件z元.根據題意,得兩方程相加得4x+4y+4z=600,所以x+y+z=150.即共需150元.32315,23285.xyzxyz8.4 三元一次方程組的解法4.解下列三元一次方程組: (1)(2) -4-3,2-18,- -7;xyzxy zx y

17、 z4327,6 -4 -6,2 -1.xyzxy zx yz8.4 三元一次方程組的解法解析解析 (1)+,得3x-3y=15,即x-y=5,-,得x+2y=11,-,得3y=6,解得y=2,把y=2代入,得x=7.再把x=7,y=2代入,得z=-2.-4-3,2-18,- -7.xyzxy zx y z8.4 三元一次方程組的解法所以原方程組的解為(2)-2,得5y=5,解得y=1,+,得8x-5y=7,把y=1代入,解得x=,再把x=,y=1代入,得z=-1.7,2,-2.xyz4327,6 -4 -6,2 -1.xyzxy zx yz32328.4 三元一次方程組的解法所以原方程組的解

18、為 3,21,-1.xyz8.4 三元一次方程組的解法1.(2015山東聊城陽谷期中)若(2x-4)2+(x+y)2+|4z-y|=0,則x+y+z等于 ( )A.- B. C.2 D.-21212答案答案 A (2x-4)2+(x+y)2+|4z-y|=0,解得x+y+z=2-2-=-.2 -40,0,4 -0,xxyz y2,-2,1-,2xyz 12128.4 三元一次方程組的解法2.解方程組: (1)(2) ,10,3 -9;xyzxyzx y6,3 -3,23 -12.xyzx yxy z8.4 三元一次方程組的解法解析解析 (1)把代入得2y+2z=10,即y+z=5,把代入得3y

19、+3z-y=9,即2y+3z=9,3-得y=6,把y=6代入得z=-1,把y=6,z=-1代入得x=5,則方程組的解為,10,3 -9,xyzxyzx y5,6,-1.xyz8.4 三元一次方程組的解法(2)+得3x+4y=18,-得y=3,把y=3代入得x=2,把x=2,y=3代入得z=1, 所以方程組的解為 6,3 -3,23 -12,xyzx yxy z2,3,1.xyz8.4 三元一次方程組的解法3.在等式y(tǒng)=ax2+bx+c中,當x=-1時,y=0;當x=2時,y=3;當x=5時,y=60.求a、b、c的值. 解析解析 根據題意,得-,得a+b=1,-,得4a+b=10.與組成二元一

20、次方程組解得把a=3,b=-2代入,得c=-5.所以a、b、c的值分別為3、-2、-5.-0,423,25560.a bcabcabc1,410,abab3,-2.ab8.4 三元一次方程組的解法4.某單位職工在植樹節(jié)時去植樹,甲、乙、丙三個小組共植樹50棵,乙組植樹的棵數是甲、丙兩組的和的,甲組植樹的棵數恰是乙組與丙組的和,求每組各植樹多少棵. 14解析解析 設甲組植樹x棵,乙組植樹y棵,丙組植樹z棵,根據題意,得解得答:甲組植樹25棵,乙組植樹10棵,丙組植樹15棵.50,1(),4,xyzyxzxyz25,10,15.xyz8.4 三元一次方程組的解法一、選擇題一、選擇題1.(2016河

21、南師大附中月考,3,)下列說法不正確的是()A.方程3x+2y+z=20有唯一一個解B.若x,y,z是非負數,則三元一次方程3x+5y+2z=0只有一個解C.方程4a+b+2c=7是三元一次方程D.方程組是三元一次方程組1,2,-1xyyz答案答案 A 方程3x+2y+z=20有無數個解,故選A.8.4 三元一次方程組的解法2.(2016遼寧撫順一中期末,6,)若|x-3y+5|+|3x+y-5|+|x+y-3z|=0,則( )A. B. C. D. -121xyz121xyz12-1xyz-1-2-1xyz答案答案 B 由題意可得三元一次方程組+3,得10 x-10=0,解得x=1.把x=1

22、代入,得y=2.再把x=1,y=2代入,得z=1.-350,3-50,-30,xyxyxyz8.4 三元一次方程組的解法二、解答題二、解答題3.(2016山東牟平一中質量檢測,19,)解方程組(7分) 3 -4,23 -12,6.x yzxy zxyz8.4 三元一次方程組的解法解析解析 +,得5x+2y=16,-,得2x-2y=-2,+,得7x=14,解得x=2.把x=2代入,得y=3.把x=2,y=3代入,得z=1.所以方程組的解為 3 -4,23 -12,6,x yzxy zxyz2,3,1.xyz8.4 三元一次方程組的解法(2014河南南街中學期中,22,)解方程組12,2522,4

23、 .xyzxyzxy8,2,2.xyz12,2522,4 ,xyzxyzxy2,2,yz512,6522,yzyz解析 把分別代入,得解得把y=2代入,得x=8,所以方程組的解為 8.4 三元一次方程組的解法填空題填空題(2015山東濱州中考,18,)某服裝廠專門安排210名工人進行手工襯衣的縫制,每件襯衣由2個衣袖、1個衣身、1個衣領組成.如果每人每天能夠縫制衣袖10個,或衣身15個,或衣領12個,那么應該安排 名工人縫制衣袖,才能使每天縫制出的衣袖、衣身、衣領正好配套.答案答案1208.4 三元一次方程組的解法解析解析 設應該安排x名工人縫制衣袖,y名工人縫制衣身,z名工人縫制衣領,才能使每天縫制出的衣袖、衣身、衣領正好配套,依題意有解得故應該安排120名工人縫制衣袖,才能使每天縫制出的衣袖、衣身、衣領正好配套.210,10 15 12211,xyzxyz 120,40,50.