知識講解空間直角坐標(biāo)系基礎(chǔ)

1、空間直角坐標(biāo)系【學(xué)習(xí)目標(biāo)】通過具體情境，感受建立空間直角坐標(biāo)系的必要性，了解空間直角坐標(biāo)系，會用空間直角坐標(biāo)系刻畫點的位置.通過表示特殊長方體(所有棱分別與坐標(biāo)軸平行)頂點的坐標(biāo)，探索并得出空間兩點間的距離公式.【要點梳理】要點一、空間直角坐標(biāo)系1.空間直角坐標(biāo)系從空間某一定點O引三條互相垂直且有相同單位長度的數(shù)軸，這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系Oxyz，點O叫做坐標(biāo)原點，x軸、y軸、z軸叫做坐標(biāo)軸，這三條坐標(biāo)軸中每兩條確定一個坐標(biāo)平面，分別是xOy平面、yOz平面、zOx平面.2.右手直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這

2、個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.3.空間點的坐標(biāo)空間一點A的坐標(biāo)可以用有序數(shù)組(x，y，z)來表示，有序數(shù)組(x，y，z)叫做點A的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，其中x叫做點A的橫坐標(biāo)，y叫做點A的縱坐標(biāo)，z叫做點A的豎坐標(biāo).要點二、空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)1.空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)的求法通過該點，作兩條軸所確定平面的平行平面，此平面交另一軸于一點，交點在這條軸上的坐標(biāo)就是已知點相應(yīng)的一個坐標(biāo).特殊點的坐標(biāo)：原點；軸上的點的坐標(biāo)分別為；坐標(biāo)平面上的點的坐標(biāo)分別為.2.空間直角坐標(biāo)系中對稱點的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系中，點，則有點關(guān)于原點的對稱點是；點關(guān)于橫軸(x軸)的對稱點是；點關(guān)于縱軸(y軸)的對稱點

3、是；點關(guān)于豎軸(z軸)的對稱點是；點關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點是；點關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點是；點關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點是.要點三、空間兩點間距離公式1.空間兩點間距離公式空間中有兩點，則此兩點間的距離.特別地，點與原點間的距離公式為.2.空間線段中點坐標(biāo)空間中有兩點，則線段AB的中點C的坐標(biāo)為.【典型例題】類型一：空間坐標(biāo)系例1在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是BB1、D1B1的中點，棱長為1，建立空間直角坐標(biāo)系，求點E、F的坐標(biāo)?！敬鸢浮?，【解析】 法一：如圖，以A為坐標(biāo)原點，以AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，點E在xOy面上的投影為B（1，0，0），

4、點E豎坐標(biāo)為，。F在xOy面上的投影為BD的中點G，豎坐標(biāo)為1，。法二：如解法一所建立空間直角坐標(biāo)系，B1（1，0，1），D1（0，1，1），B（1，0，0）E為BB1的中點，F(xiàn)為B1D1的中點，E的坐標(biāo)為，F(xiàn)的坐標(biāo)為。點評：本題主要考查空間中點的坐標(biāo)的確定，關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系找到各個坐標(biāo)分量。由于正方體的棱AB，AD，AA1互相垂直，可以以它們所在直線為坐標(biāo)軸建系。點的各個坐標(biāo)分量就是這個點在各個坐標(biāo)軸上的投影在相應(yīng)坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)。舉一反三：【變式1】在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，OABCD1A1B1C1是單位正方體，N是BB1的中點，求這個單位正方體各頂點和點N的坐標(biāo)【答案】O（0，0，0）

5、，A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），N（1，1，）。例2在平面直角坐標(biāo)系中，點P（x，y）的幾種特殊的對稱點的坐標(biāo)如下： （1）關(guān)于原點的對稱點是P（x，y）； （2）關(guān)于軸的對稱點是P（x，y）； （3）關(guān)于軸的對稱點是P（x，y） 那么，在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，點P（x，y，z）的幾種特殊的對稱點坐標(biāo)為： 關(guān)于原點的對稱點是P1_； 關(guān)于橫軸（x軸）的對稱點是P2_； 關(guān)于縱軸（y軸）的對稱點是P3_； 關(guān)于豎軸（z軸）的對稱點是P4_； 關(guān)于xOy坐標(biāo)平面的對稱點是P5_； 關(guān)于yOz坐標(biāo)平面

6、的對稱點是P6_； 關(guān)于zOx坐標(biāo)平面的對稱點是P7_【答案】（x，y，z） （x，y，z） （x，y，z） （x，y，z）（x，y，z） （x，y，z） （x，y，z）【解析】類比平面直角坐標(biāo)系，在空間直角坐標(biāo)系有如下結(jié)論：P1（x，y，z）；P2（x，y，z）；P3（x，y，z）；P4（x，y，z）；P5（x，y，z）；P6（x，y，z）；P7（x，y，z） 【總結(jié)升華】上述結(jié)論的證明，可類比平面直角坐標(biāo)系的方法加以證明：如P點關(guān)于原點的對稱點P1，則有PP1的中點為原點。由中點坐標(biāo)公式即可求出P1點坐標(biāo)上述結(jié)論的記憶方法：“關(guān)于誰對稱誰不變，其余的相反”，如關(guān)于軸對稱的點，橫坐標(biāo)不變，縱

7、、豎坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)；關(guān)于坐標(biāo)平面對稱的點，橫、縱坐標(biāo)不變，豎坐標(biāo)相反舉一反三：【變式1】（2015春 福建廈門期末）在空間直角坐標(biāo)系Oxyz，點P（1，2，3）關(guān)于xOy平面的對稱點是（ ）A（1，2，3） B（1，2，3） C（1，2，3） D（1，2，3）【答案】C【解析】空間直角坐標(biāo)系中任一點P（a，b，c）關(guān)于坐標(biāo)平面xOy的對稱點為；由題意可得：點P（1，2，3）關(guān)于xOy平面的對稱點的坐標(biāo)是（1，2，3）故選：C【總結(jié)升華】本題考查空間向量的坐標(biāo)的概念，向量的坐標(biāo)表示，空間點的對稱點的坐標(biāo)的求法，記住某些結(jié)論性的東西將有利于解題空間直角坐標(biāo)系中任一點P（a，b，c）關(guān)于坐標(biāo)平

8、面xOy的對稱點為（a，b，c）；關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對稱點為（a，b，c）；關(guān)于坐標(biāo)平面xOz的對稱點為（a，b，c）類型二：兩點間的距離公式例3空間坐標(biāo)系Oxyz中，點A在x軸上，點B（1，0，2），且，則點A坐標(biāo)為_【思路點撥】根據(jù)點A在x軸上，設(shè)點A（x，0，0），再由結(jié)合空間兩點距離公式，建立關(guān)于x的方程，解得x值，從而得到點A坐標(biāo)【答案】（0，0，0）或（2，0，0）【解析】點A在x軸上，可設(shè)點A（x，0，0），又B（1，0，2），且，解之得x=0或2，所以點A的坐標(biāo)為：（0，0，0）或（2，0，0）；故答案為：（0，0，0）或（2，0，0）【總結(jié)升華】本題給出x軸上一點到空間兩個

9、已知點的距離相等，求該點的坐標(biāo)，著重考查了空間兩點的距離公式和含有根號的方程的解法舉一反三： 【高清課堂：空間直角坐標(biāo)系381528 知識點3中的例題1】【變式1】在空間中，已知點A(1,0, 1)，B(4,3, 1)，求A、B兩點之間的距離. 【答案】 【變式2】（2016 湖南衡陽模擬）四棱錐SABCD中，底面邊長為2，側(cè)棱長為3，E是側(cè)棱SC的中點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，試求點A、C、E的坐標(biāo)【思路點撥】根據(jù)如圖所示的空間坐標(biāo)系，即可求出點A、C、E的坐標(biāo)【答案】【解析】四棱錐SABCD中，四邊形ABCD為正方形，SO平面ABCD，SOAC，AB=2，SC=3，點，例4在正方體A

10、BCDA1B1C1D1中，P為平面A1B1C1D1的中心，求證：PAPB1 【解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，設(shè)棱長為1，則A（1，0，0），B1（1，1，1），由兩點間的距離公式得，。 |AP|2+|PB1|2=|AB1|2=2，APPB1 【總結(jié)升華】本例的求解方法盡管很多，但利用坐標(biāo)法求解，應(yīng)該說是既簡捷又易行，方法的對照比較，也更體現(xiàn)出了坐標(biāo)法解題的優(yōu)越性 依據(jù)題中的垂直關(guān)系，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用空間中兩點間的距離公式可以求距離、證垂直、求角度等，為我們提供了新的解題方法舉一反三： 【變式1】如下圖所示，已知PA平面ABCD，平面ABCD為矩形，M、N分別是AB、PC的中點，求證：MNAB。 【解析】如圖所示，以A為坐標(biāo)原點，分別以AB、AD、AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），設(shè)B