小學(xué)奧數(shù)教程：比例應(yīng)用題(一)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上比例應(yīng)用題（一）教學(xué)目標(biāo)1、比例的基本性質(zhì)2、熟練掌握比例式的恒等變形及連比問(wèn)題3、能夠進(jìn)行各種條件下比例的轉(zhuǎn)化，有目的的轉(zhuǎn)化；4、單位“1”變化的比例問(wèn)題5、方程解比例應(yīng)用題知識(shí)點(diǎn)撥比例與百分?jǐn)?shù)作為一種數(shù)學(xué)工具在人們?nèi)粘Ｉ钪刑幚矶嘟M數(shù)量關(guān)系非常有用，這一部分內(nèi)容也是小升初考試的重要內(nèi)容.通過(guò)本講需要學(xué)生掌握的內(nèi)容有：一、比和比例的性質(zhì)性質(zhì)1：若a: b=c：d，則(a + c)：(b + d)= a：b=c：d；性質(zhì)2：若a: b=c：d，則(a - c)：(b - d)= a：b=c：d；性質(zhì)3：若a: b=c：d，則(a +x c)：(b +x d)=a：b=

2、c：d；(x為常數(shù))性質(zhì)4：若a: b=c：d，則a×d = b×c；(即外項(xiàng)積等于內(nèi)項(xiàng)積)正比例：如果a÷b=k(k為常數(shù))，則稱a、b成正比；反比例：如果a×b=k(k為常數(shù))，則稱a、b成反比二、主要比例轉(zhuǎn)化實(shí)例 ； ； ； ； (其中)； ； ； ， ； 的等于的，則是的，是的三、按比例分配與和差關(guān)系按比例分配例如：將個(gè)物體按照的比例分配給甲、乙兩個(gè)人，那么實(shí)際上甲、乙兩個(gè)人各自分配到的物體數(shù)量與的比分別為和，所以甲分配到個(gè)，乙分配到個(gè).已知兩組物體的數(shù)量比和數(shù)量差，求各個(gè)類(lèi)別數(shù)量的問(wèn)題例如：兩個(gè)類(lèi)別、，元素的數(shù)量比為(這里)，數(shù)量差為，那么的元

3、素?cái)?shù)量為，的元素?cái)?shù)量為，所以解題的關(guān)鍵是求出與或的比值四、比例題目常用解題方式和思路解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題關(guān)鍵是正確理解、運(yùn)用單位“l(fā)”。題中如果有幾個(gè)不同的單位“1”，必須根據(jù)具體情況，將不同的單位“1”，轉(zhuǎn)化成統(tǒng)一的單位“1”，使數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)單化，達(dá)到解決問(wèn)題的效果。在解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：1. 題中有幾種數(shù)量相比較時(shí)，要選擇與各個(gè)已知條件關(guān)系密切、便于直接解答的數(shù)量為單位“1”。2. 若題中數(shù)量發(fā)生變化的，一般要選擇不變量為單位“1”。3. 應(yīng)用正、反比例性質(zhì)解答應(yīng)用題時(shí)要注意題中某一數(shù)量是否一定，然后再確定是成正比例，還是成反比例。找出這些具體數(shù)量相對(duì)應(yīng)的分率與其他具體數(shù)量之間的正、

4、反比例關(guān)系，就能找到更好、更巧的解法。4. 題中有明顯的等量關(guān)系，也可以用方程的方法去解。5. 賦值解比例問(wèn)題例題精講模塊一、比例轉(zhuǎn)化【例 1】 甲、乙、丙三個(gè)數(shù)，已知甲:（乙+丙），乙:丙，求甲:乙:丙。【考點(diǎn)】比例應(yīng)用題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 由可得到，而，所以： 【答案】【例 2】 已知甲、乙、丙三個(gè)數(shù)，甲的一半等于乙的倍也等于丙的，那么甲的、乙的倍、丙的一半這三個(gè)數(shù)的比為多少？【考點(diǎn)】比例應(yīng)用題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 甲的一半、乙的倍、丙的這三個(gè)數(shù)的比為，所以甲、乙、丙這三個(gè)數(shù)的比為即，化簡(jiǎn)為，那么甲的、乙的倍、丙的一半這三個(gè)數(shù)的比為即，化簡(jiǎn)為.【答案】

5、【例 3】 已知甲、乙、丙三個(gè)數(shù)，甲等于乙、丙兩數(shù)和的，乙等于甲、丙兩數(shù)和的，丙等于甲、乙兩數(shù)和的，求甲:乙:丙.【考點(diǎn)】比例應(yīng)用題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 由甲等于乙、丙兩數(shù)和的，得到甲等于三個(gè)數(shù)和的，同樣的乙等于甲、丙兩數(shù)和的，同樣的丙等于甲、乙兩個(gè)數(shù)和的 ，所以甲:乙:丙【答案】【例 4】 甲、乙兩個(gè)工人上班，甲比乙多走的路程，而乙比甲的時(shí)間少，甲、乙的速度比是 【考點(diǎn)】比例應(yīng)用題 【難度】2星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】2008年，清華附中【解析】 甲走的路程是乙走的路程的，甲用的時(shí)間是乙用的時(shí)間的，所以甲的速度是乙的速度的，即甲、乙的速度比是【答案】【例 5】 右圖是一個(gè)

6、園林的規(guī)劃圖，其中，正方形的是草地；圓的是竹林；竹林比草地多占地450平方米 問(wèn)：水池占多少平方米? 【考點(diǎn)】比例應(yīng)用題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 正方形的是草地，那如果水池占1份，草地的面積便是3份；圓的是竹林，水池占1份，竹林的面積是6份。從而竹林比草地多出的面積是（6-3=）3份。3份的面積是450平方米，可見(jiàn)1份面積是450÷3=150（平方米），即水池面積是150平方米?！敬鸢浮?50【例 6】 如下圖所示，圓與圓的面積之和等于圓面積的，且圓中的陰影部分面積占圓面積的，圓的陰影部分面積占圓面積的，圓的陰影部分面積占圓面積的求圓、圓、圓的面積之比【考點(diǎn)】比例應(yīng)用題

7、 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 設(shè)與的共同部分的面積為，與的共同部分的面積為，則根據(jù)題意有，于是得到，這條式子可化簡(jiǎn)為，所以.最后得到.【答案】【例 7】 地球表面的陸地面積和海洋面積之比是2971，其中陸地的四分之三在北半球，那么南、北半球海洋面積之比是（）A. 28429B. 28487C. 8729D. 171113【考點(diǎn)】比例應(yīng)用題 【難度】2星 【題型】選擇【關(guān)鍵詞】華杯賽，六年級(jí)【解析】 解：設(shè)地球表面積為1，則北半球海洋面積為：0.50.29×南半球海洋面積為：0.71南北半球海洋面積之比為：171113答案：D【答案】D【例 8】 某俱樂(lè)部男、女會(huì)員的人數(shù)之比

8、是，分為甲、乙、丙三組已知甲、乙、丙三組的人數(shù)比是，甲組中男、女會(huì)員的人數(shù)之比是，乙組中男、女會(huì)員的人數(shù)之比是求丙組中男、女會(huì)員人數(shù)之比【考點(diǎn)】比例應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 以總?cè)藬?shù)為1，則甲組男會(huì)員人數(shù)為，女會(huì)員為，乙組男會(huì)員為，女會(huì)員為；丙組男會(huì)員為，女會(huì)員為；所以，丙組中男、女會(huì)員人數(shù)之比為【答案】【鞏固】 某團(tuán)體有名會(huì)員，男女會(huì)員人數(shù)之比是，會(huì)員分成三組，甲組人數(shù)與乙、丙兩組人數(shù)之和一樣多，各組男女會(huì)員人數(shù)之比依次為、，那么丙組有多少名男會(huì)員？【考點(diǎn)】比例應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 會(huì)員總?cè)藬?shù)人，男女比例為，則可知男、女會(huì)員人數(shù)分別為人、人；又已知

9、甲組人數(shù)與乙、丙兩組人數(shù)之和一樣多，則可知甲組人數(shù)為人，乙、丙人數(shù)之和為人，可設(shè)丙組人數(shù)為人，則乙組人數(shù)為人，又已知甲組男、女會(huì)員比為，則甲組男、女會(huì)員人數(shù)分別為人、人，又已知乙、丙兩組男、女會(huì)員比例，則可得：，解得即丙組會(huì)員人數(shù)為人，又已知男、女比例，可得丙組男會(huì)員人數(shù)為人【答案】【例 9】 一項(xiàng)公路的修建工程被平均分成兩份承包給甲、乙個(gè)工程隊(duì)建設(shè)，兩個(gè)工程隊(duì)建設(shè)了相同多的一段時(shí)間后，分別剩下、的任務(wù)沒(méi)有完成，已知兩個(gè)工程隊(duì)的工作效率(建設(shè)速度)之比，求這兩個(gè)工程隊(duì)原先承包的修建公路長(zhǎng)度之比.【考點(diǎn)】比例應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 (法一)甲工程隊(duì)以倍乙工程隊(duì)建設(shè)速度，僅完

10、成了的承包任務(wù)，而乙工程隊(duì)完成了，所以甲工程隊(duì)承包任務(wù)的等于乙工程隊(duì)承包任務(wù)的，所以甲工程隊(duì)的承包的任務(wù)是乙工程隊(duì)承包任務(wù)的，所以兩個(gè)工程隊(duì)承包的修建公路長(zhǎng)度之比為(法二)兩個(gè)工程隊(duì)完成的工程任務(wù)(修建公路長(zhǎng)度)之比等于工作效率之比，等于，而他們分別完成了各自任務(wù)的和，所以兩個(gè)工程隊(duì)承包的修建公路長(zhǎng)度之比為【答案】【例 10】 、三項(xiàng)工程的工作量之比為，由甲、乙、丙三隊(duì)分別承擔(dān)三個(gè)工程隊(duì)同時(shí)開(kāi)工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，則甲、乙、丙隊(duì)的工作效率的比是多少？【考點(diǎn)】比例應(yīng)用題 【難度】4

11、星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】2007年，華杯賽，總決賽【解析】 根據(jù)題意，如果把工程的工作量看作，則工程的工作量就是，工程的工作量就是 設(shè)甲、乙、丙三個(gè)工程隊(duì)的工作效率分別為、.經(jīng)過(guò)天，則： 將代入，得，將代入，得，將代入，得代入，得甲、乙、丙三隊(duì)的工作效率的連比是【答案】【鞏固】 某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)已知：甲、乙兩校獲一等獎(jiǎng)的人數(shù)相等；甲校獲一等獎(jiǎng)的人數(shù)占該校獲獎(jiǎng)總?cè)藬?shù)的百分?jǐn)?shù)與乙校相應(yīng)的百分?jǐn)?shù)的比為；甲、乙兩校獲二等獎(jiǎng)的人數(shù)總和占兩校獲獎(jiǎng)人數(shù)總和的；甲校獲三等獎(jiǎng)的人數(shù)占該校獲獎(jiǎng)人數(shù)的；甲校獲二等獎(jiǎng)的人數(shù)是乙校獲二等獎(jiǎng)人數(shù)的倍那么，乙校獲一等獎(jiǎng)的人數(shù)占該校獲獎(jiǎng)總?cè)藬?shù)的百分?jǐn)?shù)等于多少？

12、【考點(diǎn)】比例應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 由、可知甲、乙兩校獲獎(jiǎng)總?cè)藬?shù)的比為，不妨設(shè)甲校有60人獲獎(jiǎng)，則乙校有50人獲獎(jiǎng)由知兩校獲二等獎(jiǎng)的共有人；由知甲校獲二等獎(jiǎng)的有人；由知甲校獲一等獎(jiǎng)的有人，那么乙校獲一等獎(jiǎng)的也有12人，從而所求百分?jǐn)?shù)為【答案】【例 11】 某校畢業(yè)生共有9個(gè)班，每班人數(shù)相等已知一班的男生人數(shù)比二、三班兩個(gè)班的女生總數(shù)多1；四、五、六班三個(gè)班的女生總數(shù)比七、八、九班三個(gè)班的男生總數(shù)多1那么該校畢業(yè)生中男、女生人數(shù)比是多少？【考點(diǎn)】比例應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 如下表所示，由知，一、二、三班的男生總數(shù)比二、三班總?cè)藬?shù)多1；由知，四至九班的男

13、生總數(shù)比四、五、六班總?cè)藬?shù)少1一班男生比二、三班女生多1人加上二、三班男生二、三班男生一、二、三班男生比二、三班總?cè)藬?shù)多1人七、八、九班男生比四、五、六班女生少1人加上四、五、六班男生四、五、六班男生四、五、六、七、八、九班男生比四、五、六班總?cè)藬?shù)少1人因此，一至九班的男生總數(shù)是二、三、四、五、六共五個(gè)班的人數(shù)之和，由于每班人數(shù)均相等，則女生總數(shù)等于四個(gè)班的人數(shù)之和所以，男、女生人數(shù)之比是【答案】=模塊二、按比例分配與和差關(guān)系（一）量倍對(duì)應(yīng)【例 12】 一些蘋(píng)果平均分給甲、乙兩班的學(xué)生，甲班比乙班多分到個(gè)，而甲、乙兩班的人數(shù)比為，求一共有多少個(gè)蘋(píng)果？【考點(diǎn)】比例應(yīng)用題 【難度】2星 【題型】解

14、答 【解析】 一共有個(gè)蘋(píng)果.【答案】個(gè)【鞏固】 甲、乙兩個(gè)班共種樹(shù)若干棵，已知甲班種的棵數(shù)的等于乙班種的棵數(shù)的，且乙班比甲班多種樹(shù)棵，甲、乙兩個(gè)班各種樹(shù)多少棵?【考點(diǎn)】比例應(yīng)用題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 甲、乙兩班種樹(shù)棵數(shù)之比為：，甲班種樹(shù)棵數(shù)為：(棵)，乙班種樹(shù)棵數(shù)為：(棵)【答案】棵【例 13】 甲乙兩校參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的人數(shù)之比是7：8，獲獎(jiǎng)人數(shù)之比是2：3，兩校各有320人未獲獎(jiǎng)，那么兩校參賽的學(xué)生共有 人?！究键c(diǎn)】比例應(yīng)用題 【難度】2星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級(jí)，一試【解析】 方法一：設(shè)甲、乙兩校參加希望杯的學(xué)生人數(shù)各有人，人。根據(jù)題意列方程得，解得。兩校參

15、加人數(shù)為人。 方法二：因?yàn)?，。所以設(shè)甲乙兩校各有7份，8份人，校參加人數(shù)為（人）【答案】人【例 14】 師徒二人加工一批零件，師傅加工一個(gè)零件用9分鐘，徒弟加工一個(gè)零件用15分鐘完成任務(wù)時(shí)，師傅比徒弟多加工100個(gè)零件，求師傅和徒弟一共加工了多少個(gè)零件？【考點(diǎn)】比例應(yīng)用題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 師傅與徒弟的工作效率之比是，工作時(shí)間相同，工作量與工作效率成正比，所以師傅與徒弟分別完成總量的和，師傅和徒弟一共加工了個(gè)零件(涉及到數(shù)量差和數(shù)量比的題在以下題目中詳細(xì)講述).【答案】個(gè)【鞏固】 師徒二人共加工零件個(gè)，師傅加工一個(gè)零件用分鐘，徒弟加工一個(gè)零件用分鐘完成任務(wù)時(shí)，師傅比徒弟多加

16、工多少個(gè)零件？【考點(diǎn)】比例應(yīng)用題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 師傅與徒弟的工作效率之比是，而工作時(shí)間相同，則工作量與工作效率成正比，所以師傅與徒弟分別完成總量的和，師傅比徒弟多加工零件個(gè)【答案】個(gè)【例 15】 甲、乙兩只螞蟻同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，沿長(zhǎng)方形的邊爬去，結(jié)果在距點(diǎn)厘米的點(diǎn)相遇，已知乙螞蟻的速度是甲的倍，求這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)【考點(diǎn)】比例應(yīng)用題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 兩只螞蟻在距點(diǎn)厘米的點(diǎn)相遇，說(shuō)明乙比甲一共多走了(厘米)又知乙螞蟻的速度是甲螞蟻的倍，相同時(shí)間內(nèi)乙螞蟻爬的路程與甲螞蟻爬的路程比為：1.2：16：5，所以甲爬的路程是(厘米)，乙爬的路程是(厘米)，長(zhǎng)方形的周

17、長(zhǎng)為(厘米)【答案】【鞏固】 甲、乙兩車(chē)分別從、兩地同時(shí)相向開(kāi)出，甲車(chē)的速度是千米小時(shí)，乙車(chē)的速度是千米小時(shí)，當(dāng)甲車(chē)駛過(guò)、距離的多千米時(shí)與乙車(chē)相遇，、兩地相距 千米【考點(diǎn)】比例應(yīng)用題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 在相同的時(shí)間內(nèi)，兩車(chē)行駛的路程比等于兩車(chē)的速度之比，由于兩車(chē)的速度之比等于，那么、距離的多千米即是、距離的，所以千米的距離相當(dāng)于全程的，全程的距離為(千米)【答案】【例 16】 小新、小志、小剛?cè)藫碛械牟貢?shū)數(shù)量之比為，三人一共藏書(shū)本，求他們?nèi)烁髯缘牟貢?shū)數(shù)量.【考點(diǎn)】比例應(yīng)用題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 根據(jù)題意可知，他們?nèi)烁髯缘牟貢?shū)數(shù)量分別占三人藏書(shū)總量的、

18、，所以小新?lián)碛械牟貢?shū)數(shù)量為本，小志擁有的藏書(shū)數(shù)量為本，小剛擁有的藏書(shū)數(shù)量為本.【答案】【鞏固】 有個(gè)皮球，分給兩個(gè)班使用，一班分到的與二班分到的相等，求兩個(gè)班各分到多少皮球？【考點(diǎn)】比例應(yīng)用題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 根據(jù)題意可知一班與二班分到的球數(shù)比，所以一班分到皮球個(gè)，二班分到皮球個(gè)【答案】【例 17】 圓珠筆和鉛筆的價(jià)格比是4：3，20支圓珠筆和21支鉛筆共用715元問(wèn)圓珠筆的單價(jià)是每支多少元?【考點(diǎn)】比例應(yīng)用題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 設(shè)圓珠筆的價(jià)格為4，那么鉛筆的價(jià)格為3，則20支圓珠筆和21支鉛筆的價(jià)格為20×4+21×3=143，則

19、單位“1”的價(jià)格為71.5÷143=0.5元所以圓珠筆的單價(jià)是0.5×4=2(元)【答案】2【例 18】 在抗洪救災(zāi)區(qū)活動(dòng)中，甲、乙、丙三人一共捐了80元已知甲比丙多捐18元，甲、乙所捐資的和與乙、丙所捐資的和之比是，則甲捐 元，乙捐 元，丙捐 元【考點(diǎn)】比例應(yīng)用題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 由于甲比丙多捐18元，所以甲、乙所捐資的和比乙、丙所捐資的和多18元，那么甲、乙所捐資的和為：(元)，乙、丙所捐資的和為元所以，甲捐了(元)，乙捐了(元)，丙捐了(元)【答案】元【例 19】 一班和二班的人數(shù)之比是，如果將一班的名同學(xué)調(diào)到二班去，則一班和二班的人數(shù)比變?yōu)榍笤?/p>

20、來(lái)兩班的人數(shù)【考點(diǎn)】比例應(yīng)用題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 原來(lái)一班的人數(shù)為兩班總?cè)藬?shù)的，調(diào)班后一班的人數(shù)是兩班人數(shù)的，調(diào)班前后一班人數(shù)的比值為，所以一班原來(lái)的人數(shù)為人，二班原來(lái)的人數(shù)為人.【答案】人【例 20】 一把小刀售價(jià)元如果小明買(mǎi)了這把小刀，那么小明與小強(qiáng)剩余的錢(qián)數(shù)之比是；如果小強(qiáng)買(mǎi)了這把小刀，那么兩人剩余的錢(qián)數(shù)之比變?yōu)樾∶髟瓉?lái)有多少錢(qián)？【考點(diǎn)】比例應(yīng)用題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 由已知，小強(qiáng)的錢(qián)相當(dāng)于小明、小強(qiáng)買(mǎi)刀后所剩錢(qián)數(shù)和的，小明的錢(qián)相當(dāng)于小明、小強(qiáng)買(mǎi)刀后錢(qián)數(shù)和的，所以小明、小強(qiáng)的錢(qián)數(shù)的比值為，而小明買(mǎi)刀后小明、小強(qiáng)的錢(qián)數(shù)之比為，所以小明買(mǎi)刀前后的錢(qián)數(shù)之比

21、為，所以小刀的售價(jià)等于小明原來(lái)錢(qián)數(shù)的，所以小明的錢(qián)數(shù)為元。也可這樣看，小明買(mǎi)刀與未買(mǎi)刀的錢(qián)數(shù)比為，小明的錢(qián)數(shù)為（元）【答案】元【鞏固】 甲、乙兩人原有的錢(qián)數(shù)之比為，后來(lái)甲又得到180元，乙又得到30元，這時(shí)甲、乙錢(qián)數(shù)之比為，求原來(lái)兩人的錢(qián)數(shù)之和為多少？【考點(diǎn)】比例應(yīng)用題 【難度】2星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】十三分，入學(xué)測(cè)試【解析】 兩人原有錢(qián)數(shù)之比為，如果甲得到180元，乙得到150元，那么兩人的錢(qián)數(shù)之比仍為，現(xiàn)在甲得到180元，乙只得到30元，相當(dāng)于少得到了120元，現(xiàn)在兩人錢(qián)數(shù)之比為，可以理解為：兩人的錢(qián)數(shù)分別增加180元和150元之后，錢(qián)數(shù)之比為，然后乙的錢(qián)數(shù)減少120元，兩人的錢(qián)數(shù)之比變?yōu)?，所?20元相當(dāng)于4份，1份為30元，