理科高等數(shù)學(xué)(下)綜合練習(xí)題daying

1、 高 等 數(shù) 學(xué) 綜 合 練 習(xí) 題 （二）一、選擇題1. 柱面的母線平行于（ ）A. 軸 B. 軸 C. 軸 D. 面2. 設(shè)，則有（ ） A. B. C. D. 3. 方程表示的二次曲面是（）A. 圓柱面B. 旋轉(zhuǎn)拋物面 C. 圓錐面 D. 雙曲拋物面4設(shè)，則其以為周期的傅里葉級(jí)數(shù)在收斂于（ ）A. B. C. D. 5. 平面與平面的關(guān)系是 ( )A. 平行 B. 垂直 C. 重合 D. 以上結(jié)論都不對(duì)6. 直線與平面的位置關(guān)系是( )A. 垂直 B.平行 C. 夾角為 D.夾角為7. 設(shè)曲面上點(diǎn)處切平面平行，則點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）A. B. C. D.8. 在點(diǎn)可微分是在點(diǎn)連續(xù)的( )A.

2、必要條件 B. 充分條件 C. 充要條件 D. 無關(guān)條件9. 設(shè),則在點(diǎn)處的全微分等于（）A. B. CD. 10. 函數(shù)在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在是在該點(diǎn)連續(xù)的（ ） A.充分條件 B.必要條件 C.充分必要條件 D.既非充分條件，也非必要條件.11. 已知為某一函數(shù)的全微分，則和的值分別是（）A.-2和2 B.2和-2 C.-3和3 D.3和-312. 已知在整個(gè)平面是某個(gè)二元函數(shù)的全微分,則( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 313. 設(shè)平面區(qū)域,則( )A. 0 B. 2 C. 1 D. 214. 設(shè)積分區(qū)域D是圓環(huán)域，則二重積分可化為（）A. B. C. D. 15. 設(shè)D是平面上的三

3、角形區(qū)域，其面積為1，則等于（）A. 1 B. 2 C. 4 D. 316. 設(shè)，則=（ ）A. B. C. D.17. 設(shè)圓弧段,則=( )A. B. C. D.18. 冪級(jí)數(shù)的收斂域是（ ） A. B. C. D.19. 設(shè)冪級(jí)數(shù)在 收斂，則在處 ( )A. 絕對(duì)收斂 B. 發(fā)散 C. 條件收斂 D. 以上結(jié)論都不對(duì)20. 級(jí)數(shù)（）A. 絕對(duì)收斂B. 條件收斂 C. 發(fā)散D. 收斂性不能判定21. 方程的通解是（）A. B. C. D. 22. 下列曲線積分在整個(gè)面內(nèi)積分與路徑無關(guān)的是（）A.B. C. D. 23. 若級(jí)數(shù)和都收斂，則級(jí)數(shù)（）A. 條件收斂 B. 絕對(duì)收斂 C. 發(fā)散 D

4、. 可能收斂也可能發(fā)散24. 微分方程的通解是（ ）A. B. C. D.25. 設(shè)級(jí)數(shù)收斂，則有 ( )A. B. C. D. 26. 微分方程的特解形式是（ ）A. B. C. D. 27. 若級(jí)數(shù)收斂，則（ ）A. B. 1 C. D. 不存在但不是28. 函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù)為（ ）A. B. C. D.以下題目為本科考查題，高職高專不考查29. 設(shè)，則有（）A. B. C. D.30. 設(shè)與路徑無關(guān)，有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則 （ ）A. 2 B.1 C. 4 D.331. 設(shè)為周長(zhǎng)為的橢圓，則（ ）A. B. C. D.32.設(shè)是球面取外側(cè)，則（ ）A. B. C. D. 0二 填空題1.

5、（1）; （2） .2. 在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在是在該點(diǎn)可微分的條件；在點(diǎn)可微分是函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在的條件.3. 函數(shù)的全微分是.4. 設(shè)，則.5. 函數(shù)在點(diǎn)的梯度_.6. 函數(shù)在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)_. 7. 交換積分次序后，. 8. 交換積分次序后， . 9. 設(shè)區(qū)域，則=.10. 設(shè)為圓周上對(duì)應(yīng)從0到的一段弧，則.11. 設(shè)是圓周，則.12. 曲面在點(diǎn)處的切平面方程是;法線方程是.13. 通解為的二階常系數(shù)線性齊次微分方程為_.14. 微分方程的通解是.15. 微分方程的通解是16. 微分方程的通解為.17.設(shè)級(jí)數(shù)收斂，則的取值范圍是.18. 函數(shù)關(guān)于的冪級(jí)數(shù)展開式是.19. 冪級(jí)數(shù)的收斂

6、域是.20. 若冪級(jí)數(shù)收斂半徑為，則的收斂半徑為_.21. 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)取得極值，則=_.22. 設(shè)都是單位向量，且滿足，則.23. 設(shè)，且，則=.24. 直線和平面的關(guān)系為.25. 設(shè)，則=時(shí)，；=時(shí)，.26. 平行于軸且過點(diǎn) 及的平面方程是.27. 直線與的夾角是.28. 與直線及平行且過原點(diǎn)的平面方程是.以下題目為本科考查題，高職高專不考查29.在函數(shù)的傅里葉展開式中，系數(shù) _.30. 設(shè)是柱面介于平面及之間的部分，則.31. 設(shè)，則_.32. 設(shè)是平面在第一卦限部分取上側(cè)，則.填空題答案1.（1）1 （2）； 2. 必要、充分； 3.；4.1; 5. ； 6.；7.；8.； 9.；10.

7、0；11.；12., ；13.;14.；15.；16.; 17.; 18.;19. ；20. ； 21.; 22. -； 23.3；24.垂直； 25.，6； 26.; 27.;28. ; 29.；30. ; 31.；32.三、計(jì)算題1. 求過點(diǎn)且以為法線向量的平面的方程.解 根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程，得所求平面的方程為 ，即 .2. 設(shè)平面通過兩點(diǎn)和且垂直于平面方程，求它的方程.解 設(shè)所求平面的法向量為，得，又所求平面垂直于已知平面，所以有，從而 ，由平面的點(diǎn)法式方程可知，所求平面方程為，將及代入上式，并約去，便得，或 ，這就是所求平面方程.3. 求與兩平面和的交線平行且過點(diǎn)的直線的方程。解 所

8、求平面方向向量 因此，所求直線的方程為 4. 求在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù).解，將點(diǎn)代入得，.5. 計(jì)算函數(shù)的全微分.解 因?yàn)?，所?6設(shè)，而，求和.解7. 設(shè), 其中具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),求.解 ,= =.8. 設(shè)，具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求及.解 根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，=.9. 設(shè)，求解 設(shè)，則，應(yīng)用隱函數(shù)求導(dǎo)公式，得， .10. 求曲線，在點(diǎn)處的切線及法平面方程。解 將所給方程的兩邊對(duì)求導(dǎo)并移項(xiàng)，得由此得，從而切向量，故所求切線方程為.法平面方程為，即.11. 求旋轉(zhuǎn)拋物面在點(diǎn)處的切平面及法平面方程.解，所以在點(diǎn)處的切平面方程為，即 .法線方程為 .12. 求在點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù)，其中的方向角分別為,.

9、解 與同向的單位向量，且 ，。故 .13. 設(shè) ，求在點(diǎn)處的梯度及它的模.解 由于 ，所以 ， .14. 計(jì)算積分 .解 因積不出來，故交換積分次序. ,=.15. 計(jì)算，其中D: .16. 計(jì)算曲線積分，其中是單位圓在第一象限的部分.解.17. 計(jì)算曲線積分，其中是圓周在第一象限內(nèi)的部分.解=,18. 計(jì)算曲線積分，其中L為圓周上由點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧.解 .19.計(jì)算積分,其中是從點(diǎn)沿曲線到點(diǎn)的弧段.解 可知,故積分與路徑無關(guān). 取從沿到, 所以，原式. 20. 利用格林公式計(jì)算曲線積分，其中L為三頂點(diǎn)所圍成的三角形正向邊界解，21. 用格林公式計(jì)算曲線積分其中L是上半圓周,取逆時(shí)針方向.解 添

10、加線段， 由格林公式 =.于是 =.22.判斷級(jí)數(shù)的斂散性.解因，故級(jí)數(shù)發(fā)散.23. 求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.解.法2 此題可將級(jí)數(shù)拆分為兩個(gè)級(jí)數(shù)，取較小的收斂半徑.24.求微分方程的通解.解，所求通解25. 求微分方程的通解和特解.解 所求通解.由，得，特解為.26. 求微分方程的通解;解27. 求微分方程的通解.解 齊次方程的特征方程為，特征根為對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為 . 設(shè)特解為=，代入方程有，所求通解為28. 求微分方程的通解.解 齊次方程的特征方程為，特征根為對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為 . 設(shè)特解為 =,代入方程有,所求通解為.29.求微分方程的通解.解 齊次方程的特征方程為，特征根為對(duì)應(yīng)的

11、齊次方程的通解為 .設(shè)特解為 ，代入方程有，所求通解為以下題目為本科考查題，高職高專不考查30.計(jì)算，其中為平面在第一卦限中的部分.解31. 求平面被三個(gè)坐標(biāo)面割出的有限部分的面積.解32. 求三重積分，其中是由平面與三個(gè)坐標(biāo)面圍成的區(qū)域.解 因，由對(duì)稱性知 .33.利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分，其中是由曲面與平面所圍城的閉區(qū)域.解法1 .注：若用切片法，則=34. 用高斯公式計(jì)算曲面積分, 其中為球面的外側(cè).解 由高斯公式 =35. 用高斯公式計(jì)算曲面積分, 其中為球面所圍成立體表面的外側(cè).解 由高斯公式 =36. 求微分方程的通解.解 方程化為，由通解公式.四、應(yīng)用題1. 求的極值.解 由方程

12、組得的駐點(diǎn).由于，因此，在點(diǎn)取得極小值.2. 求函數(shù)的極值. 解令 ，解得駐點(diǎn)為 又 在點(diǎn)處，故是極小值. 在點(diǎn)處，故不是極值.3. 求函數(shù)的極值.解由，求得駐點(diǎn)為（2，-2）又，所以函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值，極大值為.4. 求函數(shù)的極值.解 令，解得駐點(diǎn)又 在點(diǎn)處,故不是極值點(diǎn). 在點(diǎn)處,且,故是極小值.5. 求函數(shù)的極值。解 由 得駐點(diǎn)為、.又 ，。在點(diǎn)處，又，所以函數(shù)在處有極小值；在點(diǎn)處，所以函數(shù)不是極值；在點(diǎn)處，所以函數(shù)不是極值；在點(diǎn)處，又，所以函數(shù)在處有極大值.6. 求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).解 由知收斂半徑.當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散。所以收斂域?yàn)?設(shè)所求和函數(shù)為，即，=， 于是 .7. 求冪級(jí)數(shù)的收

13、斂域與和函數(shù),并求級(jí)數(shù)的和.解 收斂半徑，收斂區(qū)間.時(shí), 級(jí)數(shù)為發(fā)散,時(shí)，級(jí)數(shù)為收斂，收斂域?yàn)? 設(shè)和函數(shù)，則，于是，和函數(shù)， 且 .8. 求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，并求的值.解 收斂半徑，收斂區(qū)間.與級(jí)數(shù)發(fā)散，收斂域?yàn)? 設(shè)和函數(shù) ，則=于是 ， 且=.9. 求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).解法1 級(jí)數(shù)屬缺項(xiàng)型冪級(jí)數(shù), 用比值法,故當(dāng)時(shí),即級(jí)數(shù)收斂,時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散,于是收斂半徑.時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散，故收斂域?yàn)?設(shè)和函數(shù)為,=.解法2 令，級(jí)數(shù)化為，易得，收斂域?yàn)?，設(shè)和函數(shù)為，=.于是 所求級(jí)數(shù)和函數(shù).10. 將函數(shù)展開為的冪級(jí)數(shù). 解=11. 求旋轉(zhuǎn)拋物面與平面所圍的空間立體的體積.解 消去得積分區(qū)域，于是，所求體積 .12. 設(shè)有邊長(zhǎng)為的正方形薄板，其任一點(diǎn)的密度等于到正方形中心的距離的平方，求薄板的質(zhì)量.解 設(shè)正方形薄板占有平面區(qū)域?yàn)閯t密度函數(shù)為，薄板的質(zhì)量因，由對(duì)稱性=.五、證明題1. 證明以三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形.證 因?yàn)?，, 而，即，于是三角形是等腰直角三角形.2. 設(shè)的三邊，三邊中點(diǎn)依次為，證明證 因?yàn)椋?設(shè)函數(shù)，證明證 因?yàn)椋?，于是 4. 設(shè), 證明 .證 對(duì)兩邊分別關(guān)于求偏導(dǎo)得，即 ， 從而.5設(shè)