用分離變量法解常微分方程53543

1、用分離變量法解常微分方程江蘇科技大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院 2012級(jí) 李光 129100009徐赟 129100010 摘 要：分離變量的思想在解微分方程中有著廣泛的應(yīng)用,分離變量法是求解微分方程的一種常用的輔助方法.通過對(duì)原方程的變量（因變量或自變量）用新的變量替換,使原方程化為相對(duì)簡(jiǎn)單的和我們能解的方程類型,從而達(dá)到求解的目的.本文通過實(shí)例給出了分離變量在求解一階微分方程中的具體應(yīng)用.關(guān)鍵詞：常微分方程;一階;分離變量Abstract: Separation variable of thought in solutions differential equation in the has

2、widely of application, separation variable method is solution differential equation of a common of secondary method. by on original equation of variable (due to variable or since variable) with new of variable replace, makes original equation into relative simple of and we can solutions of equation

3、type, to reached solution of purpose. this by instance to out has separation variable in solution a order differential equation in the of specific application.Keywords: Ordinary differential equations;First order;Separation of variables引言微分方程的類型是多種多樣的,它們的解法也是各不相同,在許多的教材及文獻(xiàn)中都有相應(yīng)的歸納和總結(jié).分離變量法是求解微分方程的一種

4、常用的輔助方法,應(yīng)用它可以把一個(gè)微分方程化為已經(jīng)知其求解方法和步驟的方程，進(jìn)而求出原微分方程的解.在分離變量中的變量替換主要分為因變量的變量替換和自變量的變量替換兩類.在求解微分方程中應(yīng)用的比較多的就是因變量的變量替換.正文部分分離變量法是求解一階常微分方程比較常用、簡(jiǎn)單的方法.下面就能分離變量的常微分方程歸納如下： 直接可分離變量的微分方程1.1形如 = (1.1)的方程，稱為變量分離方程，這里，分別是的連續(xù)函數(shù).如果(y)0，我們可將（1.1）改寫成= ,這樣，變量就“分離”開來了.兩邊積分，得到 通解：= + c. (1.2)其中，c表示該常數(shù)，分別理解為，的原函數(shù).常數(shù)c的取值必須保證

5、（1.2）有意義.使的是方程(1.1)的解.例1 求解方程的通解.解：(1)變形且分離變量：(2)兩邊積分： ，得.可以驗(yàn)證也是原方程的解，若視和是平等的，則也是原方程的解.我們可以用這個(gè)方法來解決中學(xué)常見的一些幾何問題.例2 曲線上的點(diǎn)處的法線與軸的交點(diǎn)為，且線段被軸平分.求曲線的方程.分析:這是一個(gè)利用幾何條件來建立微分方程的例子.先建立法線的方程，用大寫的表示法線上的動(dòng)點(diǎn)，用小寫的表示曲線上的點(diǎn)，為過點(diǎn)的法線的斜率.解：由題意得.從而法線的方程為.圖1又被軸平分，與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入上式，得.整理后，得，分離變量，解得，其中c為任意正數(shù)，如圖1. 變量可替換的微分方程通過上面的介紹，我

6、們已經(jīng)知道了什么方程是變量分離方程.下面，我們?cè)俳榻B幾種可化為變量分離方程的類型:2.1齊次方程形如 (1.3)的微分方程，稱為齊次微分方程.這里是的連續(xù)函數(shù).對(duì)方程(1.3)做變量變換 ， (1.4)即，于是 . (1.5)將(1.4),(1.5)代入（1.3），則原方程變?yōu)?，整理后，得到 . (1.6)方程（1.6）是一個(gè)變量分離方程.可按前面(1.1)的方法求解，然后代回原來的變量，便得到（1.3）的解.例3 求微分方程的通解.解：原方程化為 ，即，于是，令，即，將代入該方程，得，整理，即有，分離變量，得 ，兩邊積分，得，將代回來，得， ，即，其中為任意常數(shù).另,即也是原方程的解，但此

7、解課包含于通解之中.故,方程的通解為.2.2形如 (1.7)的方程，這里均為常數(shù). 此方程經(jīng)變量變換可化為變量分離方程.我們分三種情形來討論：2.2.1 的情形.這時(shí)方程化為有通解，其中.2.2.2 的情形.令，這時(shí)有是變量分離方程.2.2.3 的情形.如果方程中不全為零，方程右端分子、分母都是的一次多項(xiàng)式，因此， . （1.8）代表平面上兩條相交直線，設(shè)交點(diǎn).若令，.則（2.2）化為，.從而（2.1）變?yōu)?. (1.9)因此，求解上述變量分離方程，最后代回原變量即可得原方程（2.1）的解.如果方程（2.1）中可不必求解（2.2），直接取變換即可.上述解題的方法也適用于比方程（2.1）更一般的

8、方程類型.例4 求解方程 （2.0）解： 解方程組 , ,得.于是，令,代入方程（2.4），則有 . 再令,即 ，則化為，兩邊積分，得，因此，代回原變量，得，即.因此，方程（2.3）的通解為，其中，為任意常數(shù).通過上述的求解，我們發(fā)現(xiàn)以上的方法是非常的準(zhǔn)確的，但是對(duì)于像例5這種形式的的方程，我們發(fā)現(xiàn)還可以用另一種方法湊微分進(jìn)行求解.湊微分當(dāng)方程滿足： （2.2）時(shí)，方程會(huì)有更簡(jiǎn)便的求解方法（全微分的知識(shí)的運(yùn)用）.即：將代入方程中，有即展開，得 （2.3）有條件（2.6）可知， （2.4）將（2.8）代入（2.7）中，得.很顯然，這是一個(gè)全微分方程，從而原方程的通解為，其中為任意常數(shù).例5 求解

9、方程.解法一：該方程屬于（2.2.2）的情形.于是，令.則所以，原方程可化為.這是一個(gè)分離變量方程.整理可得.將代入，可得即，通解為.其中c為任意常數(shù).觀察例6可以發(fā)現(xiàn)，方程也滿足條件(2.6)，于是用湊微分的方法同樣可以求解.解法二：原方程變形為.整理得.所以.兩邊積分，得原方程的通解為=C，其中C為任意常數(shù).以上的兩種方法都是求解微分方程的常用方法,下面再介紹幾種比較常見的課分離變量的方程.2.3形如 的方程也可以經(jīng)變量變換化為變量分離方程，這里的均為常數(shù).做變量變換，這時(shí)有，即.是變量分離方程.而當(dāng)時(shí)，為其特殊形式.例7 求解方程.解：因?yàn)?， (2.5)可以化為.于是，令 . (2.6

10、)則 , (2.7)將(2.9)代入(2.11)可以知道，這是一個(gè)分離變量方程.即.兩邊同時(shí)積分，得 . (2.8)再將(2.10)代入(2.12)，得.所以整理得，其中C為任意常數(shù). 2.4其他幾種變量能分離的方程類型2.4.1形如 , (2.9)的方程同樣可已經(jīng)變量替換化為變量分離方程.將(2.13)變形為 (3.0)做變量替換 . 這時(shí)有 ， (3.1)將(2.15)代入(2.14)中，得.是變量分離方程.2.4.2形如 ， (3.2)的方程是變量分離方程.做變量替換，則 ， (3.3)代入原方程，得.是變量分離方程.2.4.3形如 ， (3.4)的方程是變量分離方程.做變量替換，則，有

11、 ， (3.5)將(2.19)代入(2.18)中，得，所以，原方程同樣是變量可替換方程.2.4.4形如 (3.6)（其中、滿足）的方程.可令，方程(2.20)化為齊次方程，事實(shí)上，由于，所以，即，再，設(shè)，可化為變量分離變量.除此之外，還有一些一般形式，如可以通過變量替換化為變量分離方程求解；形如（其中M、N為齊次函數(shù)，次數(shù)可以不相同）也可通過變量替換化為變量分離方程求解.變量代換是求解一階微分方程的一種重要方法，在一階微分方程的初等解法中具有重要的作用.參考文獻(xiàn)1 王高雄.常微分方程M.北京：高等教育出版社，2006:36-392 丁同仁，李承治.常微分方程教程M.北京：高等教育出版社，1982: