矩陣特征值和特征向量

1、第四章 矩陣的特征值和特征向量教學(xué)安排說明章節(jié)題目：§4.1 矩陣的特征值與特征向量，§4.2 相似矩陣與矩陣對角化學(xué)時分配：共4學(xué)時。§4.1 矩陣的特征根與特征向量 2學(xué)時§4.2 相似矩陣與矩陣對角化 2學(xué)時本章教學(xué)目的與要求：目的：通過教學(xué)使學(xué)生掌握特征根、特征向量、特征多項式等概念，熟練掌握計算特征根與特征向量的方法，屬于不同特征根的特征向量的關(guān)系，可對角化的判定和計算。要求是：1、 正確理解方陣的特征根，特征多項式，特征方程和特征向量等概念。2、重點掌握特征根和特征向量的性質(zhì)和求法（本章的難點）。3、深刻理解相似矩陣的概念，并熟練掌握它們的性

2、質(zhì)。4、重點掌握方陣相似對角矩陣的條件（本章的難點）。課 堂 教 學(xué) 方 案課程名稱：§4.1 特征值與特征向量授課時數(shù)：2學(xué)時授課類型:理論課教學(xué)方法與手段：講授法教學(xué)目的與要求：掌握特征根、特征向量、特征多項式概念及特征根、特征向量的求法；教學(xué)重點、難點：特征根、特征向量、特征多項式概念及求法.教學(xué)內(nèi)容§4.1 特征值與特征向量1.1方陣的特征值與特征向量定義1 設(shè)是階方陣，若存在常數(shù)和非零維向量使關(guān)系式 （1）成立，則稱數(shù)為方陣的特征值；非零向量稱為對應(yīng)于特征值的特征向量下面討論如何求矩陣的特征值與特征向量.設(shè)有階方陣和維列向量將（1）式改寫成 （2）得到一個含個未知

3、數(shù)個方程的齊次線性方程組 此方程組有非零解的充分必要條件是其系數(shù)行列式 即定義2 設(shè)為階方陣，含有未知量的矩陣稱為矩陣的特征矩陣，其行列式是的次多項式，稱為矩陣的特征多項式，記作；稱為矩陣的特征方程.是矩陣的一個特征值，則一定是的根，因此矩陣的特征值又稱為矩陣的特征根，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，階方陣有個特征值.關(guān)于特征向量，做幾點說明：（1）對于每一個特征值，與對應(yīng)的特征向量有無窮多個，這是因為齊次方程組每一個非零解都是的對應(yīng)于的特征向量.（2）對應(yīng)于同一特征值的特征向量的線性組合，仍是特征向量.（3）不同的特征值所對應(yīng)的特征向量不相等，即一個特征向量只能對應(yīng)于一個特征值.綜上所述，得到矩陣的特征值與特

4、征向量的求法：（1）求出特征方程的全部根（重根按重數(shù)計算），則就是方陣的全部特征值.（2）對的每個特征值，分別代入，得齊次線性方程組（3） 求的基礎(chǔ)解系，其中每個解向量都是對應(yīng)于的特征向量，基礎(chǔ)解系的線性組合就是對應(yīng)于的全部特征向量.例1 求矩陣的特征值和特征向量.例2 求矩陣的特征值和特征向量1.2 特征值與特征向量的性質(zhì)性質(zhì)1若階方陣A的特征值為，則（1）（2）如例2中矩陣的特征值，則；，性質(zhì)2 若向量分別是矩陣A的對應(yīng)于不同特征值的特征向量，則線性無關(guān).證明 若線性相關(guān)，因為都是非零向量，則有數(shù)使得，即也是A的對應(yīng)于的特征向量，與已知條件矛盾，所以，線性無關(guān).一般地，如果是矩陣A的不同特

5、征值，而是A的對應(yīng)于的線性無關(guān)的特征向量，則向量組也線性無關(guān).性質(zhì)3 階矩陣與它的轉(zhuǎn)置矩陣的特征值相同.證明 因為 所以與的特征多項式相同，從而它們的特征值相同.性質(zhì)4 設(shè)是階矩陣的特征值，則是的特征值. 證明 因為l是A的特征值, 所以，用左乘上式，得=，由于以及特征值的定義知的特征值.課后作業(yè) 習(xí)題四1：（1）、(2) ；2 課 堂 教 學(xué) 方 案課程名稱：§4.2 矩陣的相似與矩陣的對角化授課時數(shù)：2學(xué)時授課類型:理論課教學(xué)方法與手段：講授法教學(xué)目的與要求：掌握矩陣相似的定義及相關(guān)的性質(zhì),理解矩陣可對角化的條件.教學(xué)重點、難點：矩陣相似的定義及相關(guān)的性質(zhì),矩陣可對角化的條件.教

6、學(xué)內(nèi)容§4.2 矩陣的相似與矩陣的對角化 在矩陣的運算中,對角矩陣的運算最方便.自然要問，對于一個階方陣，是否可化為對角矩陣，且保持矩陣的一些重要性質(zhì).本節(jié)將討論這個問題.2.1矩陣相似的定義定義1 設(shè),都是階矩陣，如果有可逆矩陣P，使，則稱是的相似矩陣，或稱矩陣與相似，記為.其中矩陣稱為相似變換矩陣.從定義顯然可看出，矩陣的相似關(guān)系具有以下性質(zhì):(1) 反身性: 對任意階矩陣,有相似;(2) 對稱性: 若相似, 則與相似;(3) 傳遞性: 若與相似, 且與相似, 則與相似.2.2 相似矩陣的性質(zhì)定理1 相似矩陣有相同的特征多項式. 證明 設(shè)矩陣與矩陣相似, 所以存在可逆矩陣，使,于

7、是 =所以，矩陣與矩陣有相同的特征多項式. 但應(yīng)注意，定理的逆命題不成立，例如，矩陣，它們的特征多項式均為，但他們不是相似矩陣.定理2 相似矩陣有相同的行列式值.證明 設(shè)矩陣與矩陣相似, 所以存在可逆矩陣，使，于是根據(jù)方陣行列式性質(zhì)，兩邊求行列式，得,即,故矩陣A與B有相同的行列式值.定理3 相似矩陣有相同的可逆性，且當(dāng)它們都可逆時，其逆矩陣也相似.證明 設(shè)矩陣與矩陣相似，則，故矩陣與矩陣具有相同的可逆性.若矩陣與矩陣相似且都可逆，則存在可逆矩陣，使得，于是即相似.定理4 相似矩陣有相同的秩.證明 留給讀者. 2.3 矩陣相似的條件 由于相似矩陣具有很多共同的性質(zhì)，在研究矩陣性質(zhì)時，可通過與其

8、相似的簡單矩陣的性質(zhì)來研究，在階矩陣中，對角矩陣是一類很簡單的矩陣，下面研究矩陣與對角矩陣的關(guān)系定理5 階矩陣與對角矩陣相似的充分必要條件是矩陣有個線性無關(guān)的特征向量.證明 必要性設(shè)矩陣與對角矩陣相似，即存在可逆矩陣，使得 那么設(shè)，則可寫成可得因為可逆，有，所以都是非零向量，因而都是A分別對應(yīng)于特征值的特征向量，并且這個特征向量線性無關(guān).充分性設(shè)為的個線性無關(guān)特征向量，它們對應(yīng)的特征值依次為，則有，令 ，因為線性無關(guān)，所以可逆，且=用左乘上式兩端，得，即矩陣與對角矩陣相似.當(dāng)矩陣與對角矩陣相似時，可逆矩陣由特征向量構(gòu)成，其對角矩陣的主對角線上的元素為的特征值.推論 若階矩陣有個相異的特征值,則與對角矩陣相似. 注意：推論的逆命題不一定成立.對于階方陣,若存在可逆矩陣, 使為對角陣, 則稱方陣可對角化