第五章選修4課程的定位

1、第五章 選修4課程的定位第一節(jié) 選修系列4課程的作用和選擇性 一、選修系列4課程的作用對(duì)于系列4的定位，“標(biāo)準(zhǔn)”中已講得很清楚：系列4所涉及的內(nèi)容都是基礎(chǔ)性的數(shù)學(xué)內(nèi)容，不僅應(yīng)鼓勵(lì)那些希望在理工、經(jīng)濟(jì)等方面發(fā)展的學(xué)生積極選修，同時(shí)也應(yīng)鼓勵(lì)那些希望在人文、社會(huì)科學(xué)方面發(fā)展的學(xué)生選修這些課程。在“標(biāo)準(zhǔn)”中也已指出其作用是：為對(duì)數(shù)學(xué)有興趣和希望進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的學(xué)生設(shè)置的，所涉的內(nèi)容都是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性內(nèi)容，反映了某些重要的數(shù)學(xué)思想。有些專題是中學(xué)課程某些內(nèi)容的延伸，有些專題是通過典型實(shí)例介紹數(shù)學(xué)的一些應(yīng)用方法。這些專題的學(xué)習(xí)有利于學(xué)生的終身發(fā)展，有利于擴(kuò)展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，有利于提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值

2、、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值的認(rèn)識(shí)，有助于學(xué)生進(jìn)一步打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，提高應(yīng)用意識(shí)。專題力求深入淺出、通俗易懂，進(jìn)一步提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，分析和解決問題的能力，讓學(xué)生掌握和體會(huì)一些重要的概念、結(jié)論和思想方法，體會(huì)數(shù)學(xué)的作用，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)。另外，“標(biāo)準(zhǔn)”對(duì)系列4課程的建設(shè)、教學(xué)方式、評(píng)價(jià)方式等，都給出了具體的說明，這里就不一一重復(fù)了。在系列4教學(xué)中應(yīng)該注意的幾個(gè)問題是：系列4是基礎(chǔ)，系列4不是學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)的預(yù)備課程，也不是為將來準(zhǔn)備進(jìn)入數(shù)學(xué)系學(xué)習(xí)的學(xué)生做準(zhǔn)備。 在系列4的教學(xué)中，應(yīng)該把重點(diǎn)放在介紹基本的數(shù)學(xué)思想。 在系列4的教學(xué)中，要不斷地開發(fā)資源，把難的東西變?nèi)菀?，用具體來反映一般，用直觀來反映

3、抽象。系列4課程是進(jìn)入高考的課程，學(xué)習(xí)這部分課程對(duì)于提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)、培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力和激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣是十分有用的。各學(xué)?？梢园凑崭髯缘那闆r有選擇性地逐步開設(shè)這些專題。二、選擇性1. 選擇性與系統(tǒng)性 數(shù)學(xué)課程都是按照一定的體系來設(shè)計(jì)的，而體系又是根據(jù)不同的原則設(shè)計(jì)的，設(shè)計(jì)的原則不同，得到的體系就不同，課程標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)的一個(gè)重要的原則就是選擇性，所以，在理解整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程時(shí)，應(yīng)該對(duì)選擇性有一個(gè)充分的認(rèn)識(shí)。在高中數(shù)學(xué)課程中，如前面所說，有必修課程、選修系列1、2課程，還有選修系列3、4課程，每一部分課程都有他獨(dú)立的體系。必修課程、選修1、2系列課程的主要內(nèi)容都是比較傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，在某

4、些地方也有一些變化，例如，增加了算法等內(nèi)容?？偟膩碚f，這些內(nèi)容對(duì)教師來說沒有太大的困難，前面已經(jīng)從不同角度分析了應(yīng)注意的方面。例如，抓住課程的整體性，抓住課程的主線，抓住課程的本質(zhì)，抓住通性通法，等等。必修課程、選修系列1、2課程的內(nèi)容大體上也可以按照代數(shù)、幾何、分析、統(tǒng)計(jì)概率進(jìn)行分類。例如，立體幾何初步、解析幾何初步、平面向量、空間向量與立體幾何等等都是屬于幾何的內(nèi)容。函數(shù)及其相關(guān)內(nèi)容是屬于分析的范疇，等等。這樣的一種分類可以與大學(xué)課程有機(jī)的接軌。選修系列3、4課程可以看作上述分類的一種延續(xù)。例如，有關(guān)代數(shù)的專題有：三等分角與數(shù)域擴(kuò)充，對(duì)稱與群，信息安全與密碼，不等式選講，坐標(biāo)系與參數(shù)方程，

5、初等數(shù)論初步，優(yōu)選法與試驗(yàn)設(shè)計(jì)初步，開關(guān)電路與布爾代數(shù)等。有關(guān)幾何的專題有：球面上的幾何，歐拉公式與閉曲面分類，矩陣與變換，幾何證明選講，統(tǒng)籌法與圖論初步等。有關(guān)分析的專題有：數(shù)列與差分等。有關(guān)統(tǒng)計(jì)概率的專題有：風(fēng)險(xiǎn)與決策等。這樣的分類不一定非常準(zhǔn)確，只是一個(gè)參考。數(shù)學(xué)史選講是一個(gè)特殊的專題。當(dāng)然還有其它的分類原則，例如，可以按照連續(xù)數(shù)學(xué)和離散數(shù)學(xué)來分類；可以按照純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)來分類；等等。不同的分類形成不同的體系，其目的只有一個(gè)就是希望從不同的角度加深對(duì)于數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)。就數(shù)學(xué)內(nèi)容本身來說，有的有先后順序關(guān)系，有的沒有先后順序關(guān)系。例如，我們只有引入了自然數(shù)，才能介紹自然數(shù)的加、減、乘等運(yùn)算，

6、它們之間有著嚴(yán)格的順序關(guān)系。然而，對(duì)于有些數(shù)學(xué)內(nèi)容而言，目的不同決定不同的順序。例如，極限理論和導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用就沒有先后的順序關(guān)系。可以先講極限理論，然后，用極限理論去認(rèn)識(shí)一種重要、特殊的極限導(dǎo)數(shù)，現(xiàn)在，數(shù)學(xué)系課程中的數(shù)學(xué)分析就是這樣安排的；我們也可以先從重要、特殊的極限導(dǎo)數(shù)入手，理解這種特殊極限的意義、作用、應(yīng)用，把它作為認(rèn)識(shí)極限理論的一個(gè)階梯?！皹?biāo)準(zhǔn)”是按后者的方式安排的。排列組合和概率也沒有先后之分。不同的順序會(huì)有不同的講授和教材編寫方式，可以先講代數(shù)，也可以先講幾何，當(dāng)然，要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。 數(shù)學(xué)教材是按一定的順序編寫的，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也是按一定的先后順序進(jìn)行學(xué)習(xí)，所以在編寫教材時(shí)要注意這

7、樣的關(guān)系。我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，教科書給我們規(guī)定了一定的順序，我們應(yīng)該很好的理解這種順序，以及它所反映的知識(shí)之間的邏輯關(guān)系。但是，我們應(yīng)該特別注意的是，教材中知識(shí)之間的邏輯關(guān)系是在一定原則、前提下確定的，選用不同的原則會(huì)有不同的邏輯關(guān)系，我們?cè)偻ㄟ^一個(gè)例子加以說明。例如，刻畫直角坐標(biāo)系中的直線。一點(diǎn)和一個(gè)方向可以唯一確定一條直線，如何刻畫直線的方向，即直線與x軸的交角。我們可以采取幾種方法來刻畫：可以用三角函數(shù)來刻畫，可以用向量來刻畫，還可以用導(dǎo)數(shù)思想變化率來刻畫。按照教材所安排的內(nèi)容順序，可以采取不同的方法來刻畫直線的斜率。如果在此之前我們學(xué)過了三角函數(shù)，則可以用正切來刻畫斜率；如果在此之前我們

8、學(xué)習(xí)了向量，則可以用向量來刻畫直線的方向；我們也可以利用導(dǎo)數(shù)思想變化率，直接刻畫直線的方向。但是，三角函數(shù)，向量，導(dǎo)數(shù)，這三個(gè)知識(shí)本身沒有必然的邏輯關(guān)系。通過這個(gè)例子，應(yīng)該引起我們的思考。我們?cè)谥v授一個(gè)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生去考慮這個(gè)知識(shí)點(diǎn)與我們所學(xué)過的知識(shí)之間的聯(lián)系。就上面這個(gè)例子來說，對(duì)于直線斜率的理解，可以通過三角函數(shù)、向量和導(dǎo)數(shù)這三個(gè)角度去理解。只有這樣，我們才能更好的認(rèn)識(shí)直線的斜率，更好的刻畫直線的斜率。無論是學(xué)生還是教師，在學(xué)習(xí)和講授高中數(shù)學(xué)課程時(shí)，都需要經(jīng)常的站在整個(gè)高中數(shù)學(xué)的角度，站在整個(gè)數(shù)學(xué)的高度，來看待我們所學(xué)習(xí)和教授的每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。而不是把本身相互聯(lián)系的知識(shí)割裂開來。2.

9、 選擇性與公平性確定選擇性的一個(gè)基本的出發(fā)點(diǎn)是培養(yǎng)學(xué)生的興趣，我們應(yīng)該從不同的方面提供培養(yǎng)學(xué)生興趣的途徑。另一個(gè)基本的出發(fā)點(diǎn)是開闊學(xué)生的視野，作為學(xué)習(xí)者，學(xué)習(xí)知識(shí)是重要的。同樣的，開闊視野、增長(zhǎng)見識(shí)也是不可忽視的，有時(shí)，這些是無形的，是在不經(jīng)意中積淀的，但是，它們的作用確是長(zhǎng)久的。選修課程為學(xué)生開闊視野、增長(zhǎng)見識(shí)提供了一個(gè)開闊的空間。作為數(shù)學(xué)教育工作者，我們希望能吸引更多的人喜歡數(shù)學(xué)，希望數(shù)學(xué)能為學(xué)生的發(fā)展提供幫助，這應(yīng)該是數(shù)學(xué)教育工作者的最高追求。我們應(yīng)當(dāng)想方設(shè)法讓數(shù)學(xué)課程更有吸引力，也希望學(xué)生努力發(fā)現(xiàn)并培養(yǎng)自己對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。在以往的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中，在一定程度上忽視了培養(yǎng)學(xué)生的興趣、開拓學(xué)生

10、的視野。不同人會(huì)有不同的興趣，有人喜歡思考，有人喜歡動(dòng)手；有人喜歡“理科”，有人喜歡“工科”，有人喜歡“文史科”，有人喜歡“醫(yī)科”；有人喜歡理論，有人喜歡應(yīng)用；有人喜歡“電影”，有人喜歡“戲曲”，等等。數(shù)學(xué)課程應(yīng)該成為培養(yǎng)學(xué)生興趣的載體，為不同的學(xué)生服務(wù)?！芭d趣”是成功的最持久的動(dòng)力，有一次，當(dāng)丁肇中教授被記者問及獲得諾貝爾獎(jiǎng)的“秘訣”時(shí)，只說了兩個(gè)字“興趣”。興趣不僅促進(jìn)人的成功，而且，她會(huì)給人們的生活帶來快樂。一旦學(xué)生對(duì)某些專題有興趣，他們就會(huì)深入這部分專題的學(xué)習(xí)，難和容易是相對(duì)的，“鉆進(jìn)去了”難的東西也會(huì)變?nèi)菀琢?，“鉆不進(jìn)去”容易的東西也是難的。例如，有人認(rèn)為數(shù)學(xué)建模很難，但是有些人就認(rèn)

11、為不難，關(guān)鍵還是興趣，有的學(xué)生寫的數(shù)學(xué)建模論文連教師都看不明白，覺得有困難，可是學(xué)生自己認(rèn)為很簡(jiǎn)單，這就是因?yàn)樗麑?duì)于自己研究的東西感興趣，就不覺得難了，而教師不感興趣所以就會(huì)覺得很難。公平也是相對(duì)的，沒有絕對(duì)的公平，我們應(yīng)該在培養(yǎng)學(xué)生興趣、開闊學(xué)生視野這個(gè)大前提下來考慮公平性。教師應(yīng)制定自己的“專業(yè)發(fā)展計(jì)劃”，其中一個(gè)很重要的內(nèi)容是提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，通過開設(shè)選修系列3、4這些課程，是掌握這些課程最好的辦法，經(jīng)歷這個(gè)過程，對(duì)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高是非常重要的。當(dāng)然教師可以制定一個(gè)計(jì)劃來逐步的開設(shè)這些課程。例如，第一年，可以開設(shè)一個(gè)自己熟悉的專題，同時(shí)，選擇一個(gè)學(xué)習(xí)的專題，制定一個(gè)學(xué)習(xí)計(jì)劃，包括：專題結(jié)構(gòu)、內(nèi)

12、容理解、問題思考、習(xí)題解答、知識(shí)拓展、讀書報(bào)告，以及學(xué)生可能出現(xiàn)的問題，等等。扎扎實(shí)實(shí)的掌握一個(gè)專題，同時(shí)，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)一個(gè)自己不熟悉內(nèi)容的方法和步驟。第二年，開設(shè)自己學(xué)習(xí)的專題，積累經(jīng)驗(yàn)；同時(shí)再學(xué)習(xí)一個(gè)新專題。如此下去，逐漸形成自己的特色。學(xué)校應(yīng)制定“學(xué)校選課發(fā)展計(jì)劃”，根據(jù)不同教師的特點(diǎn)、愛好，分工合作，可以組織相同專題備課小組。經(jīng)過23年的建設(shè)，逐漸成本校選課特色。利用校外的資源，建立校際合作關(guān)系，應(yīng)該是“學(xué)校選課發(fā)展計(jì)劃”的重要組成部分。我們希望省、地、縣各級(jí)教育局、教研室積極促進(jìn)建立校際合作，制定有利于建立校際合作的機(jī)制。利用網(wǎng)絡(luò)資源，建立交流網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)也應(yīng)該納入“學(xué)校選課發(fā)展計(jì)劃”?，F(xiàn)在

13、，很多省、市都建立了網(wǎng)絡(luò)資源平臺(tái)，很多出版社也建立了資源庫，充分地利用這些資源，對(duì)學(xué)校選課發(fā)展有重要意義。下面我們按專題介紹：背景，知識(shí)結(jié)構(gòu)和內(nèi)容定位，重、難點(diǎn)，教學(xué)要求和參考文獻(xiàn)。第二節(jié) 各專題的定位2.1 幾何證明選講一、背景 幾何課程主要有平面幾何、解析幾何、向量幾何、仿射幾何、微分幾何、拓?fù)鋵W(xué)等分支。這些幾何課程不光是研究的對(duì)象，有的還是研究幾何的方法，例如，解析幾何的研究方法、向量幾何的研究方法。在中學(xué)我們還用綜合幾何的方法（通常稱綜合法）來研究幾何，即綜合所學(xué)的幾何知識(shí)（公理、定理、推論等）來解決問題。本專題希望進(jìn)一步介紹綜合幾何的方法。幾何類課程在高中數(shù)學(xué)課程中占有非常重要的地位

14、。它能幫助學(xué)生逐步形成空間想象能力；運(yùn)用直觀的圖形語言刻畫、描述、洞察、論證問題的能力和邏輯推理能力。這些能力不僅僅是在幾何課程中，而是在整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程中都是非常重要的能力。在“幾何證明選講”中，主要選擇了兩個(gè)內(nèi)容，一個(gè)是直線與圓、圓與四邊形的位置關(guān)系，利用相似來討論它們之間的關(guān)系；另一個(gè)是圓錐曲線，利用綜合幾何的方法來探索圓錐曲線的性質(zhì)。希爾伯特、庫朗、阿諾德等一批大數(shù)學(xué)家認(rèn)為：這些內(nèi)容是利用綜合幾何的方法討論幾何問題的很好的載體，他們建議把這些內(nèi)容放到中學(xué)數(shù)學(xué)課程中。二、知識(shí)結(jié)構(gòu)和內(nèi)容定位1知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖 2內(nèi)容定位本專題的第一部分內(nèi)容，在過去傳統(tǒng)的中學(xué)教材中可以找到。盡管有些定理很重要，

15、但在這里我們側(cè)重的不是知識(shí)點(diǎn)，而是證明的思想和方法。要想很好地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，需要選擇典型的例題，強(qiáng)調(diào)通性通法。題目本身要有意義，證明的思想清楚，方法最好有一般性。題目不應(yīng)太難，也不應(yīng)該太繁，例如，有的題目的解法不是很直接，常常需要添加多條輔助線才能解決，像這樣的問題應(yīng)該盡量避免出現(xiàn)。更不要出現(xiàn)偏題、怪題。幾何的證明題有很多，本專題不是讓學(xué)生去做大量的幾何題，只是希望通過幾何圖形這個(gè)載體，提高學(xué)生推理論證的能力。學(xué)生演繹論證能力的提高，不是短時(shí)間就能完成的，也不是僅僅靠作幾何題來培養(yǎng)的，和傳統(tǒng)教材比，我們要把握好“度”。本專題的第二部分內(nèi)容，主要培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和演繹推理的能力。并

16、且需要把這兩者有機(jī)的結(jié)合起來，好的幾何直觀可以幫助我們形成邏輯推理的思路。例如，把兩個(gè)球放入圓柱內(nèi)，使它們位于平面的兩側(cè)，且每一個(gè)球既與圓柱相切，又與平面相切,我們把這樣的球稱為“焦球”(又稱Dandelin球).圖18 c才如圖18所示，這兩個(gè)球與圓柱面切于二圓和，平面與兩球分別切于兩點(diǎn)和，與圓柱面相交的曲線.為，在上取任意一點(diǎn)，連接.過點(diǎn)的圓柱的母線與兩圓、交于兩點(diǎn).由于是一個(gè)球過點(diǎn)的兩條切線，所以有 .同理，.由此得出.由圓柱面的對(duì)稱性知與曲線上選擇的點(diǎn)位置無關(guān)(實(shí)際上就是兩圓所在兩個(gè)平行平面的距離).因此曲線上的所有點(diǎn)到點(diǎn)距離之和都相等.即 常數(shù) .我們希望通過本專題的學(xué)習(xí)，能夠進(jìn)一步

17、養(yǎng)成學(xué)生用直觀的圖形語言去描述、刻畫、洞察和論證問題的習(xí)慣。建議教師幫助學(xué)生養(yǎng)成這樣一種習(xí)慣，并把這種習(xí)慣帶到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中。在這部分的教學(xué)中，是從問題出發(fā)，最終探索出結(jié)論。需要不斷地提出問題，需要自己給出定義、定理，并由自己給出證明。這種探索式學(xué)習(xí)方式是人們研究問題最自然的方式，教師應(yīng)該給予引導(dǎo)，鼓勵(lì)學(xué)生提出問題、主動(dòng)地去思考和解決問題、查閱資料。如果學(xué)生一時(shí)做不出來，可以暫時(shí)放下，在以后的學(xué)習(xí)過程中，再不斷地完善，使得教師的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)都有較大的拓展空間。三、重、難點(diǎn)重點(diǎn)：通過直線與圓的位置關(guān)系的討論，平面與柱面、錐面位置關(guān)系的討論，體會(huì)運(yùn)用綜合幾何的思想方法，發(fā)現(xiàn)、提出、分析和

18、解決幾何問題。 難點(diǎn)： 運(yùn)用綜合幾何的方法討論圓錐曲線性質(zhì)。四、教學(xué)要求1在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出問題，在此基礎(chǔ)上分析和解決問題。2在教學(xué)中，教師應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和幾何直觀能力，并把它們用于討論問題的過程中。3在教學(xué)中，教師應(yīng)注意把握合情推理和演繹推理的有機(jī)聯(lián)系，幫助學(xué)生形成完整的思維方式。五、文獻(xiàn)參考1 D. 希爾伯特 和 S. 康福森：直觀幾何，王聯(lián)芳譯，人民教育出版社，19592 R. 柯朗 和 H. 羅賓：什么是數(shù)學(xué)，左平等譯，復(fù)旦大學(xué)出版社，20053 項(xiàng)武義：基礎(chǔ)幾何學(xué)，人民教育出版社，20044 F. 阿諾德：為什么我們要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)關(guān)于這一點(diǎn)數(shù)學(xué)家是怎么想的，

19、數(shù)學(xué)譯林，第21卷 第1期2.2 矩陣與變換一、背景變換是函數(shù)思想的拓展，其思想本質(zhì)是映射的思想。通過“矩陣與變換”的學(xué)習(xí)，可以使我們更好地理解變換的思想，可以用變換的觀點(diǎn)來看待數(shù)學(xué)中的有關(guān)內(nèi)容，比如，平面中幾何圖形的變換、求解方程組、變換的不變量等。在大學(xué)的學(xué)習(xí)中，線性代數(shù)（高等代數(shù)）是數(shù)學(xué)系的基礎(chǔ)課程，也是理工科學(xué)生的必修課程，矩陣是線性代數(shù)的核心概念。無論是在數(shù)學(xué)中、還是在自然科學(xué)、工程技術(shù)中，矩陣作為線性變換的基本表示工具，有著廣泛的應(yīng)用。學(xué)習(xí)矩陣有兩種處理方法，一種是作為代數(shù)的研究對(duì)象，強(qiáng)調(diào)它的“運(yùn)算”規(guī)律。另一種是強(qiáng)調(diào)矩陣的幾何背景，作為幾何變換的表示，強(qiáng)調(diào)矩陣和矩陣相關(guān)概念的幾何

20、意義，二維空間中的變換可以用矩陣表示，我們可以從幾何變換的角度來學(xué)習(xí)矩陣。這種用幾何的觀點(diǎn)來研究矩陣的方式既便于學(xué)生的理解，又不失一般性。本專題采取了后一種處理方式，以二維矩陣為載體，介紹了有關(guān)矩陣的知識(shí)。二、知識(shí)結(jié)構(gòu)和內(nèi)容定位1知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖2內(nèi)容定位1）通過初中的幾何學(xué)習(xí)，已經(jīng)對(duì)于對(duì)稱變換、軸對(duì)稱變換、中心對(duì)稱變換（旋轉(zhuǎn)180度的旋轉(zhuǎn)變換）、平移變換、放縮變換等有了一定的了解。從本質(zhì)上來講，這些變換都是把平面上的一個(gè)點(diǎn)變成平面上的另一個(gè)點(diǎn)。2）本專題中，我們引入了一種反映變換的代數(shù)形式二階矩陣。二階矩陣作用在一個(gè)向量上可以得到一個(gè)新的向量。例如，第一個(gè)例子是否要?jiǎng)h去，請(qǐng)考慮，因?yàn)闆]有得到新的

21、向量。 可以看出，二階矩陣把平面上的每一個(gè)點(diǎn)都變成唯一的點(diǎn)。它是平面到平面的映射。 3）用矩陣來刻畫一些幾何變換：反射、壓伸、切變、旋轉(zhuǎn)、投影等。這些矩陣都不復(fù)雜，應(yīng)該讓學(xué)生通過操作來確認(rèn)這些矩陣變換的幾何意義。例如，表示向量在y軸上的投影。表示向量關(guān)于y軸對(duì)稱。 4）我們還應(yīng)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，矩陣表示的是線性變換，它把直線變成直線。5）變換的復(fù)合（合成），即連續(xù)實(shí)施兩個(gè)線性變換相當(dāng)于一個(gè)新的線性變換。例如，我們可以先旋轉(zhuǎn)再平移，也可以先平移再旋轉(zhuǎn)。對(duì)應(yīng)這種變換的復(fù)合可以用矩陣的運(yùn)算來表示，即矩陣的乘法運(yùn)算。6）矩陣的乘法不滿足交換律，即當(dāng)連續(xù)實(shí)施一系列變換時(shí)，改變變換的次序?qū)⒏淖冏儞Q的結(jié)果。例如

22、，表示點(diǎn)（a,b）先逆時(shí)針轉(zhuǎn)90度，再關(guān)于y軸反射，得到的點(diǎn)為：（b，a）；而表示點(diǎn)（a,b）先關(guān)于y軸反射，再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，得到的點(diǎn)為：（-b,-a）。7）如果變換是一一對(duì)應(yīng)的，變換就有逆變換，這種逆變換對(duì)應(yīng)著矩陣的逆矩陣。但是，投影變換沒有逆變換。例如，的逆變換就是再作一次關(guān)于y軸的反射。用矩陣表示即為：。 變換的逆和矩陣的逆本質(zhì)上體現(xiàn)了一一對(duì)應(yīng)的思想。8）在本專題中，我們還用變換的思想來認(rèn)識(shí)二元一次方程組。 例如，方程組，可以用矩陣表示為： 。解方程的問題就變成：已知變換和某個(gè)點(diǎn)在這變換下的像，求該點(diǎn)（原像）的問題。9）要認(rèn)識(shí)變換中的不變量特征向量，以及矩陣的特征值和特征向量的概念，

23、并用特征向量解決一些實(shí)際問題。 可以看出，函數(shù)映射的思想是貫穿本專題始終的重要思想。三、重、難點(diǎn)重點(diǎn)：變換是數(shù)學(xué)中一個(gè)基本的概念，它是指平面中的點(diǎn)到平面的映射，建立這個(gè)概念是學(xué)習(xí)本專題的重點(diǎn)之一。認(rèn)識(shí)矩陣和相關(guān)概念的幾何意義是本專題的另一個(gè)重點(diǎn)，例如，矩陣的特征向量的幾何意義是指某向量在矩陣作用下，其變換的像與該向量是平行的。 難點(diǎn)： 用矩陣來表示線性方程組 矩陣的特征向量四、教學(xué)要求1在本專題的教學(xué)中，教師應(yīng)該強(qiáng)調(diào)矩陣及相關(guān)概念的幾何意義，這也是貫穿始終的思想。2矩陣是一個(gè)比較抽象的數(shù)學(xué)概念，建議教師通過具體的實(shí)例來介紹矩陣，通過學(xué)生熟悉的幾何變換來引出矩陣表示。五、文獻(xiàn)參考1 COMAP：

24、數(shù)學(xué)的原理與實(shí)踐，申大維等譯，高等教育出版社和施普林格出版社，1998 2 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組：高等代數(shù)，高等教育出版社，19992.3 數(shù)列與差分一、背景數(shù)列是一種特殊的函數(shù)。有時(shí)候也把它稱為“離散”的函數(shù)。它不僅是數(shù)學(xué)中一種重要的研究對(duì)象，也是研究數(shù)學(xué)問題的一種重要的方法和工具。這種方法我們常常稱之為離散的方法。從20世紀(jì)中期以后，科學(xué)技術(shù)迅猛發(fā)展，科學(xué)技術(shù)的發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)提出了越來越多的要求，不僅希望數(shù)學(xué)能夠證明一些規(guī)律的存在性，而且希望能夠把這些規(guī)律構(gòu)造出來直接為社會(huì)發(fā)展服務(wù)。例如，微分方程是反映自然規(guī)律的重要的數(shù)學(xué)模型，在實(shí)際中，不僅需要用微分方程來刻畫規(guī)律，而且需要

25、求出它的滿足一定精度的近似解，利用這些近似解直接為實(shí)際服務(wù)。離散的思想方法對(duì)于求近似解是一種基本的思想方法，它在解決實(shí)際問題中將發(fā)揮越來越大的作用。 數(shù)列是特殊的函數(shù)，是函數(shù)的離散形式。差分是微分的離散形式，差分方程是微分方程的離散形式，我們知道導(dǎo)數(shù)與微分在微積分中的重要地位，導(dǎo)數(shù)和微分方程有著廣泛的應(yīng)用，自然的，差分和差分方程就變得非常重要了。從另一方面說，差分和差分方程比導(dǎo)數(shù)和微分方程更容易理解，而且可以通過計(jì)算或利用計(jì)算機(jī)求出它們的近似解。二、知識(shí)結(jié)構(gòu)和內(nèi)容定位1知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖2內(nèi)容定位1）結(jié)合函數(shù)（數(shù)列）的圖像，給出數(shù)列的 “差分”概念。2）利用一階差分和二階差分的特點(diǎn)來判斷數(shù)列的增減性

26、、凹凸性。3）對(duì)于差分方程，只要給定了初始條件，利用“迭代法”不難給出方程的數(shù)值解。雖然用迭代法解方程并不難，但這是數(shù)學(xué)中的一個(gè)既基本又重要的方法，教師應(yīng)給予充分的關(guān)注，務(wù)必使學(xué)生掌握。4）對(duì)于一階線性差分方程，學(xué)生應(yīng)結(jié)合過去學(xué)過的等差數(shù)列和等比數(shù)列來認(rèn)識(shí)它的解。在這里，非齊次方程的通解、特解與齊次方程通解的關(guān)系，是難點(diǎn)。5）一階差分方程組的問題和一階差分方程的問題是類似的，只是對(duì)一階差分方程組的要求更低。三、重、難點(diǎn)重點(diǎn)：對(duì)差分的理解，差分在研究數(shù)列變化中的作用齊次方程中通解的作用和非齊次方程中特解的作用迭代法在解差分方程中的作用難點(diǎn)： 齊次方程通解非齊次方程中的通解的表示 差分方程的應(yīng)用，

27、難在如何根據(jù)實(shí)際問題建立差分方程并根據(jù)實(shí)際問題的背景討論解的意義。四、教學(xué)要求對(duì)于中學(xué)生來說，學(xué)習(xí)“數(shù)列與差分”不僅是因?yàn)檫@部分內(nèi)容本身很有用，而且有助于學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)與微分。有助于今后學(xué)習(xí)微分方程等知識(shí)。教師有必要幫助學(xué)生體會(huì)差分的作用，以及它給我們帶來的好處。教師在教學(xué)中，不應(yīng)該追求差分方程的系統(tǒng)性，而應(yīng)該著重介紹差分方程的基本思想。突出函數(shù)的思想是貫穿在本專題始終的基本思想。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生梳理學(xué)過的有關(guān)函數(shù)的知識(shí)、技能和思想方法。這樣可以有效地提學(xué)生對(duì)于函數(shù)思想的認(rèn)識(shí)。這樣做也可以提高對(duì)這部分內(nèi)容的理解。五、文獻(xiàn)參考 1 COMAP：數(shù)學(xué)的原理與實(shí)踐，申大維等譯，高等教育出

28、版社和施普林格出版社，19982.4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程一、背景1637年6月8日，笛卡兒的方法論出版，這一天就是解析幾何的誕生日。笛卡兒是一位偉大的數(shù)學(xué)家，也是一位偉大的哲學(xué)家。笛卡兒把物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的概念作為科學(xué)的哲學(xué)基礎(chǔ)，從而把運(yùn)動(dòng)帶進(jìn)了數(shù)學(xué)。在笛卡兒之前，常量數(shù)學(xué)占主導(dǎo)地位，在笛卡兒之后，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)和其他科學(xué)，辯證的思想進(jìn)入了數(shù)學(xué)。正如恩格斯所評(píng)論的：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)。有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)?！苯馕鰩缀蔚幕舅枷胧菙?shù)形結(jié)合，坐標(biāo)是數(shù)形結(jié)合的橋梁，坐標(biāo)方法建立了方程與曲線之間的聯(lián)系。因此，坐標(biāo)方法，以及方程與曲線的思想是解析幾何的核心內(nèi)容。坐標(biāo)方法

29、，即在引進(jìn)坐標(biāo)系之后，平面上的點(diǎn)P可以與一對(duì)有序?qū)崝?shù)之間建立一一對(duì)應(yīng).方程與曲線的思想，即未知數(shù)表示的某個(gè)代數(shù)方程可以看成一條曲線；反之，一條曲線可以用曲線上任意點(diǎn)坐標(biāo)之間的方程關(guān)系來表示。 解析幾何的坐標(biāo)方法、曲線與方程思想是本專題的核心內(nèi)容，希望學(xué)生通過本專題的學(xué)習(xí)進(jìn)一步體會(huì)解析幾何數(shù)形結(jié)合的基本思想。二、知識(shí)結(jié)構(gòu)和內(nèi)容定位1知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖2內(nèi)容定位1）本專題是中學(xué)的傳統(tǒng)內(nèi)容，在內(nèi)容上沒有太大的變化。2）建立坐標(biāo)系和在坐標(biāo)系中建立曲線與方程的關(guān)系，這是解析幾何的兩個(gè)核心內(nèi)容，是聯(lián)系幾何和代數(shù)的重要橋梁，也是數(shù)學(xué)中的重要思想。3）在這部分，我們引入了另外幾種坐標(biāo)系極坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系等

30、等，并討論了一些簡(jiǎn)單曲線在這些坐標(biāo)系中的方程。學(xué)生應(yīng)該明白引入這些坐標(biāo)系的好處。并能在這些坐標(biāo)系之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換。4）本專題的第二部分討論的是參數(shù)方程。在許多情形，參數(shù)方程的引入是十分自然的，學(xué)生應(yīng)體會(huì)參數(shù)方程的好處以及參數(shù)的直觀意義，學(xué)會(huì)參數(shù)方程和普通方程的轉(zhuǎn)化。5）與傳統(tǒng)教材內(nèi)容相比，在這里我們更加強(qiáng)調(diào)應(yīng)用，例如，擺線的應(yīng)用。三、重、難點(diǎn)重點(diǎn)：不同坐標(biāo)系的作用坐標(biāo)系的選擇，同一曲線在不同坐標(biāo)系下的表示，以及曲線與方程的關(guān)系難點(diǎn)：坐標(biāo)系的選擇，以及在實(shí)際問題中的應(yīng)用四、教學(xué)要求1在教學(xué)中，教師應(yīng)該采取類比的方法教授各種不同的坐標(biāo)系。2本專題可以拓展的空間是很大的，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生收集相關(guān)的資料，

31、拓寬視野，又可以鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)自己感興趣的問題進(jìn)行積極的探索。2.5 不等式選講一、背景1. 利用不等式和不等式組可以刻畫數(shù)學(xué)中的某些“區(qū)域”。例如，用不等式組就可以表示下圖所示的平面區(qū)域。2. 每一個(gè)好的不等式都有重要的數(shù)學(xué)背景，特別是重要的幾何背景。應(yīng)該幫助學(xué)生認(rèn)真體會(huì)和認(rèn)識(shí)不等式的幾何背景，以及這些幾何背景在證明不等式的過程中發(fā)揮的作用。例如，基本不等式2ab,它有著重要的幾何背景。如圖所示： 令A(yù)F=a,BF=b,則AB2=a2+b2,而S正方形ABCD4SABF即，a2+b24×a×b，所以，a2+b22ab，當(dāng)AF=BF時(shí)，正方形EFGH縮為一點(diǎn)，S正方形ABCD=

32、4SABF 3. 不等式的證明也提高學(xué)生邏輯思維能力的有利載體。通過綜合法、分析法、反證法、放縮法等方法進(jìn)行不等式的證明，不但可以提高學(xué)生的邏輯思維能力，掌握證明的基本方法，而且可以進(jìn)一步加深對(duì)于不等關(guān)系和不等式的理解。4. 對(duì)于教師來說，應(yīng)該了解不等式在將來的學(xué)習(xí)中，會(huì)發(fā)揮重要的作用。例如，不等式是描述度量空間的工具。度量空間（x,d），其中d是一個(gè)二元非負(fù)實(shí)值函數(shù)，d滿足三個(gè)條件：一是反身性，x=y當(dāng)且僅當(dāng)d(x,y)=0；二是對(duì)稱性，d(x,y)=d(y,x)；第三個(gè)條件就是以不等式的形式給出的，即d(x,y)+d(y,z) d(x,z)，通常稱之為三角不等式。又例如，在解決極限問題時(shí)，

33、最經(jīng)常使用的方法就是利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行“放大”和“縮小”，估計(jì)無窮小量的級(jí)別。好的不等式都是有重要背景的，對(duì)于這些教師應(yīng)該心中有數(shù)，不必在教學(xué)中體現(xiàn)。二、知識(shí)結(jié)構(gòu)和內(nèi)容定位1知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖2內(nèi)容定位應(yīng)該認(rèn)識(shí)到：恒等關(guān)系是數(shù)學(xué)中的一種重要關(guān)系，不等關(guān)系也是數(shù)學(xué)中一種重要關(guān)系，并且以不等式的形式滲透在數(shù)學(xué)的各個(gè)學(xué)科。在不等式的學(xué)習(xí)中，由運(yùn)算思想所體現(xiàn)的恒等變換的能力，是一種重要的邏輯推理的能力，提高這種能力是學(xué)習(xí)不等式的基本定位之一。但是，形式化的演算能力并不能等同于理解，因此，要避免過分繁難的、人為地制造出許多無意義的不等式，避免過分地追求解題的技巧訓(xùn)練。在本專題中，應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是解決不等式問題的通

34、性通法，通過典型的例題，能對(duì)比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等，有所體會(huì)并能初步加以應(yīng)用。好的不等式都有著重要的數(shù)學(xué)背景。例如，許多不等式有其幾何背景。我們希望學(xué)生對(duì)重要的不等式，不只停留在背誦記憶的層次上，而是應(yīng)該認(rèn)清其背景，特別是其幾何背景。三、重、難點(diǎn)重點(diǎn)：幾個(gè)基本不等式不等式的基本證明方法難點(diǎn)： 不等式的基本證明方法 排序不等式 不等式的應(yīng)用四、教學(xué)要求教師在教學(xué)中應(yīng)該注意的是，形式化的演算能力并不能等同于理解，在過去的不等式教學(xué)中，有一種過分繁難的傾向，人為地制造出許多無意義的不等式，過分地追求解題的技巧，這不是我們?cè)诒緦ｎ}中所倡導(dǎo)的。在本專題中，強(qiáng)調(diào)的應(yīng)是解決不等

35、式問題的通性通法，通過典型的證明不等式的例題，能對(duì)比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等基本的不等式的證明方法，有所體會(huì)并能初步加以應(yīng)用。在教學(xué)中，不僅要通過不等式的數(shù)學(xué)背景，而且要從本質(zhì)上幫助學(xué)生掌握重要的、好的不等式，而不是形式的記憶和生搬硬套。教師還應(yīng)該注意：如何幫助學(xué)生總結(jié)、概括高中階段有關(guān)不等關(guān)系的內(nèi)容，并能寫出一個(gè)好的讀書報(bào)告進(jìn)行交流，總結(jié)在不等關(guān)系學(xué)習(xí)中的重要的數(shù)學(xué)思想和方法。2.6 初等數(shù)論初步一、背景 數(shù)論是一門古老而又悠久的數(shù)學(xué)學(xué)科。它的一個(gè)特點(diǎn)是，問題本身很簡(jiǎn)單、很容易被人理解，但解決起來卻很難。例如，費(fèi)馬大定理，哥德巴赫猜想等。數(shù)論研究的是數(shù)學(xué)中最基本的概

36、念：“整數(shù)”。表面看好像很容易，但由于沒有太多的幾何背景，完全要靠演繹推理，實(shí)際上，對(duì)學(xué)生是有難度的。例如，除法是學(xué)生從小學(xué)就熟悉的運(yùn)算，但抽象地討論帶余除法，還是會(huì)給學(xué)生造成困難。學(xué)習(xí)數(shù)論可以很好地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和抽象概括能力。 “初等數(shù)論初步”主要圍繞除法展開，討論整除和帶余除法。 1. 我們需要表示整數(shù)，于是就出現(xiàn)了進(jìn)制，例如，十進(jìn)制（符號(hào)、位值），二進(jìn)制，十進(jìn)制和二進(jìn)制的換算等。 2. 有了除法，人們就會(huì)考慮是否除盡的問題，如果能夠除盡，隨之就出現(xiàn)了因子、素因子、互素等相關(guān)的概念，由此引出了算數(shù)基本定理。 如果不能除盡，那么就會(huì)出現(xiàn)商和余數(shù)等相關(guān)概念。于是就出現(xiàn)了一種很重要的分

37、類方法，即用余數(shù)對(duì)整數(shù)進(jìn)行分類，具有相同的余數(shù)（同余）的整數(shù)歸為一類。3. 利用輾轉(zhuǎn)相除法，可以求出兩個(gè)以上整數(shù)的最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)。 4. 在數(shù)論中提出了很多不定方程、同余方程組等問題，這樣就產(chǎn)生了很多數(shù)學(xué)的分支，例如，代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何。5. 數(shù)論是數(shù)學(xué)發(fā)展的源泉，例如，在信息安全中，數(shù)論起了基本的作用。二、知識(shí)結(jié)構(gòu)和內(nèi)容定位 1知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖2內(nèi)容定位初等數(shù)論的知識(shí)是中學(xué)教師比較熟悉的。但是在以往的教學(xué)活動(dòng)中，主要是強(qiáng)調(diào)數(shù)論知識(shí)在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的技巧，本專題的定位一定不是挑選少數(shù)人去培訓(xùn)，去參加競(jìng)賽。而是希望學(xué)習(xí)這個(gè)專題的學(xué)生，在數(shù)學(xué)的思想和方法上都有所提高、有所收獲。本專題應(yīng)該教會(huì)學(xué)生從

38、具體到抽象地來理解所學(xué)的內(nèi)容。即，讓學(xué)生有意識(shí)地通過具體的例子來理解一般的概念和定理。本專題應(yīng)該在訓(xùn)練學(xué)生的演繹推理、表達(dá)論證上下功夫。這里的定理證明都不長(zhǎng)，但要把問題說清楚，并不容易。教師應(yīng)在這方面加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的要求。本專題中出現(xiàn)的一些證明方法都是數(shù)學(xué)上最基本的方法。例如，證明素?cái)?shù)有無窮多個(gè)的反證法、證明孫子定理的插值法等。在本專題的學(xué)習(xí)中，最重要的是讓學(xué)生掌握這些方法，體會(huì)這些方法的意義。一定不要去追求技巧，做難題、怪題。（原文中的內(nèi)容定位更多的是關(guān)于教學(xué)要求的，而原來的教學(xué)要求作為內(nèi)容定更為恰當(dāng)些，所以更換了一下）三、重、難點(diǎn)重點(diǎn)及難點(diǎn)：幾個(gè)基本概念：整除、素?cái)?shù)、互素、同余、同余方程輾轉(zhuǎn)除

39、法及其應(yīng)用求解同余方程的基本方法 四、教學(xué)要求本專題的內(nèi)容分為兩個(gè)主要的部分：帶余除法和同余。在帶余除法這部分，要介紹算術(shù)基本定理。素?cái)?shù)是數(shù)論的一個(gè)核心概念，是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。有了它才能很好地理解整除的性質(zhì)，理解算術(shù)基本定理。輾轉(zhuǎn)相除法也是一個(gè)重點(diǎn)，利用它可以求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，并能用兩個(gè)數(shù)的線性組合來表示其最大公因數(shù)。在這里，要區(qū)分素?cái)?shù)和互素的不同，后者談的是兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，并不要求它們是素?cái)?shù)。同余反映了整數(shù)之間的一種新的關(guān)系。同余概念是本專題的又一個(gè)重點(diǎn)。同余類為我們提供了一種新的運(yùn)算平臺(tái)。教師應(yīng)幫助學(xué)生運(yùn)用類比的思想去探索同余運(yùn)算與一般運(yùn)算的異同。同余方程是一種新的方程形式。教師應(yīng)引

40、導(dǎo)學(xué)生采用類比的方式，把我們學(xué)過的方程與同余方程比較。探索它們?cè)诟拍?、求解等方面是如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的。例如，求解一元二次方程的主要方法是配方和降冪，求解二元一次方程組的主要方法是消元。那么，在同余方程中，反映的是哪種數(shù)學(xué)思想呢？同余方程組的求解是本專題的重點(diǎn)內(nèi)容之一， 教師應(yīng)該通過具體實(shí)例介紹大衍求一術(shù)的求解步驟，并且指導(dǎo)學(xué)生體會(huì)大衍求一術(shù)的思想本質(zhì)，最好與拉格朗日插值法進(jìn)行比較，讓學(xué)生體會(huì)插值法的本質(zhì)。在本專題的學(xué)習(xí)中重要的是，指導(dǎo)學(xué)生理解初等數(shù)論給我們提供的重要的數(shù)學(xué)思想，而不在于數(shù)學(xué)的技巧。這是開設(shè)好本專題內(nèi)容的關(guān)鍵所在。五、文獻(xiàn)參考1 閔嗣鶴 嚴(yán)士?。撼醯葦?shù)論（第三版），高等教育出版社

41、，20032 馮克勤：初等數(shù)論及應(yīng)用，北京師范大學(xué)出版社，20033 張順燕：數(shù)學(xué)的源與流，高等教育出版社，20004 R. 柯朗 和 H. 羅賓：什么是數(shù)學(xué)，左平等譯，復(fù)旦大學(xué)出版社，20052.7 優(yōu)選法與實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)初步一、背景著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生把數(shù)學(xué)方法創(chuàng)造性地運(yùn)用到國(guó)民經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，選擇了以改進(jìn)工藝為主的“優(yōu)選法”和以改善組織管理為目的的“統(tǒng)籌法”，并加以普及。他撰寫的以這兩種方法為內(nèi)容的小冊(cè)子，深入淺出，普通工人也能讀懂。優(yōu)選法在實(shí)際生產(chǎn)中顯示了巨大的威力，取得增產(chǎn)、降耗、優(yōu)質(zhì)的效果。通過華羅庚先生的創(chuàng)造性工作，使數(shù)學(xué)從書本走向生產(chǎn)實(shí)踐，在應(yīng)用數(shù)學(xué)的推廣方面取得了舉世矚目的成績(jī)。本專題在

42、華羅庚先生的“優(yōu)選法”基礎(chǔ)上，介紹了優(yōu)選法和實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。優(yōu)選法，準(zhǔn)確的說是“選優(yōu)法”，主要是要確定“優(yōu)”在哪里?優(yōu)選法的適用范圍是單峰值的問題，而“峰值”可能出現(xiàn)在任何位置，每增加一次試驗(yàn)就可以縮減掉一個(gè)區(qū)域。優(yōu)選法的原理簡(jiǎn)單、應(yīng)用廣泛。試驗(yàn)設(shè)計(jì)，主要是如何設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案，用最少的時(shí)間得到最好的試驗(yàn)結(jié)果。其基本原理是均衡搭配。使用的主要工具是拉丁方和正交表。試驗(yàn)設(shè)計(jì)的適用范圍很廣泛，對(duì)于學(xué)生以后的發(fā)展是十分有益的。二、知識(shí)結(jié)構(gòu)和內(nèi)容定位1知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖2內(nèi)容定位本專題介紹的第一部分內(nèi)容是試驗(yàn)設(shè)計(jì)?！霸囼?yàn)設(shè)計(jì)”是研究如何設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案，使得能用最少的試驗(yàn)次數(shù)來達(dá)到最好的試驗(yàn)?zāi)康?。在現(xiàn)實(shí)生活中和科學(xué)試驗(yàn)中

43、，人們往往需要用做試驗(yàn)的辦法去解決問題。例如：我們要對(duì)某一艾滋病易感人群進(jìn)行檢測(cè)。設(shè)人群有1000人，其中共有10個(gè)感染者。我們希望通過血樣檢驗(yàn)的方法，找出這10個(gè)感染者。對(duì)這個(gè)問題，我們可以有不同的做法。比如，一個(gè)一個(gè)的進(jìn)行檢驗(yàn)，在最壞的情況下，需要做999次檢驗(yàn)。也可以采用分組化驗(yàn)的辦法。即把幾個(gè)人的血樣混在一起，先化驗(yàn)一次。若化驗(yàn)合格，則說明這幾個(gè)人全部正常；若混合血樣不合格，說明這幾個(gè)人中有病人，再對(duì)他們做進(jìn)一步的化驗(yàn)(逐個(gè)化驗(yàn)，或者分成小組化驗(yàn))。一般來說，后一種方法可以減少化驗(yàn)次數(shù)。試驗(yàn)設(shè)計(jì)這部分內(nèi)容主要介紹的是正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，即利用正交表來進(jìn)行設(shè)計(jì)。和目前人們常用的方法相比，這個(gè)方

44、法有許多優(yōu)越性，而且操作簡(jiǎn)單。這一方法曾在一些工業(yè)企業(yè)和農(nóng)村中推廣，效果顯著。在本專題中介紹這個(gè)方法，也是希望能把這方法進(jìn)一步推廣。在本專題中，我們通過實(shí)際的案例，具體給出了設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案的步驟及分析試驗(yàn)結(jié)果的方法。我們要求學(xué)生能了解 “正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)”的思想，即“均衡搭配，綜合比較”的思想。本專題的第二部分內(nèi)容是優(yōu)選法。在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)試驗(yàn)中，人們?yōu)榱诉_(dá)到優(yōu)質(zhì)、高產(chǎn)、低消耗等目的，需要對(duì)有關(guān)因素的最佳點(diǎn)進(jìn)行選擇。這些選擇最佳點(diǎn)的問題，都稱之為選優(yōu)問題。解決這些選優(yōu)問題的方法稱為優(yōu)選法。上世紀(jì)70年代，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚在全國(guó)推廣和普及了優(yōu)選法，大大地提高了我國(guó)科技工作者、管理工作者、普通大眾的

45、科學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)水平。例如，在某化工生產(chǎn)中，一種產(chǎn)品的產(chǎn)量隨加工的溫度而變化。生產(chǎn)中，通常選用的加工溫度在之間，隨著溫度的升高，產(chǎn)量隨之加大。但當(dāng)溫度達(dá)到一定程度以后，隨著溫度的升高，產(chǎn)量反而降低了?，F(xiàn)在，我們考慮通過做試驗(yàn)的方法，找到這個(gè)最佳溫度，那么，如何設(shè)計(jì)我們的試驗(yàn)?zāi)?？分析這個(gè)例子可知，對(duì)試驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生影響的因素只有一個(gè)溫度。實(shí)際上，產(chǎn)量與溫度的關(guān)系可以用一元函數(shù)來刻畫，其中為溫度，為產(chǎn)量。但是函數(shù)的具體表達(dá)式是不知道的。在這個(gè)例子中，我們可以得到以下結(jié)論： 產(chǎn)量是溫度的函數(shù)。 隨著自變量的增加，函數(shù)的變化趨勢(shì)是，先單調(diào)遞增，再單調(diào)遞減。這樣的函數(shù)我們通常稱之為單峰函數(shù)，但是峰在哪兒，我們

46、并不知道，它可以出現(xiàn)在定義域的任何地方。 先做一次試驗(yàn)得到一個(gè)結(jié)果，再做一次試驗(yàn)再得到一個(gè)結(jié)果。如下圖（1）所示， （1） （2） （3）當(dāng)在x2的產(chǎn)量大于x1時(shí)，就有如上圖（2）、（3）的兩種峰值的情況，我們可以根據(jù)這兩次試驗(yàn)的情況，縮小因素的取值范圍。用做試驗(yàn)的辦法解決單因素選優(yōu)問題，并不是同時(shí)做好幾個(gè)試驗(yàn)，而是先做兩次試驗(yàn)，通過對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的比較，去掉不含最佳點(diǎn)的區(qū)間，縮小因素的取值范圍。再將第三次試驗(yàn)的結(jié)果與上次保留的試驗(yàn)結(jié)果加以比較，再次去掉不含最佳點(diǎn)的區(qū)間。如此繼續(xù)下去，不斷的縮小因素的取值區(qū)間，可以迅速地找到最佳點(diǎn)。這就是解決單因素選優(yōu)問題的基本思想。根據(jù)這樣的基本思想，如果限定試

47、驗(yàn)次數(shù)，我們?cè)O(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)法。如果不限制試驗(yàn)次數(shù)，我們又設(shè)計(jì)了0.618法。對(duì)于單因素的情況，還有二分法等其他方法。對(duì)于兩個(gè)因素情況的優(yōu)選法，也可以介紹幾種優(yōu)選的方法。例如，縱橫對(duì)折法和平行線法等。三、重、難點(diǎn)重點(diǎn)： 試驗(yàn)設(shè)計(jì)中“均衡搭配”的思想，優(yōu)選法中“選優(yōu)”的思想。 拉丁方和正交表的使用難點(diǎn)： 在試驗(yàn)設(shè)計(jì)中“均衡搭配”的思想 分?jǐn)?shù)法的證明思想四、教學(xué)要求教師應(yīng)該通過對(duì)具體實(shí)例的分析，幫助學(xué)生體會(huì)“均衡搭配”的思想。在這部分內(nèi)容的教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生把握優(yōu)選的基本思想。教師還可以引導(dǎo)學(xué)生把這種方法和在必修1中所學(xué)的二分法求方程的解作比較，探索它們之間的本質(zhì)聯(lián)系。我們建議教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)于本專題

48、的內(nèi)容進(jìn)行分析和整理，寫出一個(gè)好的讀書報(bào)告，這對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提高是個(gè)好的途徑，也便于一個(gè)好的學(xué)習(xí)習(xí)慣的養(yǎng)成。五、文獻(xiàn)參考1 華羅庚：優(yōu)選法平話及其補(bǔ)充，科學(xué)出版社，19712 華羅庚：優(yōu)選學(xué)，科學(xué)出版社，1981年3 陳希孺：機(jī)會(huì)的數(shù)學(xué)，清華大學(xué)出版社和暨南大學(xué)出版社，20004 中國(guó)現(xiàn)場(chǎng)統(tǒng)計(jì)會(huì)三次設(shè)計(jì)組等：正交法和三次試驗(yàn)設(shè)計(jì)，科學(xué)出版社，19852.8 統(tǒng)籌法與圖論初步一、背景統(tǒng)籌法，即合理安排我們要做的事情，提高我們的工作效率，使得做事情不忙亂，有條理。在管理科學(xué)中，統(tǒng)籌法成為基本的方法。項(xiàng)目管理的理論基礎(chǔ)是統(tǒng)籌法、圖論、統(tǒng)計(jì)概率。圖論是離散數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，主要討論的是離散數(shù)學(xué)的問題

49、。圖論是數(shù)學(xué)中有廣泛實(shí)際應(yīng)用的一個(gè)分支。心理學(xué)、化學(xué)、電工學(xué)、運(yùn)輸規(guī)劃、管理學(xué)、銷售學(xué)以及教育學(xué)等各個(gè)不同領(lǐng)域內(nèi)的許多問題都可以描述為圖論的問題。在本專題中我們只能介紹一些初步的圖論知識(shí)，討論有關(guān)圖論的基本概念和圖論中的幾個(gè)基本問題。例如，最短路問題、最小生成樹問題等。體會(huì)圖論反映的基本數(shù)學(xué)思想及其在其它領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用。圖論與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)不同，它是“一事一法”，很少有通法，但是它的應(yīng)用非常廣泛，并且和算法的聯(lián)系比較緊密。 二、知識(shí)結(jié)構(gòu)和內(nèi)容定位1知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖2內(nèi)容定位統(tǒng)籌方法是我們?nèi)粘Ｉ?、生產(chǎn)實(shí)踐中常用的一種數(shù)學(xué)方法，它可以幫助我們合理安排人力、物力等資源。1964年，中國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚在全

50、國(guó)對(duì)這種方法進(jìn)行了大力推廣，提高了廣大科學(xué)工作者、管理人員和普通群眾的科學(xué)素養(yǎng)。本專題將通過實(shí)例介紹統(tǒng)籌方法的數(shù)學(xué)原理和應(yīng)用。我們用一個(gè)例子來介紹統(tǒng)籌法。例如，生活中經(jīng)常需要沏茶。如果當(dāng)時(shí)的情況是：沒有開水，開水壺、茶壺、茶杯都要洗，還需要準(zhǔn)備茶葉，應(yīng)該怎么安排？辦法甲：先做好準(zhǔn)備工作：洗開水壺、茶壺、茶杯，拿茶葉。一切就緒后，灌水，燒水，等水開了泡茶喝。辦法乙：洗凈開水壺后，灌水，燒水。等水開了之后，洗茶壺、茶杯，拿茶葉，泡茶喝。辦法丙：洗凈開水壺后，灌水，燒水。利用等待水開的時(shí)候，洗茶壺、茶杯，拿茶葉，等水開了泡茶喝。哪種辦法節(jié)省時(shí)間？顯然是辦法丙，因?yàn)榍皟煞N辦法都“窩工”了。事實(shí)上，洗開

51、水壺是燒開水的先決條件；沒開水，沒茶葉，不洗茶壺、茶杯，就不能泡茶，因而這些都是泡茶的先決條件。而燒開水，洗茶壺、茶杯，拿茶葉沒有嚴(yán)格的先后關(guān)系。我們可以用下圖來直觀地表示以上三種辦法。甲：乙：丙： 假設(shè)洗開水壺需要分鐘，把水燒開需要10分鐘，洗茶壺、茶杯需要分鐘，拿茶葉需要分鐘，而泡茶需要分鐘。從圖中可以看出，辦法丙總共要1分鐘，而辦法甲、乙需要1分鐘。如果要縮短工時(shí)，提高效率，主要是燒開水這一環(huán)節(jié)，而不是拿茶葉這一環(huán)節(jié)；同時(shí)，洗茶壺、茶杯，拿茶葉總共需要4分鐘，完全可以利用“等水開”的時(shí)間來做。這雖是小事，卻引出一種計(jì)劃和管理的有效方法。從事一項(xiàng)生產(chǎn)或工程，如果工作環(huán)節(jié)太多，關(guān)系復(fù)雜時(shí)，這

52、樣做就非常必要，它可以避免由于一、兩個(gè)零件沒完成，而耽誤一架復(fù)雜機(jī)器的出廠時(shí)間，也不會(huì)由于抓的不是關(guān)鍵環(huán)節(jié)，連夜加班，急急忙忙的完成這一環(huán)節(jié)，卻又坐等別的環(huán)節(jié)完成才能繼續(xù)。由這個(gè)例子可以看出統(tǒng)籌法有幾個(gè)關(guān)鍵的步驟： 要學(xué)會(huì)確定工序和工序的結(jié)構(gòu)，即要知道哪道工序是哪道工序的緊前工序。 應(yīng)該學(xué)會(huì)用統(tǒng)籌圖把工序之間的關(guān)系清晰直觀的描述出來。 要學(xué)會(huì)確定統(tǒng)籌圖中的關(guān)鍵路線，并且知道每個(gè)工序的最遲發(fā)生時(shí)間。這樣就可以適當(dāng)?shù)陌才湃肆ξ锪ΡＷC整個(gè)工程的進(jìn)度。統(tǒng)籌方法在數(shù)學(xué)上沒有太大的難度，可是建立統(tǒng)籌思想?yún)s是非常重要的。圖論中的圖是由有限個(gè)點(diǎn)和有限條邊組成的，如下圖所示： 通常我們把這個(gè)圖表示為：G（V，E

53、），其中：點(diǎn)的集合為：V=北京，上海，廣州，重慶，西安。 邊的集合為：E=（北京，上海），（北京，廣州），（北京，重慶），（北京，西安），（上海，廣州），（西安，重慶），（重慶，廣州）。 我們需要研究這種圖可以提供給我們哪些好處？圖的最小生成樹問題和最短路問題都有著廣泛的應(yīng)用。在這部分內(nèi)容中，我們關(guān)心的是：解決問題的一般算法。即尋找一個(gè)算法，使得對(duì)于任意給定的一個(gè)圖，都可以用這個(gè)算法找出該圖的最小生成樹（最短路）。圖論屬于離散數(shù)學(xué)的范疇，在日常生活中經(jīng)常會(huì)碰到離散數(shù)學(xué)的問題。因此，我們對(duì)離散數(shù)學(xué)的初步了解，對(duì)于以后的生活和自身發(fā)展都是有意義的。教師應(yīng)把這樣一種思想滲透給學(xué)生。這種思想在高中的其

54、他課程中也有體現(xiàn)，比如，數(shù)列、差分等問題，都體現(xiàn)了用離散的方法去討論問題的思想。三、重、難點(diǎn)重點(diǎn)及難點(diǎn)： 統(tǒng)籌與圖論中的算法思想 四、教學(xué)要求在本專題的教學(xué)中，教師應(yīng)該利用具體實(shí)例幫助學(xué)生建立統(tǒng)籌思想，并能運(yùn)用到日常生活中去解決一些簡(jiǎn)單的問題。圖論這部分內(nèi)容的難點(diǎn)在于對(duì)算法思想的理解，這方面是教師在教學(xué)中特別要注意的地方。教師應(yīng)該通過具體實(shí)例幫助學(xué)生來理解求解問題的算法。五、文獻(xiàn)參考1 華羅庚：統(tǒng)籌方法平話及補(bǔ)充，中國(guó)工業(yè)出版社，1962 H. A. 塔哈：運(yùn)籌學(xué)，吳立煦等譯，上海人民出版社，19853 COMAP：數(shù)學(xué)的原理與實(shí)踐，申大維等譯，高等教育出版社和施普林格出版社，19982.9

55、風(fēng)險(xiǎn)與決策一、背景這是一個(gè)數(shù)學(xué)應(yīng)用的專題。在現(xiàn)代社會(huì)中，人們面臨著各種問題，針對(duì)著各種情況要做出決策。而無論何種決策都會(huì)有不確定的情況出現(xiàn)。例如，經(jīng)濟(jì)上的投資，設(shè)計(jì)面對(duì)自然災(zāi)害的預(yù)防方案等等。這樣的例子在日常生活和生產(chǎn)實(shí)踐中比比皆是，這些決策問題都是有風(fēng)險(xiǎn)的。了解有關(guān)風(fēng)險(xiǎn)決策的基本知識(shí)，形成風(fēng)險(xiǎn)意識(shí)，對(duì)每一個(gè)學(xué)生來說都是非常重要的，在一定意義上，可以提高人的生活質(zhì)量，也是在現(xiàn)代生活中的一種基本素質(zhì)。二、知識(shí)結(jié)構(gòu)和內(nèi)容定位1知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖 2內(nèi)容定位1）風(fēng)險(xiǎn)決策問題要用到一些概率的知識(shí)，我們可以通過實(shí)際問題的解決過程，引入相關(guān)的知識(shí)。根據(jù)學(xué)生不同的知識(shí)背景可以選擇不同的處理方法。2）決策與決策的“損失”是密不可分的。我們可以用數(shù)量來表示這個(gè)“損失”（為方便起見，我們把收益也統(tǒng)一稱為損失，即，負(fù)的損失）。由于我們面對(duì)的是隨機(jī)現(xiàn)象，損失是隨機(jī)的，“損失”的可能性的估計(jì)是一個(gè)比較復(fù)雜的問題，在我們所討論的風(fēng)險(xiǎn)決策問題中，一般都由問題直接給出，例如在“臺(tái)風(fēng)問題”的例題中，盡管我們已經(jīng)確定了防備臺(tái)風(fēng)的方案，但臺(tái)風(fēng)帶來的損失是隨機(jī)的，依賴