最短路徑專題含答案

1、最短路徑專題 含答案 1. 某同學(xué)的茶杯是圓柱體，如圖是茶杯的立體圖，左邊下方有一只螞蟻，從 處爬行到對面的中點 處，如果螞蟻爬行路線最短，請畫出這條最短路線圖解：如圖1，將圓柱的側(cè)面展開成一個長方形，如圖示，則 ， 分別位于如圖所示的位置，連接 ，即是這條最短路線圖問題：某正方形盒子，如圖左邊下方 處有一只螞蟻，從 處爬行到側(cè)棱 上的中點 點處，如果螞蟻爬行路線最短，請畫出這條最短路線圖 2. 如圖，一圓柱體的底面周長為 ，高 為 ， 是上底面的直徑一只昆蟲從點 出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點 ，求昆蟲爬行的最短路程 3. 如圖一只螞蟻要從正方體的一個頂點 爬一個頂點 ，如果正方體棱是 ，求最

2、短的路線長 4. 如圖，長方體的底面邊長分別為 和 ，高為 ，若一只螞蟻從 點開始經(jīng)過 個側(cè)面爬行一圈到達 點，求螞蟻爬行的最短路徑長 5. 如圖，有一半徑為 ，高為 的圓柱體，在棱 的 點上有一只蜘蛛，在棱 的 點上有一只蒼蠅，蜘蛛沿圓柱爬到 點吃蒼蠅，請你算出蜘蛛爬行的最短路線長（ 取 ；結(jié)果精確到 ） 6. 一只蜘蛛在一個正方體的頂點 處，一只蚊子在正方體的頂點 處，如圖所示，假設(shè)蚊子不動，現(xiàn)在蜘蛛想盡快地捉到這只蚊子，那么它所走的最短路線是怎樣的，在圖上畫出來，這樣的最短路線有幾條? 7. 如圖，圓柱的高為 ，底面直徑 ，在圓柱下底面的 點有一只螞蟻，它想吃到上底面上與 點相對的 點處

3、的食物，它需要爬行的最短路程是多少厘米? 8. 如圖 ，是一個長方體盒子，長 ，寬 ，高 （1）一只螞蟻從盒子下底面的點 沿盒子表面爬到點 ，求它所行走的最短路線的長（2）這個長方體盒子能容下的最長木棒的長度為多少? 9. 如圖， 中， 于點 ， 于點 ， 與 交于點 ，連接 （1）求證：；（2）若 ，求 的長 10. 如圖，平行四邊形 中，將平行四邊形 沿過點 的直線 折疊，使點 落到 邊上的點 處，折痕交 邊于點 （1）求證：四邊形 是菱形；（2）若點 時直線 上的一個動點，請計算 的最小值 11. 已知， 為 的外接圓， 為直徑，點 在 上，過點 作 ，點 在 的延長線上，且 （1）求證

4、： 與 相切；（2）若 ，求線段 的長 12. 已知拋物線 的函數(shù)解析式為 ，若拋物線 經(jīng)過點 （參考公式：在平面直角坐標(biāo)系中，若 ，則 ， 兩點間的距離為 ）（1）求拋物線 的頂點坐標(biāo)（2）已知實數(shù) ，請證明 ，并說明 為何值時才會有 （3）若將拋物線先向上平移 個單位，再向左平移 個單位后得到拋物線 ，設(shè) ， 是 上的兩個不同點，且滿足：，請你用含 的表達式表示出 的面積 ，并求出 的最小值及 取最小值時一次函數(shù) 的函數(shù)解析式 13. 如圖，已知：四邊形 中， 為 的中點，連接 ，（1）求證：四邊形 是菱形；（2）若 ，求四邊形 的面積 14. 如圖，一個正方體木柜放在墻角處（與墻面和地面

5、均沒有縫隙），有一只螞蟻從柜角 處沿著木柜表面爬到柜角 處（1）請你在正方體木柜的表面展開圖中畫出螞蟻能夠最快達到目的地的可能路徑；（2）當(dāng)正方體木柜的棱長為 時，求螞蟻爬過的最短路徑的長 15. 如圖，四邊形 為矩形， 為 邊中點，連接 ，以 為直徑的 交 于點 ，連接 （1）求證： 與 相切；（2）若 ， 為 的中點，求 的長 16. 已知圓錐的底面半徑為 ，高 ，現(xiàn)在有一只螞蟻從底邊上一點 出發(fā)在側(cè)面上爬行一周又回到 點，求螞蟻爬行的最短距離 17. 已知，點 是 斜邊 上一動點（不與 ， 重合），分別過 ， 向直線 作垂線，垂足分別為 ， 為斜邊 的中點（1）如圖 ，當(dāng)點 與點 重合時

6、， 與 的位置關(guān)系是  ， 與 的數(shù)量關(guān)系是  ；（2）如圖 ，當(dāng)點 在線段 上不與點 重合時，試判斷 與 的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（3）如圖 ，當(dāng)點 在線段 （或 ）的延長線上時，此時（）中的結(jié)論是否成立?請畫出圖形并給予證明 18. 已知四邊形 是平行四邊形，以 為直徑的 經(jīng)過點 ，（1）如圖，判斷 與 的位置關(guān)系，并說明理由；（2）如圖， 是 上一點，且點 在 的下方，若 的半徑為 ，求點 到 的距離 19. 圖，圖為同一長方體房間的示意圖，圖為該長方體的表面展開圖（1）已知蜘蛛在頂點 處；蒼蠅在頂點 處時，試在圖中畫出蜘蛛為捉住蒼蠅，沿墻面爬行的最近路線；蒼蠅在頂點

7、 處時，圖中畫出了蜘蛛捉住蒼蠅的兩條路線，往天花板 爬行的最近路線 和往墻面 爬行的最近路線 ，試通過計算判斷哪條路線更近；（2）在圖中，半徑為 的 與 相切，圓心 到邊 的距離為 ，蜘蛛 在線段 上，蒼蠅 在 的圓周上，線段 為蜘蛛爬行路線若 與 相切，試求 的長度的圍 20. 如圖所示，長方體的長為 ，寬為 ，高為 ，點 與點 之間相距 ，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點 爬到點 ，需要爬行的最短距離是多少? 21. 如圖，平行四邊形 中， 是 的中點， 是邊 上的動點， 的延長線與 的延長線交于點 （1）求證：四邊形 是平行四邊形；（2）當(dāng)   時，四邊形 是矩形；當(dāng)

8、60; 時，四邊形 是菱形 22. 藤是一種植物，它自己腰桿不硬，為了爭奪雨露，常常繞著樹干盤旋而上，它還有一個絕招，就是它繞樹盤升的路線，總是沿最短路線螺旋前進的（1）如果樹的周長為 ，繞一圈升高 ，則它爬行路程是多少?（2）如果樹的周長為 ，繞一圈爬行 ，則爬行一圈升高多少 ?如果爬行 圈到達樹頂，則樹干多高? 23. 實踐操作在矩形 中，現(xiàn)將紙片折疊，點 的對應(yīng)點記為點 ，折痕為 （點 ， 是折痕與矩形的邊的交點），再將紙片還原（1）初步思考若點 落在矩形 的邊 上（如圖）當(dāng)點 與點 重合時，   ，當(dāng)點 與點 重合時，   ；當(dāng)點 在 上，點 在 上時（如圖），求證

9、：四邊形 為菱形，并直接寫出當(dāng) 時菱形 的邊長（2）深入探究若點 落在矩形 的部（如圖），且點 ， 分別在 ， 邊上，請直接寫出 的最小值（3）拓展延伸若點 與點 重合，點 在 上，射線 與射線 交于點 （如圖）在各種不同的折疊位置中，是否存在某一種情況，使得線段 與線段 的長度相等?若存在，請直接寫出線段 的長度；若不存在，請說明理由 24. 如圖，已知拋物線 與 軸相交于點 和點 （點 在點 的左側(cè)），與 軸交于點 ，且 ，點 是拋物線的頂點，直線 和 交于點 （1）求點 的坐標(biāo)；（2）連接 ，求 的余切值；（3）設(shè)點 在線段 的延長線上，如果 和 相似，求點 的坐標(biāo) 25. 如圖，已知拋

10、物線經(jīng)過原點 ，頂點為 ，且與直線 交于 ， 兩點（1）求拋物線的解析式及點 的坐標(biāo)；（2）求證： 是直角三角形；（3）若點 為 軸上的一個動點，過點 作 軸與拋物線交于點 ，則是否存在以 ， 為頂點的三角形與 相似?若存在，請求出點 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 26. 閱讀下面材料：小明遇到這樣一個問題：如圖1，點 ， 分別在正方形 的邊 ， 上，連接 ，則 ，試說明理由小明是這樣思考的：要想解決這個問題，首先應(yīng)想辦法將這些分散的線段相對集中他先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，最后發(fā)現(xiàn)線段 ， 是共點并且相等的，于是找到解決問題的方法他的方法是將 繞著點 逆時針旋轉(zhuǎn) 得到 ，再利用全等的知

11、識解決了這個問題（如圖2）參考小明同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題：（1）如圖3，四邊形 中，點 ， 分別在邊 ， 上，若 ， 都不是直角，則當(dāng) 與 滿足   關(guān)系時，仍有 ；（2）如圖4，在 中，點 ， 均在邊 上，且 ，若 ，求 的長 27. 如圖，在 中，在矩形 中，點 與點 重合， 與 重合，矩形 沿著 方向平移，且平移速度為每秒 個單位，當(dāng)點 與點 重合時停止運動（1） 的長度是  ；（2）運動   秒， 與 重合；（3）設(shè)矩形 與 重疊部分的面積為 ，運動時間為 ，求出 與 之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出 的取值圍 28. 如圖1，對稱軸為直線 的拋物線

12、經(jīng)過 、 兩點，拋物線與 軸的另一交點為 .（1）求拋物線的解析式；（2）若點 為第一象限拋物線上的一點，設(shè)四邊形 的面積為 ，求 的最大值；（3）如圖2，若 是線段 上一動點，在 軸是否存在這樣的點 ，使 為等腰三角形且 為直角三角形?若存在，求出點 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 29. 如圖，矩形 中，將矩形沿對角線 剪開，請解決以下問題：（1）將 繞點 順時針旋轉(zhuǎn) 得到 ，請在備用圖中畫出旋轉(zhuǎn)后的 ，連接 ，并求線段 的長度；（2）在（1）的情況下，將 沿 向左平移的長度為 ，設(shè)平移后的圖形與 重疊部分的面積為 ，求 與 的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出 的取值圍 30. 如圖甲，在 中，如果點

13、 由點 出發(fā)沿 方向向點 勻速運動，同時點 由點 出發(fā)沿 方向向點 勻速運動，它們的速度均為 連接 ，設(shè)運動時間為 ，解答下列問題：（1）設(shè) 的面積為 ，當(dāng) 為何值時， 取得最大值? 的最大值是多少?（2）如圖乙，連接 ，將 沿 翻折，得到四邊形 ，當(dāng)四邊形 為菱形時，求 的值；（3）當(dāng) 為何值時， 是等腰三角形? 31. 如圖，拋物線與 軸交于 ， 兩點，且 ，與 軸交于點 ，其中 ， 是方程 的兩個根（1）求這條拋物線的解析式；（2）點 是線段 上的動點，過點 作 ，交 于點 ，連接 ，當(dāng) 的面積最大時，求點 的坐標(biāo)；（3）探究：若點 是拋物線對稱軸上的點，是否存在這樣的點 ，使 成為等腰

14、三角形?若存在，請直接寫出所有符合條件的點 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 32. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系 中，拋物線 與 軸相交于點 ，點 與點 關(guān)于點 對稱（1）填空：點 的坐標(biāo)是  ；（2）過點 的直線 （其中 與 軸相交于點 ，過點 作直線 平行于 軸， 是直線 上一點，且 ，求線段 的長（用含 的式子表示），并判斷點 是否在拋物線上，說明理由；（3）在（2）的條件下，若點 關(guān)于直線 的對稱點 恰好落在該拋物線的對稱軸上，求此時點 的坐標(biāo) 33. 已知：如圖，在 中，點 由 出發(fā)沿 方向向點 勻速運動，速度為 ；點 由 出發(fā)沿 方向向點 勻速運動，速度為 ；連接 若設(shè)運動的時間

15、為 （），解答下列問題：（1）當(dāng) 為何值時， ?（2）設(shè) 的面積為 ，求 與 之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在某一時刻，使線段 恰好把 的周長和面積同時平分?若存在，求出此時的值；若不存在，說明理由；（4）如圖，連接 ，并把 沿 翻折，得到四邊形 ，那么是否存在某一時刻，使四邊形 為菱形?若存在，求出此時菱形的邊長；若不存在，說明理由 34. 如圖，四邊形 ， 均為正方形，（1）如圖1，連接 ，試判斷 和 的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系并證明；（2）將正方形 繞點 順時針旋轉(zhuǎn) 角 ，如圖2，連接 ， 相交于點 ，連接 ，當(dāng)角 發(fā)生變化時， 的度數(shù)是否發(fā)生變化?若不變化，求出 的度數(shù)；若發(fā)生變化，請說明理

16、由（3）在（2）的條件下，過點 作 交 的延長線于點 ，請直接寫出線段 與 的數(shù)量關(guān)系：   35. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形 的頂點 ， 分別在 軸和 軸的正半軸上，頂點 的坐標(biāo)為 ，翻折矩形 ，使點 與點 重合，得到折痕 設(shè)點 的對應(yīng)點為 ，折痕 所在直線與 軸相交于點 ，經(jīng)過點 ， 的拋物線為 （1）求點 的坐標(biāo)（用含 的式子表示）；（2）若點 的坐標(biāo)為 ，求該拋物線的解析式（3）在（2）的條件下，設(shè)線段 的中點為 ，在線段 上方的拋物線上是否存在點 ，使 ?若存在，直接寫出 的坐標(biāo)，若不存在，說明理由 36. 如圖，在 中，點 ， 分別在 ， 上，且 ，（1）如圖 1，

17、當(dāng) 時，圖 1 中是否存在與 相等的線段?若存在，請找出并加以證明若不存在說明理由（2）如圖 2，當(dāng) （其中 ）時，若 ，求 的長（用含 ， 的式子表示） 37. 如圖，頂點為 的拋物線經(jīng)過點 ，且與 軸交于 ， 兩點（點 在點 的右側(cè)）（1）求拋物線的解析式；（2）若拋物線上存在點 ，使得 ，求出點 的坐標(biāo)；（3）點 在拋物線上，點 在 軸上，且 ，是否存在點 ，使得 與 相似?若存在，直接寫出點 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由 38. 閱讀下面材料：小明遇到這樣一個問題：如圖1， 中，點 在 邊上，垂足為 ，求證：小明經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)，過點 作 ，垂足為 ，得到 ，從而可證 （如圖 2），使問題得到

18、解決（1）根據(jù)閱讀材料回答： 與 全等的條件是  （填" "、 " " 、" " 、 " “或” "中的一個）參考小明思考問題的方法，解答下列問題：（2）如圖3， 中， 為 的中點， 為 的中點，點 在 的延長線上，且 ，若 ，求 的長；（3）如圖 4， 中，點 ， 分別在 ， 邊上，且 （其中 ），求 的值（用含 的式子表示） 39. 如圖，已知二次函數(shù) （， 為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點 ，點 ，頂點為點 ，過點 作 軸，交 軸于點 ，交該二次函數(shù)圖象于點 ，連接 （1）求該二次函數(shù)的解析式及點 的坐標(biāo)；（2

19、）若將該二次函數(shù)圖象向下平移 個單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點落在 的部（不包括 的邊界），求 的取值圍；（3）點 是直線 上的動點，若點 ，點 ，點 所構(gòu)成的三角形與 相似，請直接寫出所有點 的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果，不必寫解答過程） 40. 在平面直角坐標(biāo)系中， 為原點，四邊形 是矩形，點 ， 的坐標(biāo)分別為 ，點 是邊 上的動點（與端點 ， 不重合），過點 作直線 交邊 于點 （1）如圖（1），求點 和點 的坐標(biāo)（用含 的式子表示）；（2）如圖（2），若矩形 關(guān)于直線 的對稱圖形為矩形 ，試探究矩形 與矩形 的重疊部分的面積是否發(fā)生變化?若不變，求出重疊部分的面積；若改變，請說明理由；

20、（3）矩形 繞著它的對稱中心旋轉(zhuǎn)，如果重疊部分的形狀是菱形，請直接寫出這個菱形的面積的最小值和最大值 41. 如圖 1，在菱形 中，對角線 與 相交于點 ，在菱形 的外部以 為邊作等邊三角形 點 是對角線 上一動點（點 不與點 重合），將線段 繞點 順時針方向旋轉(zhuǎn) 得到線段 ，連接 （1）求 的長；（2）如圖2，當(dāng)點 在線段 上，且點 ， 三點在同一條直線上時，求證：；（3）連接 ，若 的面積為 ，請直接寫出 的周長（溫馨提示：考生可以根據(jù)題意，在備用圖中補充圖形，以便作答） 42. 如圖，矩形紙片 中，折疊紙片使點 落在 上，落點為 點 從點 開始沿 移動，折痕所在直線 的位置也隨之改變，當(dāng)

21、直線 經(jīng)過點 時，點 停止移動，連接 設(shè)直線 與 相交于點 ，與 所在直線相交于點 ，點 的移動距離為 ，點 與點 的距離為 （1）求證：；（2）求 與 的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出 的取值圍 43. 如圖1， 中，線段 在射線 上，且 ，線段 沿射線 運動，開始時，點 與點 重合，點 到達點 時運動停止，過點 作 ，與射線 相交于點 ，過點 作 的垂線，與射線 相交于點 設(shè) ，四邊形 與 重疊部分的面積為 ， 關(guān)于 的函數(shù)圖象如圖 2 所示（其中 ， 時，函數(shù)的解析式不同）（1）填空： 的長是  ；（2）求 關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出 的取值圍 44. 如圖，拋物線 與 軸交于 ， 兩

22、點，與 軸交于 點，且 （1）求拋物線的解析式及頂點 的坐標(biāo)；（2）判斷 的形狀，證明你的結(jié)論；（3）點 是 軸上的一個動點，當(dāng) 的值最小時，求 的值 45. 定義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個三角形叫做"友好三角形"性質(zhì)：如果兩個三角形是"友好三角形"，那么這兩個三角形的面積相等理解：如圖 1，在 中， 是 邊上的中線，那么 和 是“友好三角形”，并且 （1）應(yīng)用：如圖2，在矩形 中，點 在 上，點 在 上， 與 交于點 （i）求證： 和 是“友好三角形”；（ii）連接 ，若 和 是“友好三角形”，求四邊形 的面積（2）探究：在 中，點 在線段 上

23、，連接 ， 和 是“友好三角形”，將 沿 所在直線翻折，得到 ，若 與 重合部分的面積等于 面積的 ，請直接寫出 的面積 46. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形 的頂點 是坐標(biāo)原點，點 在第一象限，點 在第四象限，點 的坐標(biāo)為 ，點 是線段 上的一個動點（點 不與點 、 重合），過點 與 軸平行的直線 交邊 或邊 于點 ，交邊 或邊 于點 ，設(shè)點 橫坐標(biāo)為 ，線段 的長度為 已知 時，直線 恰好經(jīng)過點 （1）求點 和點 的坐標(biāo)；（2）當(dāng) 時，求 關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng) 時，請直接寫出 的值；（4）直線 上有一點 ，當(dāng) ，且 的周長為 時，請直接寫出滿足條件的點 的坐標(biāo) 47. 如圖，已

24、知拋物線 與 軸的一個交點為 ，與 軸的交點為 ，其頂點為 ，對稱軸為 （1）求拋物線的解析式；（2）已知點 為 軸上的一個動點，當(dāng) 為等腰三角形時，求點 的坐標(biāo)；（3）將 沿 軸向右平移 個單位長度 得到另一個三角形，將所得的三角形與 重疊部分的面積記為 ，用 的代數(shù)式表示 48. 在四邊形 中，對角線 ， 相交于點 ，將 繞點 按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到 ，旋轉(zhuǎn)角為 ，連接 ， 與 交于點 （1）如圖1，若四邊形 是正方形 求證： 請直接寫出 與 的位置關(guān)系（2）如圖 2，若四邊形 是菱形，設(shè) 判斷 與 的位置關(guān)系，說明理由，并求出 的值（3）如圖 3，若四邊形 是平行四邊形，連接 ，設(shè) 請直接

25、寫出 的值和 的值 49. 如圖，四邊形 為一個矩形紙片，動點 自 點出發(fā)沿 方向運動至 點后停止 以直線 為軸翻折，點 落到點 的位置設(shè) ， 與原紙片重疊部分的面積為 （1）當(dāng) 為何值時，直線 過點 ?（2）當(dāng) 為何值時，直線 過 的中點 ?（3）求出 與 的函數(shù)表達式 50. 如圖，以點 為圓心的圓，交 軸于 ， 兩點（ 在 的左側(cè)），交 軸于 ， 兩點（ 在 的下方），將 繞點 旋轉(zhuǎn) ，得到 （1）求 ， 兩點的坐標(biāo)；（2）請在圖中畫出線段 ，并判斷四邊形 的形狀（不必證明），求出點 的坐標(biāo)；（3）動直線 從與 重合的位置開始繞點 順時針旋轉(zhuǎn)，到與 重合時停止，設(shè)直線 與 交點為 ，點

26、為 的中點，過點 作 于 ，連接 ，請問在旋轉(zhuǎn)過程中 的大小是否變化?若不變，求出 的度數(shù)；若變化，請說明理由 51. 定義：當(dāng)點 在射線 上時，把 的值叫做點 在射線 上的射影值；當(dāng)點 不在射線 上時，把射線 上與點 最近點的射影值，叫做點 在射線 上的射影值例如：如圖 ， 三個頂點均在格點上， 是 邊上的高，則點 和點 在射線 上的射影值均為 （1）在 中，點 在射線 上的射影值小于 時，則 是銳角三角形；點 在射線 上的射影值等于 時，則 是直角三角形；點 在射線 上的射影值大于 時，則 是鈍角三角形；其中真命題有   A B C D（2）已知：點 是射線 上一點，以 為圓心，

27、 長為半徑畫圓，點 是 上任意一點如圖 ，若點 在射線 上的射影值為 ，求證：直線 是 的切線如圖 ，已知 為線段 的中點，設(shè)點 在射線 上的射影值為 ，點 在射線 上的射影值為 ，直接寫出 與 之間的函數(shù)關(guān)系式 52. 如圖，已知一條直線過點 ，且與拋物線 交于 ， 兩點，其中點 的橫坐標(biāo)是 （1）求這條直線的函數(shù)關(guān)系式及點 的坐標(biāo)；（2）在 軸上是否存在點 ，使得 是直角三角形?若存在，求出點 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）過線段 上一點 ，作 軸，交拋物線于點 ，點 在第一象限，點 ，當(dāng)點 的橫坐標(biāo)為何值時， 的長度最大?最大值是多少? 53. 已知：如圖， 是半圓 的直徑，弦 ，

28、動點 ， 分別在線段 ， 上，且 ， 的延長線與射線 相交于點 、與弦 相交于點 （點 與點 ， 不重合），設(shè) ， 的面積為 （1）求證：；（2）求 關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的自變量 的取值圍；（3）當(dāng) 是直角三角形時，求線段 的長 54. 如圖，拋物線 與 軸分別相交于點 ，與 軸交于點 ，頂點為點 （1）求拋物線的解析式；（2）動點 ， 從點 同時出發(fā)，都以每秒 個單位長度的速度分別在線段 ， 上向點 ， 方向運動，過點 作 軸的垂線交 于點 ，交拋物線于點 （i）當(dāng)四邊形 為矩形時，求點 的坐標(biāo)；（ii）是否存在這樣的點 ，使 為直角三角形?若存在，求出點 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理

29、由 55. 如圖，在 中，動點 從點 出發(fā)，在 邊上以每秒 的速度向點 勻速運動，同時動點 從點 出發(fā)，在 邊上以每秒 的速度向點 勻速運動，設(shè)運動時間為 秒（），連接 （1）若 ，求 的值；（2）若 與 相似，求 的值；（3）當(dāng) 為何值時，四邊形 的面積最小?并求出最小值 56. 愛好思考的小茜在探究兩條直線的位置關(guān)系查閱資料時，發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”，即兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”如圖1，圖2，圖3中， 是 的中線， 于點 ，像 這樣的三角形均為“中垂三角形”設(shè) ，（1）【特例探究】如圖 ，當(dāng) ， 時，  ，  ；如圖 ，當(dāng) ， 時，  ，

30、60;；（2）【歸納證明】請你觀察（1）中的計算結(jié)果，猜想 、 、 三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖 證明你的結(jié)論（3）【拓展證明】如圖 4， 平行四邊形 中， 、 分別是 、 的三等分點，且 ，連接 、 、 ，且 于 ， 與 相交點 ，求 的長 57. 在某次海上軍事學(xué)習(xí)期間，我軍為確保 海域的安全，特派遣三艘軍艦分別在 ， 處監(jiān)控 海域，在雷達顯示圖上，軍艦 在軍艦 的正向 海里處，軍艦 在軍艦 的正北方向 海里處，三艘軍艦上裝載有相同的探測雷達，雷達的有效探測圍是半徑為 的圓形區(qū)域（只考慮在海平面上的探測）（1）若三艘軍艦要對 海域進行無盲點監(jiān)控，則雷達的有效探測半徑 至少為多少

31、海里?（2）現(xiàn)有一艘敵艦 從東部接近 海域，在某一時刻軍艦 測得 位于北偏東 方向上，同時軍艦 測得 位于南偏東 方向上，求此時敵艦 離 海域的最短距離為多少海里?（3）若敵艦 沿最短距離的路線以 海里 小時的速度靠近 海域，我軍軍艦 沿北偏東 的方向行進攔截，問 軍艦速度至少為多少才能在此方向上攔截到敵艦 ? 58. 如圖，在坐標(biāo)系 中，已知 ，過 點分別作 ， 垂直于 軸、 軸，垂足分別為 ， 兩點動點 從 點出發(fā)，沿 軸以每秒 個單位長度的速度向右運動，運動時間為 秒（1）當(dāng) 為何值時，；（2）當(dāng) 為何值時，；（3）以點 為圓心， 的長為半徑的 隨點 的運動而變化，當(dāng) 與 的邊（或邊所在

32、的直線）相切時，求 的值 59. 如圖，拋物線 與 軸交于 、 兩點，與 軸交于點 ，拋物線的對稱軸交 軸于點 ，已知 ，（1）求拋物線的表達式；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點 ，使 是以 為腰的等腰三角形?如果存在，直接寫出 點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；（3）點 是線段 上的一個動點，過點 作 軸的垂線與拋物線相交于點 ，當(dāng)點 運動到什么位置時，四邊形 的面積最大?求出四邊形 的最大面積及此時 點的坐標(biāo) 60. 如圖1，在 中，扇形紙片 的頂點 與邊 的中點重合， 交 于點 ， 經(jīng)過點 ，且 （1）證明 是等腰三角形，并求出 的長；（2）將扇形紙片 繞點 逆時針旋轉(zhuǎn)， 與邊 分別交

33、于點 ，（如圖2），當(dāng) 的長是多少時， 與 相似? 61. 如圖，在每個小正方形的邊長為 的網(wǎng)格中， 為小正方形邊的中點， 為格點， 為 ， 的延長線的交點（1） 的長等于  ；（2）若點 在線段 上，點 在線段 上，且滿足 ，請在如圖所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，畫出線段 ，并簡要說明點 ， 的位置是如何找到的（不要求證明） 62. 如圖，二次函數(shù) 的圖象與 軸相交于點 ，與 軸相交于點 （1）求該函數(shù)的表達式；（2）點 為該函數(shù)在第一象限的圖象上一點，過點 作 ，垂足為點 ，連接 求線段 的最大值；若以點 ， 為頂點的三角形與 相似，求點 的坐標(biāo) 63. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中

34、，直線 與 軸， 軸相交于 ， 兩點點 的坐標(biāo)是 ，連接 ，（1）求過 ， 三點的拋物線的解析式，并判斷 的形狀；（2）動點 從點 出發(fā)，沿 以每秒 個單位長度的速度向點 運動；同時，動點 從點 出發(fā)，沿 以每秒 個單位長度的速度向點 運動規(guī)定其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動設(shè)運動時間為 秒，當(dāng) 為何值時，?（3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點 ，使以 ， 為頂點的三角形是等腰三角形?若存在，求出點 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 64. 將矩形紙片 放在平面直角坐標(biāo)系中， 為坐標(biāo)原點，點 在 軸上，點 在 軸上，點 的坐標(biāo)是 ，點 是邊 上的一個動點，將 沿 折疊，使點 落在點

35、 處（1）如圖 ，當(dāng)點 恰好落在 上時，求點 的坐標(biāo)（2）如圖 ，當(dāng)點 是 中點時，直線 交 于 點（a）求證：；（b）求點 的坐標(biāo) 65. 在平面直角坐標(biāo)系 中，給出如下定義：對于 及 外一點 ， 是 上兩點，當(dāng) 最大時，稱 為點 關(guān)于 的“視角”（1）如圖， 的半徑為 ，已知點 ，畫出點 關(guān)于 的“視角”；若點 在直線 上，求點 關(guān)于 的最大“視角”的度數(shù)；在第一象限有一點 ，點 關(guān)于 的“視角”為 ，求點 的坐標(biāo)；若點 在直線 上，且點 關(guān)于 的“視角”大于 ，求點 的橫坐標(biāo) 的取值圍（2） 的圓心在 軸上，半徑為 ，點 的坐標(biāo)為 ，點 的坐標(biāo)為 ，若線段 上所有的點關(guān)于 的“視角”都小

36、于 ，直接寫出點 的橫坐標(biāo) 的取值圍 66. 已知拋物線的解析式為 ， 是拋物線上的一個動點， 是拋物線對稱軸上的一點（1）求拋物線的頂點及與 軸交點的坐標(biāo)；（2） 是過點 且平行于 軸的直線， 與拋物線的對稱軸的交點為 ，垂足為點 ，連接 ，當(dāng) 是等邊三角形時，求 點的坐標(biāo)；求證： 67. 如圖（），在矩形 中，點 是射線 上的一個動點，把 沿 折疊，點 的對應(yīng)點為 （1）若點 剛好落在線段 的垂直平分線上時，求線段 的長；（2）若點 剛好落在線段 的垂直平分線上時，求線段 的長；（3）當(dāng)射線 交線段 于點 時，請直接寫出 的最大值   68. （背景）某班在一次數(shù)學(xué)實踐活動中，對

37、矩形紙片進行折疊實踐操作，并將其產(chǎn)生的數(shù)學(xué)問題進行相關(guān)探究（操作）如圖，在矩形 中，點 是 邊上一點，現(xiàn)將 沿 對折，得 ，顯然點 位置隨 點位置變化而發(fā)生改變（問題）試求下列幾種情況下：點 到直線 的距離（1）；（2） 與 重合；（3） 是 的中點 69. 如圖，已知拋物線 經(jīng)過原點 ，且與直線 交于 ， 兩點（1）求拋物線的頂點 的坐標(biāo)及點 ， 的坐標(biāo)；（2）求證：；（3）在直線 上方的拋物線上是否存在點 ，使 的面積最大?若存在，請求出點 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（4）若點 為 軸上的一個動點，過點 作 軸與拋物線交于點 ，則是否存在以 ， 為頂點的三角形與 相似?若存在，請求出點

38、 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 70. 如圖，已知拋物線 經(jīng)過一點 ，其對稱軸為直線 ， 為 軸上一點，直線 與拋物線交于另一點 （1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）試在線段 下方的拋物線上求一點 ，使得 的面積最大，并求出最大面積；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點 ，使得 是直角三角形?如果存在，求出點 的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由 71. 如圖，在正方形 中，對角線 與 相交于點 ，點 是 上的一個動點，連接 ，交 于點 （1）如圖，當(dāng) 時，求 的值；（2）如圖當(dāng) 平分 時，求證：；（3）如圖，當(dāng)點 是 的中點時，過點 作 于點 ，求證： 72. 如圖，拋物線 與 軸交于 和 兩點，與

39、 軸交于點 ，對稱軸與 軸交于點 ，點 為頂點，連接 ，（1）求證 是直角三角形；（2）點 為線段 上一點，若 ，求點 的坐標(biāo)；（3）點 為拋物線上一點，作 ，交直線 于點 ，若 ，請直接寫出所有符合條件的點 的坐標(biāo) 73. 如圖，在四邊形 中，點 為邊 上一點，動點 從 點出發(fā)，以 的速度沿 運動至 點停止，設(shè)運動時間為 秒（1）求證四邊形 是平行四邊形；（2）當(dāng) 為等腰三角形時，求 的值；（3）當(dāng) 時，把 沿直線 翻折，得到 ，求 與平行四邊形 重疊部分的面積 74. 如圖， 中，過點 作射線 ，點 是線段 上一動點（不與 ， 重合），連接 ，過點 作 ，交射線 于點 （1）如圖，當(dāng) 時，

40、則線段 與線段 的數(shù)量關(guān)系為  ；（2）如圖，當(dāng) 時，猜想線段 與線段 的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）當(dāng) 時，直接寫出線段 與線段 的數(shù)量關(guān)系（用含 的三角函數(shù)表示） 75. 給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱該四邊形為勾股四邊形（1）以下四邊形中，是勾股四邊形的為  （填寫序號即可）矩形；有一個角為直角的任意凸四邊形；有一個角為 的菱形（2）如圖，將 繞頂點 按順時針方向旋轉(zhuǎn) 得到 ，連接 ，求證： 是等邊三角形；求證：四邊形 是勾股四邊形 76. 已知直線 ，拋物線 （1）當(dāng) ， 時，拋物線 的頂點在直線 上，求 的值；（2）若把

41、直線 向上平移 個單位長度得到直線 ，則無論非零實數(shù) 取何值，直線 與拋物線 都只有一個交點（1）求此拋物線的解析式；（2）若 是此拋物線上任一點，過點 作 軸且與直線 交于點 ， 為原點求證： 77. 如圖，直線 與拋物線 （）相交于 和 ，點 是線段 上異于 ， 的動點，過點 作 軸于點 ，交拋物線于點 （1）求拋物線的解析式；（2）是否存在這樣的 點，使線段 的長有最大值，若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由；（3）求 為直角三角形時點 的坐標(biāo) 78. 如圖，已知直線 與 軸交于點 ，與 軸交于點 ，拋物線 經(jīng)過 、 兩點，與 軸交于另一個點 ，對稱軸與直線 交于點 ，拋物線頂點

42、為 （1）求拋物線的解析式；（2）在第三象限， 為拋物線上一點，以 、 、 為頂點的三角形面積為 ，求點 的坐標(biāo)；（3）點 從點 出發(fā)，沿對稱軸向下以每秒 個單位長度的速度勻速運動，設(shè)運動的時間為 秒，當(dāng) 為何值時，以 、 、 為頂點的三角形是直角三角形?直接寫出所有符合條件的 值 79. 如圖，已知二次函數(shù) 的圖象與 軸交于點 ，與 軸交于點 ，點 坐標(biāo)為 ，連接 ，（1）請直接寫出二次函數(shù) 的表達式；（2）判斷 的形狀，并說明理由；（3）若點 在 軸上運動，當(dāng)以點 ， 為頂點的三角形是等腰三角形時，請直接寫出此時點 的坐標(biāo)；（4）若點 在線段 上運動（不與點 ， 重合），過點 作 ，交 于

43、點 ，當(dāng) 面積最大時，求此時點 的坐標(biāo) 80. 已知： 在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖 所示， 點坐標(biāo)為 ， 點坐標(biāo)為 ，點 為 的中點，點 為線段 上一動點，連接 ，經(jīng)過 ， 三點的拋物線的解析式為 （1）求拋物線的解析式；（2）如圖 ，將 以 為軸翻折，點 的對應(yīng)點為點 ，當(dāng)點 恰好落在拋物線的對稱軸上時，求 點坐標(biāo)；（3）如圖 ，當(dāng)點 在線段 上運動時，拋物線 的對稱軸上是否存在點 ，使得以 ， 為頂點的四邊形為平行四邊形?若存在，請直接寫出點 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 81. （1）如圖，在 中，將 繞點 逆時針旋轉(zhuǎn) 得到 ，連接 ，求 的大??；（2）如圖，在 中，將 繞點 逆時針旋

44、轉(zhuǎn) 得到 ，連接 ，以 為圓心， 長為半徑作圓（）猜想：直線 與 的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（）連接 ，求線段 的長度；（3）如圖，在 中，將 繞點 逆時針旋轉(zhuǎn) 角度 得到 ，連接 和 ，以 為圓心， 長為半徑作圓問：角 與角 滿足什么條件時，直線 與 相切，請說明理由，并求此條件下線段 的長度（結(jié)果用角 或角 的三角函數(shù)及字母 ， 所組成的式子表示） 82. 如圖 1，二次函數(shù) 的圖象與一次函數(shù) 的圖象交于 ， 兩點，點 的坐標(biāo)為 ，點 在第一象限，點 是二次函數(shù)圖象的頂點，點 是一次函數(shù) 的圖象與 軸的交點，過點 作 軸的垂線，垂足為 ，且 （1）求直線 和直線 的解析式；（2）點 是線

45、段 上一點，點 是線段 上一點， 軸，射線 與拋物線交于點 ，過點 作 軸于點 ， 于點 當(dāng) 與 的乘積最大時，在線段 上找一點 （不與點 ，點 重合），使 的值最小，求點 的坐標(biāo)和 的最小值；（3）如圖 2，直線 上有一點 ，將二次函數(shù) 沿直線 平移，平移的距離是 ，平移后拋物線上點 ，點 的對應(yīng)點分別為點 ，點 ；當(dāng) 是直角三角形時，求 的值 83. 如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 經(jīng)過 、 、 三點，其頂點為 ，連接 ，點 是線段 上一個動點（不與 、 重合），過點 作 軸的垂線，垂足點為 ，連接 （1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點 的坐標(biāo)；（2）如果 點的坐標(biāo)為 ， 的面積為

46、 ，求 與 之間的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量 的取值圍，并求出 的最大值；（3）在（2）的條件下，當(dāng) 取到最大值時，過點 作 軸的垂線，垂足為 ，連接 ，把 沿直線 折疊，點 的對應(yīng)點為點 ，求出 的坐標(biāo)，并判斷 是否在該拋物線上 84. 定義：如圖，點 、 把線段 分割成 、 和 ，若以 、 、 為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點 、 是線段 的勾股分割點（1）已知點 、 是線段 的勾股分割點，若 ，求 的長（2）如圖，在菱形 中，點 、 分別在 、 上， 、 分別交 于點 、 求證： 、 是線段 的勾股分割點（3）如圖，點 、 是線段 的勾股分割點， 、 分別是以 、 為斜邊的等腰直角三

47、角形，且點 與點 在 的同側(cè)，若 ，連接 ，則   85. 拋物線 （）與 軸交于 ， 兩點，與 軸交于點 （1）求拋物線的解析式；（2）點 從點 出發(fā)，乙每秒 個單位長度的速度向點 運動，同時點 也從點 出發(fā)，以每秒 個單位長度的速度向點 運動，設(shè)點 的運動時間 秒 過點 作 軸的平行線，與 相交于點 ，當(dāng) 為何值時， 的值最小，求出這個最小值并寫出此時點 、 的坐標(biāo)；在滿足的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在點F，使 為直角三角形?若存在，請直接寫出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 86. （1）探究發(fā)現(xiàn)：下面是一道例題及其解答過程，請補充完整：如圖 1 在等邊 部，有一點 ，若

48、求證： 證明：將 繞 點逆時針旋轉(zhuǎn) ，得到 ，連接 ，則 為等邊三角形所以 ，  ；因為 ，所以 所以  ，即 .（2）類比延伸：如圖 2 在等腰三角形 中，部有一點 ，若 ，試判斷線段 、 、 之間的數(shù)量關(guān)系，并證明（3）聯(lián)想拓展：如圖 3在 中，點 在直線 上方，且 ，滿足 ，請直接寫出 的值 87. 已知，如圖1，在矩形 中，垂足是 點 是點 關(guān)于 的對稱點，連接 、 （1）求 和 的長；（2）若將 沿著射線 方向平移，設(shè)平移的距離為 （平移距離指點 沿 方向所經(jīng)過的線段長度），當(dāng)點 分別平移到線段 、 上時，直接寫出相應(yīng)的 的值；（3）如圖2將 繞點 順時針旋轉(zhuǎn)一個

49、角 ，記旋轉(zhuǎn)中的 為 ，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè) 所在的直線與直線 交于點 ，與直線 交于點 是否存在這樣的 、 兩點，使 為等腰三角形?若存在，求出此時 的長；若不存在，請說明理由 88. 如圖1，矩形 中，點 為 上一定點，點 為 延長線上一點，且 點 從 點出發(fā)，沿 邊向點 以 的速度運動連接 ，設(shè)點 運動的時間為 ， 的面積為 當(dāng) 時， 的面積 關(guān)于時間 的函數(shù)圖象如圖2所示連接 ，交 于點 （1） 的取值圍為  ，   ；（2）如圖3，將 沿線段 進行翻折，與 的延長線交于點 ，連接 當(dāng) 為何值時，四邊形 為菱形?并求出此時點 的運動時間 ；（3）如圖4，當(dāng)點 出發(fā) 后， 邊上另一點 從 點出發(fā)，沿 邊向點 以 的速度運動如果 ， 兩點