第5章插值法3

1、第第5 5章章 插 值 法3基礎(chǔ)教學(xué)部數(shù)學(xué)教研室基礎(chǔ)教學(xué)部數(shù)學(xué)教研室 彭彭 曉曉 華華立體化教學(xué)資源系列立體化教學(xué)資源系列數(shù)值分析數(shù)值分析埃爾米特插值問(wèn)題的來(lái)源：埃爾米特插值問(wèn)題的來(lái)源：在某些實(shí)際問(wèn)題中，在某些實(shí)際問(wèn)題中，希望近似多項(xiàng)式能更好的密合原函數(shù)，即不但要希望近似多項(xiàng)式能更好的密合原函數(shù)，即不但要求插值函數(shù)在節(jié)點(diǎn)上等于已知函數(shù)值，而且還要求插值函數(shù)在節(jié)點(diǎn)上等于已知函數(shù)值，而且還要求其導(dǎo)數(shù)值相等求其導(dǎo)數(shù)值相等. .例如，飛機(jī)外形曲線，它由幾例如，飛機(jī)外形曲線，它由幾條不同的曲線銜接，此時(shí)要求銜接處足夠光滑條不同的曲線銜接，此時(shí)要求銜接處足夠光滑. .這種使插值函數(shù)和被插值函數(shù)密合程度更好

2、的插這種使插值函數(shù)和被插值函數(shù)密合程度更好的插值問(wèn)題，稱為埃爾米特插值（值問(wèn)題，稱為埃爾米特插值（Hermite Hermite InterpolationInterpolation）. .5.5 5.5 埃爾米特插值埃爾米特插值01naxxxb( ),( ),(0,1, )iiiiyf xmfxinix0 x1xnx)(iixfy 0y1yny)(iixfm0m1mnmHermiteHermite插值問(wèn)題的提法插值問(wèn)題的提法：上，上，即已知數(shù)據(jù)表如下即已知數(shù)據(jù)表如下只考慮滿足連續(xù)和一階光滑條件的只考慮滿足連續(xù)和一階光滑條件的HermiteHermite插值問(wèn)題插值問(wèn)題. .假設(shè)在節(jié)點(diǎn)假設(shè)在節(jié)

3、點(diǎn))()(12xHxHn1212221012)(nnnxcxcxccxH其形式為其形式為的多項(xiàng)式，記為的多項(xiàng)式，記為12 nnimxHyxHiiii, 1 , 0,)(,)(22 n 這里給出了這里給出了個(gè)條件，可唯一確定一個(gè)次數(shù)不超過(guò)個(gè)條件，可唯一確定一個(gè)次數(shù)不超過(guò)（5.125.12）)(xH求插值多項(xiàng)式求插值多項(xiàng)式，滿足條件，滿足條件)(12xHn)(12xHn)()()(1212xHxHxQnn12 n., 1 , 0, 0)(, 0)(nixQxQii), 1 , 0(nixxi)(xQ)(xQ22 n0)(xQ)()(1212xHxHnn5.5.1 5.5.1 埃爾米特插值多項(xiàng)式的存

4、在唯一性埃爾米特插值多項(xiàng)式的存在唯一性及及為次數(shù)不超過(guò)為次數(shù)不超過(guò)的多項(xiàng)式，且滿足條件的多項(xiàng)式，且滿足條件這說(shuō)明這說(shuō)明都是都是的二重零點(diǎn)，即的二重零點(diǎn)，即共有共有個(gè)零點(diǎn)，故個(gè)零點(diǎn)，故，即，即. .唯一性：滿足插值條件（唯一性：滿足插值條件（5.125.12）的插值多項(xiàng)式是唯一的）的插值多項(xiàng)式是唯一的. .證明：證明： 用反證法，假設(shè)用反證法，假設(shè)HermiteHermite插值問(wèn)題插值問(wèn)題(5.12)(5.12)的解，則的解，則都是都是21( )nHx)(12xHnnkkkkknmxyxxH012)()()()(),(xxkk), 1 , 0(nk12 n)(12xHn0)(, 0, 1)(i

5、kkiikxikikxikikxxkiikik, 0, 1)(, 0)(nik, 1 , 0,存在性：滿足前面所述條件的存在性：滿足前面所述條件的用拉格朗日插值基函數(shù)的方法尋求用拉格朗日插值基函數(shù)的方法尋求. .其中基函數(shù)其中基函數(shù)為待定的為待定的次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式. .為使為使基函數(shù)滿足性質(zhì)：基函數(shù)滿足性質(zhì)：， .，滿足插值條件，滿足插值條件，證明：證明：是存在的。是存在的。設(shè)設(shè)221122( )() ( ),( )() ( ),kkkkxa xb lxxa xb lxiiba ,0)(2)(, 1)(111kkkkkkkxlaxbxax)(21kkxlakkkkxxlxab)(21111)(

6、)()(21 )(2xlxlxxxkkkkk)()()(2xlxxxkkknkkkkkkkknxlmxxyxlxxxH0212)()()()(21)(令令其中其中由插值基函數(shù)的性質(zhì)確定由插值基函數(shù)的性質(zhì)確定. .顯然顯然所以，所以，即，即同理得同理得因此，因此，HermiteHermite插值多項(xiàng)式為插值多項(xiàng)式為 （5.135.13） , ,. . . . 返回三次埃爾米特插值22( ) , ,nf xCa b)(22xHn,ba210)22(12)()()!22()()(nnnxxxxxxnfxR),(bax5.5.2 5.5.2 埃爾米特插值余項(xiàng)埃爾米特插值余項(xiàng)是是其中其中且與且與有關(guān)有關(guān)

7、. .(5.12)(5.12) 的的HermiteHermite插值多項(xiàng)式，則其插值余項(xiàng)插值多項(xiàng)式，則其插值余項(xiàng)， （5.145.14）若若上滿足插值條件上滿足插值條件nxxx0niinxtxktHtft0212)()()()()(), 1 , 0( , 0)()(nixxii0)(x32 n)(xf)(22xHn)(t22 n)(t),(ba201212 )()()()()(niinnxxxkxHxfxR20)22( )()!22()(niinxxnf證明證明: :對(duì)于對(duì)于，作輔助函數(shù)，作輔助函數(shù)易知易知且且( (有有個(gè)零點(diǎn)）個(gè)零點(diǎn)）. .的假設(shè)及的假設(shè)及知，知，具有具有階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù). .對(duì)

8、對(duì)反復(fù)應(yīng)用反復(fù)應(yīng)用RolleRolle定理，可知在定理，可知在少有一點(diǎn)少有一點(diǎn)，使，使因此，因此，.，而由對(duì)而由對(duì)內(nèi)至內(nèi)至，0)!22()()()()22()22(nxkfnn1n110011003)()()()()(mxmxyxyxxH20101010( )(12)() ,xxxxxxxxx220100111010( )()() ,( )()() .xxxxxxxxxxxxxx),(,)()(! 4)()(102120)4(3xxxxxxfxR5.5.3 5.5.3 三次埃爾米特插值多項(xiàng)式三次埃爾米特插值多項(xiàng)式的情形的情形. .此時(shí)，插值多項(xiàng)式為此時(shí)，插值多項(xiàng)式為其中，插值基函數(shù)為其中，插值

9、基函數(shù)為插值余項(xiàng)為插值余項(xiàng)為作為帶導(dǎo)數(shù)插值多項(xiàng)式（作為帶導(dǎo)數(shù)插值多項(xiàng)式（5.135.13）的重要特例是）的重要特例是，（，（5.155.15）20111010( )(12)() ,xxxxxxxxx返回返回23xysin)5 . 0(3H例例8 8 已知已知HermiteHermite插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式，并估計(jì)誤差，并估計(jì)誤差. .01010.84150.5403ix)(ixf)(ixf 在節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)值如表，求三次在節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)值如表，求三次,)1(21 )(,) 1)(21 ()(2120 xxxxxx,) 1()(,) 1()(2120 xxxxxx解解 1 1） 由三次由

10、三次HermiteHermite插值公式插值公式(5.15)(5.15)，1100113)()()()(mxmxyxxH5403. 0) 1() 1(8415. 0)23(222xxxxxx5 . 0 x47821. 0)5 . 0(3H2120)4(3)()(! 4)()(xxxxfxR8415. 01sinsinmax)(max)4(4xxfM0022. 0) 15 . 0()05 . 0(! 48415. 0)5 . 0(223R所以，所以，當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，2 2） 估計(jì)誤差估計(jì)誤差. .根據(jù)插值余項(xiàng)公式根據(jù)插值余項(xiàng)公式，因此，因此，. . .， )(xfy )(3xP1133)(),2 ,

11、 1 , 0( ,)(fxPiyxPiix0 x1x2x)(xf0y1y2y)(xf 1f )(3xP)(3xP),(),(),(221100yxyxyx)(,)(,)(102100100 xxxxxxxfxxxxfxf的函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)值如表，的函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)值如表，滿足，滿足解解 1 1）求插值多項(xiàng)式）求插值多項(xiàng)式. .由于由于通過(guò)點(diǎn)通過(guò)點(diǎn)而通過(guò)這三點(diǎn)的二次插值多項(xiàng)式為而通過(guò)這三點(diǎn)的二次插值多項(xiàng)式為例例9 9 已知已知求次數(shù)不超過(guò)求次數(shù)不超過(guò)3 3的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式，于是，于是，3001001201( )(),(), ()()P xf xf x xxxf x x xxxxx)()(210 xxxx

12、xxAA113)(fxP)()(,)(210101210101xxxxxxxxxfxxfxfA其中，其中，為待定系數(shù)，可由條件為待定系數(shù)，可由條件來(lái)確定，通過(guò)計(jì)算可得來(lái)確定，通過(guò)計(jì)算可得. .，3( )( )( )R xf xP x)(xf,20 xx210,xxx)(xR1x)()()()(2210 xxxxxxxkxR)(xk,20 xxx2 , 1 , 0, ixxi)()()()()()(22103xtxtxtxktPtft2 2）求插值余項(xiàng)）求插值余項(xiàng)設(shè)設(shè)在在上具有連續(xù)的上具有連續(xù)的4 4階導(dǎo)數(shù)，由插值條件，階導(dǎo)數(shù)，由插值條件，為為的零點(diǎn)且的零點(diǎn)且為二重零點(diǎn)，于是為二重零點(diǎn)，于是其中

13、，其中，為待定函數(shù)為待定函數(shù). .，且，且構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造函數(shù)，. .，不妨設(shè)不妨設(shè)，0)(, 0)(, 0)(, 0)(210 xxxx1x)(t)(t,20 xx)()4(t,20 xx0! 4)()()()4()4(xkf! 4)()()4(fxk)()(! 4)()()()(2210)4(3xxxxxxfxPxfxR),(20 xxx顯然，顯然，且，且為為的二重零點(diǎn)（共的二重零點(diǎn)（共5 5個(gè)零點(diǎn)），反復(fù)應(yīng)用個(gè)零點(diǎn)），反復(fù)應(yīng)用RolleRolle定理可知，定理可知，在在內(nèi)至少有內(nèi)至少有4 4個(gè)互異的零點(diǎn)，個(gè)互異的零點(diǎn)，在在內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使，使所以所以于是，余項(xiàng)公式為于是，余項(xiàng)

14、公式為其中其中，且依賴于，且依賴于. .，. .，,ba)(xLn)(xf)(xLnn)(xf,ba)()(1)(0)1(1)1(0)(0,nnnnxxxxxxx,)(baCxfn)(xLnn)(xf5.6 5.6 分段低次插值分段低次插值 上給出的節(jié)點(diǎn)做插值多項(xiàng)式上給出的節(jié)點(diǎn)做插值多項(xiàng)式近似近似，一般總認(rèn)為，一般總認(rèn)為的次數(shù)的次數(shù)越高逼近越高逼近的精度越好，但的精度越好，但上任意給定的三角陣上任意給定的三角陣總存在總存在由三角陣中的任一行元素的插由三角陣中的任一行元素的插插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，不能一致收斂到時(shí)，不能一致收斂到5.6.1 5.6.1 高次插值的病態(tài)性質(zhì)高次插值的病態(tài)性

15、質(zhì)根據(jù)區(qū)間根據(jù)區(qū)間1 1、FaberFaber于于19731973年發(fā)現(xiàn)，對(duì)年發(fā)現(xiàn)，對(duì)實(shí)際上并非如此實(shí)際上并非如此. .，使得，使得值節(jié)點(diǎn)所生成的值節(jié)點(diǎn)所生成的階階LagrangeLagrange( )f x)(xf)1 (1)(2xxfn1nnkkknyxlxL0)()(n)(xLn63. 3ccx )()(limxfxLnncx )(xLn2020世紀(jì)初，龍格世紀(jì)初，龍格(Runge)(Runge)發(fā)現(xiàn)，甚至當(dāng)發(fā)現(xiàn)，甚至當(dāng)為解析函數(shù)時(shí)，等距節(jié)點(diǎn)的為解析函數(shù)時(shí)，等距節(jié)點(diǎn)的LagrangeLagrange插值也不一定收斂到插值也不一定收斂到，這種現(xiàn)象稱為，這種現(xiàn)象稱為龍格現(xiàn)象龍格現(xiàn)象. .例如

16、，函數(shù)例如，函數(shù)在在-5,5-5,5上各階導(dǎo)數(shù)均存在上各階導(dǎo)數(shù)均存在. .將將-5,5-5,5區(qū)間區(qū)間等分等分, ,取取個(gè)等距節(jié)點(diǎn)，構(gòu)造個(gè)等距節(jié)點(diǎn)，構(gòu)造LagrangeLagrange插值插值可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)時(shí)RungeRunge證明了，存在一個(gè)常數(shù)證明了，存在一個(gè)常數(shù)，使得當(dāng)，使得當(dāng)時(shí)，時(shí)，而當(dāng)，而當(dāng)時(shí)時(shí)發(fā)散發(fā)散. . .在在-5,5-5,5上不收斂上不收斂. .2 2、龍格、龍格(Runge)(Runge)現(xiàn)象現(xiàn)象10n)10, 1 , 0(5kkxk)1 (12xy)(10 xLy 下面取下面取，以，以根據(jù)計(jì)算畫出根據(jù)計(jì)算畫出及及的圖形，見圖的圖形，見圖5-5.5-5.為節(jié)點(diǎn)，

17、為節(jié)點(diǎn)，在在-5,5-5,5上上-5-4-3-2-1012345-0.500.511.52- 1/(1+x2)- L10(x)-5-4-3-2-101234500.10.20.30.40.50.60.70.80.91原 函 數(shù)分 段 線 性 插 值圖圖5-5 5-5 龍格現(xiàn)象示意圖龍格現(xiàn)象示意圖圖圖5-6 5-6 分段線性插值分段線性插值5x)(10 xL)1 (1)(2xxf)(xLn)(xf)1 (12xy5, 4, 3, 2, 1, 0 x)(10 xL)(xf從圖從圖5-55-5看到，在看到，在附近附近與與偏離很遠(yuǎn)，逼近效果很差偏離很遠(yuǎn)，逼近效果很差. .這說(shuō)明用高次插值多項(xiàng)式這說(shuō)明用

18、高次插值多項(xiàng)式近似近似分段低次插值分段低次插值. .從本例看到，如果將從本例看到，如果將在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)處用折線連起來(lái)（見圖處用折線連起來(lái)（見圖5-65-6）顯然比）顯然比逼近逼近低次插值低次插值(Piecewise- Polynomial Approximation)(Piecewise- Polynomial Approximation)的的出發(fā)點(diǎn)出發(fā)點(diǎn). .效果并不好，因而通常不用高次插值，而用效果并不好，因而通常不用高次插值，而用好得多好得多. .這正是我們討論分段這正是我們討論分段,bakxbxxxxan210), 1 , 0)(nkxfykk)(xIh(),0,1, ,hkkIxy k

19、n)(xIh,1kkxx5.6.2 5.6.2 分段低次插值方法分段低次插值方法上各節(jié)點(diǎn)上各節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值，即處的函數(shù)值，即，求插值多項(xiàng)式求插值多項(xiàng)式，滿足插值條件：，滿足插值條件：且且在小區(qū)間在小區(qū)間上為低次多項(xiàng)式上為低次多項(xiàng)式. .設(shè)已知在區(qū)間設(shè)已知在區(qū)間，,1kkxx)(xIh1111)(kkkkkkkkhyxxxxyxxxxxI,1kkxxx1, 1 , 0nk一、分段線性插值一、分段線性插值. .上，上，為為其中其中，. .在每個(gè)小區(qū)間在每個(gè)小區(qū)間，,1kkxxx,1kkxx)(xIh12121)(21 ()()(21 ()(kkkkkkhyhxxhxxyhxxhxxxI12121)

20、()(kkkkkkmhxxxxmhxxxx,1kkxxxkkxxh11, 1 , 0nk二、分段三次二、分段三次HermiteHermite插值插值. .三次三次HermiteHermite插值多項(xiàng)式（插值多項(xiàng)式（5.155.15），在每個(gè)小區(qū)間在每個(gè)小區(qū)間上，上，為為其中其中，. .若在若在上，節(jié)點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)已知，上，節(jié)點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)已知，由兩點(diǎn)由兩點(diǎn)，fbaCxf ,)(1,ba在)(xIh), 1 , 0(nkxkMhxIxfxRh8)()()(2)()(lim0 xfxIhh,bax)(max,max1xfMxxhbxakkk ,1kkxx8)(2)(max)(max21)(2111

21、1kkkkxxxxxxxxMxxxxxfxRkkkk 5.6.3 5.6.3 分段低次插值余項(xiàng)分段低次插值余項(xiàng)上存在，上存在，是過(guò)節(jié)點(diǎn)是過(guò)節(jié)點(diǎn)的分段線性插值多項(xiàng)式，則的分段線性插值多項(xiàng)式，則且有且有，其中其中這是因?yàn)?，由線性插值的余項(xiàng)公式，在每個(gè)小區(qū)間這是因?yàn)?，由線性插值的余項(xiàng)公式，在每個(gè)小區(qū)間上，都有上，都有一、分段線性插值余項(xiàng)一、分段線性插值余項(xiàng)設(shè)設(shè)，. .，. .)()(lim0 xfxIhh因此，在因此，在上，上，且有，且有MhxIxfxRh8)()()(2,ba)(,)()4(3xfbaCxf)(xIh), 1 , 0(nkxk44384)()()(MhxIxfxRh)()(lim0

22、 xfxIhh,bax)(max,max)4(41xfMxxhbxakkk二、分段三次二、分段三次HermiteHermite插值的余項(xiàng)插值的余項(xiàng)存在，存在，是過(guò)節(jié)點(diǎn)是過(guò)節(jié)點(diǎn)的分段三次的分段三次HermiteHermite插值多項(xiàng)式，則插值多項(xiàng)式，則且有：且有：，其中其中設(shè)設(shè), ,. .,1kkxx212)4()()(! 4)()(kkxxxxfxR16)()()(max41212kkkkkxxxxxx)(max384)()()4(4411xfxxxRkkxxxk,ba44384)()()(MhxIxfxRh)()(lim0 xfxIhh這是因?yàn)?，由這是因?yàn)椋蒆ermiteHermite插值

23、的余項(xiàng)公式，在每個(gè)小區(qū)間插值的余項(xiàng)公式，在每個(gè)小區(qū)間上，總有上，總有而由于而由于所以所以因此在因此在上，上，且有且有. .，. .，,babxxxan10:kx(),kkyf x), 1 , 0(nk)(xS(),0,1, ;kkS xy kn1,kkxx0,1,1kn( )S x230123( );S xaa xa xa x2( ) , .S xC a b)(xSkx)(xS)(xS5.7.1 5.7.1 三次樣條插值三次樣條插值上有一劃分上有一劃分給定節(jié)點(diǎn)給定節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值為處的函數(shù)值為若存在函數(shù)若存在函數(shù)滿足滿足（2 2） 分段條件：在小區(qū)間分段條件：在小區(qū)間上，上，是三次代數(shù)多項(xiàng)式，即

24、是三次代數(shù)多項(xiàng)式，即（3 3） 光滑條件：光滑條件：則稱則稱為樣條節(jié)點(diǎn)為樣條節(jié)點(diǎn)上的上的三次樣條插值函數(shù)三次樣條插值函數(shù)，稱求，稱求的方法為的方法為三次樣條插值方法三次樣條插值方法. .稱求稱求的問(wèn)題為的問(wèn)題為樣條插值樣條插值設(shè)設(shè)，（1 1） 插值條件：插值條件：?jiǎn)栴}問(wèn)題. .5.7 5.7 三次樣條插值三次樣條插值( )S x,1kkxx,bann4n42( ) , ,S xC a b)(xS) 1, 2 , 1(nkxk(0)(0),kkS xS x(0)(0),kkS xS x)0()0( kkxSxS33 n)(xS1n24 n條件分析：條件分析：在小區(qū)間在小區(qū)間因此要確定因此要確定4

25、 4個(gè)待定系數(shù)，個(gè)待定系數(shù)，上共有上共有應(yīng)確定應(yīng)確定個(gè)參數(shù)，所以共需要個(gè)參數(shù)，所以共需要在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)處應(yīng)處應(yīng)滿滿足足，共有，共有（2 2）滿足的滿足的個(gè)插值條件，共有個(gè)插值條件，共有個(gè)條件個(gè)條件. .個(gè)條件；個(gè)條件；上是三次多項(xiàng)式，上是三次多項(xiàng)式，個(gè)小區(qū)間，個(gè)小區(qū)間，（1 1）根據(jù)光滑條件）根據(jù)光滑條件個(gè)條件；個(gè)條件；nnfxSfxS)(,)(00nnfxSfxS )(,)(000)()(0 nxSxS 0,mmnSxSx2 , 1 , 0m（3 3）邊界條件：）邊界條件：第二種邊界條件，即已知兩端的二階導(dǎo)數(shù)值，第二種邊界條件，即已知兩端的二階導(dǎo)數(shù)值，其特殊情況為自然邊界：其特殊情況為自然邊界

26、：第三種邊界條件，即周期特性第三種邊界條件，即周期特性三種邊界條件都有它們的實(shí)際背景和力學(xué)意義三種邊界條件都有它們的實(shí)際背景和力學(xué)意義. .滿足滿足給定邊界條件的三次樣條插值函數(shù)是存在且唯一的給定邊界條件的三次樣條插值函數(shù)是存在且唯一的. . 第一種邊界條件，即已知兩端的一階導(dǎo)數(shù)值，第一種邊界條件，即已知兩端的一階導(dǎo)數(shù)值，)(xf( 1)1,(0)0,ff)(xf2n.1 , 0,)(,0 , 1,)()(11213110020300 xdxcxbxaxsxdxcxbxaxsxS1) 1 (, 0)0(, 0)0(, 1) 1(1100ssss. 1, 0, 0, 111110000cbadd

27、cba)0()0(),0()0(1010ssss 1010,bbcc例例1010 己知函數(shù)己知函數(shù)在三個(gè)點(diǎn)處的值為在三個(gè)點(diǎn)處的值為在區(qū)間在區(qū)間-1,1-1,1上，求上，求的三次樣條插值多項(xiàng)式的三次樣條插值多項(xiàng)式. .區(qū)間區(qū)間-1,1-1,1分成兩分成兩由插值和函數(shù)連續(xù)條件由插值和函數(shù)連續(xù)條件得得由內(nèi)節(jié)點(diǎn)處一、二階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)條件由內(nèi)節(jié)點(diǎn)處一、二階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)條件得得解解 利用待定系數(shù)法利用待定系數(shù)法. .這里這里(1)1f在自然邊界條件下在自然邊界條件下個(gè)子區(qū)間，故設(shè)個(gè)子區(qū)間，故設(shè)0) 1 (, 0) 1(10 ss026 , 0261100baba0101010113,0,22aabbccdd

28、.1 , 0,2321,0 , 1,2321)(2323xxxxxxxS最后由自然邊界條件最后由自然邊界條件，得，得聯(lián)立各方程，解關(guān)于待定系數(shù)的線性方程組，得聯(lián)立各方程，解關(guān)于待定系數(shù)的線性方程組，得因此，三次樣條插值問(wèn)題的解為因此，三次樣條插值問(wèn)題的解為n4n1n(),kkSxMkMkx)(xSkxkM)(xS5.7.2 5.7.2 三彎矩法三彎矩法階的線性方程組，當(dāng)階的線性方程組，當(dāng)較大時(shí)工作量相當(dāng)大較大時(shí)工作量相當(dāng)大. .下面介紹的三彎矩法只要解一個(gè)不超過(guò)下面介紹的三彎矩法只要解一個(gè)不超過(guò)階的線性方程組，而且力學(xué)含義明確階的線性方程組，而且力學(xué)含義明確. .記記在力學(xué)上解釋為細(xì)梁在在力學(xué)

29、上解釋為細(xì)梁在彎矩，稱為彎矩，稱為在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)處的處的彎矩彎矩. .三彎矩法就是由三彎矩法就是由待定而構(gòu)造出待定而構(gòu)造出的表達(dá)式的表達(dá)式. .例例1010的待定系數(shù)法要解一個(gè)的待定系數(shù)法要解一個(gè)截面處的截面處的)(xS1,kkxx) 1, 1 , 0(nk)(xS ,1kkxx,)(111 kkkkkkkkxxxhxxMhxxMxSkkkxxh1112212)(2)()(CMhxxMhxxxSkkkkkk2113316)(6)()(CxCMhxxMhxxxSkkkkkk因?yàn)橐驗(yàn)樵诿總€(gè)小區(qū)間在每個(gè)小區(qū)間上是三次多項(xiàng)式，故上是三次多項(xiàng)式，故在在函數(shù)，用函數(shù)，用LagrangeLagrange插值公

30、式得到插值公式得到其中其中. .對(duì)對(duì)(5.16)(5.16)式積分兩次，得到式積分兩次，得到， （5.175.17）. . （5.185.18）上是線性上是線性， （5.165.16）11)(,)(kkkkyxSyxS21,CC)(6111kkkkkkMMhhyyCkkkkkkkkkkkkxMhxMhxhyxhyC111126621,CC)(62)(2)()(111221kkkkkkkkkkkkMMhhyyMhxxMhxxxSkkkkkkkkkkkhxxhMyMhxxMhxxxS121331)6(6)(6)()(. 1, 1 , 0,)6(1211nkxxxhxxhMykkkkkkk利用插值條

31、件利用插值條件可求出常數(shù)可求出常數(shù)將將代回（代回（5.175.17）（）（5.185.18）式中，得到）式中，得到（5.195.19） （5.205.20）kM), 1 , 0(nkkM)0()0(kkxSxSkkkkkkkkkkkkkkhyyMhMhhyyMhMh111111163631, 2 , 1211nkdMMMkkkkkk,6,11111kkkkkkkkkkkkxxxfdhhhhhh這里這里未知未知. .為確定為確定，利用連續(xù)條件，利用連續(xù)條件，有，有整理成整理成 其中其中.（5.215.21）1n1n01,nMMMnnfxSfxS)(,)(00).,)(62),(,(6211101

32、0010nnnnnnxxfxfhMMxfxxfhMM), 1 , 0(nkMk這這個(gè)方程中含有個(gè)方程中含有個(gè)未知數(shù)個(gè)未知數(shù)需利用邊界條件補(bǔ)充兩個(gè)方程，才能求解需利用邊界條件補(bǔ)充兩個(gè)方程，才能求解. .式可導(dǎo)出兩個(gè)方程式可導(dǎo)出兩個(gè)方程將將(5.21)(5.21)、(5.22)(5.22)式寫成矩陣形式，為三對(duì)角方程組（式寫成矩陣形式，為三對(duì)角方程組（5.235.23）, ,這是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的，因此存在唯一解，且可以用追趕法解出這是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的，因此存在唯一解，且可以用追趕法解出（1 1） 對(duì)第一種邊界條件對(duì)第一種邊界條件，由（，由（5.195.19）（5.225.22）),(6),(62102

33、0212111101001011211nnnnnnnnnxxffhddfxxfhMMM（5.235.23）nnfxSfxS )(,)(001k1121102.MMdM1 nknnnnnnMdMM111212（2 2） 對(duì)第二種邊界條件對(duì)第二種邊界條件，由，由得到得到由（由（5.215.21）式?。┦饺。玫剑玫?5.21)(5.21)式取式取121,nMMMnnnnnnnnnMdddMdMMMM1122011122112222120222從而得到求從而得到求的三對(duì)角方程組的三對(duì)角方程組這個(gè)方程組是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的，因此可以由追趕法獲得唯一解這個(gè)方程組是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的，因此可以由追趕法獲得唯一解

34、. .(5.24).(5.24)0,nMMnnnnndMMM21101011101001,1,6.nnnnnnnnnnhhf xxf xxdhhhhhh 121,nMMMnnnnnnnnnMdddMdMMMM1122011122112222120222（3 3） 對(duì)第三種邊界條件，可得對(duì)第三種邊界條件，可得，其中，其中，從而得到求從而得到求的三對(duì)角方程組的三對(duì)角方程組.5.255.25）)(,)(4xSbaCxf)(xfy 2 , 1 , 0,)(max)()(max4)4()()(ihxfCxSxfibxaiiibxa101max,0,1, ,kkkkk nhh hxxkn 0125/384

35、,1/24,3/8.CCC5.7.3 5.7.3 三次樣條插值的誤差估計(jì)與收斂性三次樣條插值的誤差估計(jì)與收斂性是使是使第二種邊界條件的唯一的三次樣條插值函數(shù)，則第二種邊界條件的唯一的三次樣條插值函數(shù)，則其中其中 三次樣條函數(shù)的收斂性與誤差估計(jì)比較復(fù)雜，這里三次樣條函數(shù)的收斂性與誤差估計(jì)比較復(fù)雜，這里不加證明地給出一個(gè)主要結(jié)果不加證明地給出一個(gè)主要結(jié)果. .設(shè)設(shè)滿足第一種或滿足第一種或（5.265.26）)(xS0h( )S x 、 ( )S x)(xS ,ba( )f x 、)(xf ( ).fx)(xS)(xS)(xS 【注注】 公式（公式（5.265.26）不但給出了三次樣條插值函數(shù)）不但

36、給出了三次樣條插值函數(shù)的誤差估計(jì)，且當(dāng)?shù)恼`差估計(jì)，且當(dāng)時(shí)，時(shí)， 及及于于上均分別一致收斂于上均分別一致收斂于及及由誤差估計(jì)式（由誤差估計(jì)式（5.265.26）可知，）可知，收斂最快，收斂最快，次之，次之， 如果在實(shí)際應(yīng)用中不需要規(guī)定內(nèi)節(jié)點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)如果在實(shí)際應(yīng)用中不需要規(guī)定內(nèi)節(jié)點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)值，那么使用三次樣條插值比分段三次埃爾米特插值的值，那么使用三次樣條插值比分段三次埃爾米特插值的效果更好效果更好. .最慢最慢. .x-1.5012y0.125-119)(xfy )(xS14)2(,75. 0)5 . 1(SSkkkd,kM36186 . 6621005 . 025 . 0004 . 026 . 000123210MMMM例例1111 已知函數(shù)已知函數(shù)的函數(shù)值如下表的函數(shù)值如下表. .在區(qū)間在區(qū)間，使它滿足，使它滿足解解 1 1） 根據(jù)給定數(shù)據(jù)和邊界條件計(jì)算根據(jù)給定數(shù)據(jù)和邊