離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)

1、9 離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)在這一章中，我們首先考慮離散時(shí)間信號(hào)，或者，更簡單，離散信號(hào)。一個(gè)離散時(shí)間信號(hào)被定義在一個(gè)確切的時(shí)間點(diǎn)。我們定義一個(gè)離散時(shí)間信號(hào)為xn。其中地理變了n只可以去證書的值。在本張杰的第二個(gè)問題，我們考慮離散時(shí)間系統(tǒng)，或者，更簡單，離散系統(tǒng)。離散時(shí)間系統(tǒng)是指所有信號(hào)在時(shí)間上都是離散的。這章緊跟著第二章的概要。如上所述，一個(gè)離散信號(hào)只被定義為在離散的時(shí)間。例如，假設(shè)一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)f(t)被一個(gè)數(shù)字電腦處理。這個(gè)操作成為數(shù)字信號(hào)處理DSP。因?yàn)橛?jì)算機(jī)處理一個(gè)數(shù)字，連續(xù)時(shí)間信號(hào)必須被轉(zhuǎn)換成一個(gè)序列。這種轉(zhuǎn)換過程叫做采樣。如果信號(hào)是按時(shí)間t的增量采樣的，數(shù)字序列f(nT),n=,-2

2、,-1,0,1,2,結(jié)果。時(shí)間增量T被稱為采樣周期。（這里與接下來的章節(jié)有一點(diǎn)混亂的危險(xiǎn)，符號(hào)T被用于表示采樣周期，而在章節(jié)5和6不是這樣.）圖9.1(a)所示是采樣過程，其中每個(gè)樣本值由通過一條垂線端點(diǎn)表示。通常被用于采樣的硬件在標(biāo)9.1(b)中。正如第一章所述，模數(shù)轉(zhuǎn)換器（A/D或ADC）是一個(gè)電子電路，將每個(gè)樣品取樣電壓信號(hào)并將其轉(zhuǎn)換成一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，二進(jìn)制數(shù)字可以被發(fā)送到數(shù)字計(jì)算機(jī)來被處理。因此，一個(gè)A/D勇于生成和傳輸數(shù)列給計(jì)算機(jī)。取樣時(shí)間是由計(jì)算機(jī)的定時(shí)脈沖決定。一個(gè)信息是關(guān)于符號(hào)整齊的。符號(hào)f（t）表示一個(gè)連續(xù)信號(hào)。符號(hào)f(nT)表示在f(t)值在t=nT。符號(hào)fn表示一個(gè)時(shí)域離散

3、信號(hào)，只被定義在整數(shù)。圓括號(hào)表示連續(xù)時(shí)間；括號(hào)表示離散時(shí)間。然而，這個(gè)符號(hào)不是萬能的；他在這里是用來區(qū)分f(nT)和fn.如果fn是有f(t)間隔T秒采樣而得，然后f(nT)=f(t)|t=nT還有fn=f(t)|t=nTf(t)|t=n （9.1）公式9.1(c)闡述了數(shù)字信號(hào)處理的整個(gè)系統(tǒng)。將時(shí)域連續(xù)信號(hào)f(t) 采樣，得到時(shí)域離散信號(hào)f(nT)=fn；處理器輸出的信號(hào)是gn；f(t)定義在所有的時(shí)間，gn僅被定義在n個(gè)整數(shù)；例如，g1.2根本不存在。一個(gè)時(shí)域離散信號(hào)xn可以作為一個(gè)幅度連續(xù)的信號(hào)，他的振幅可以是任意值-<xn< 。第二類時(shí)域離散信號(hào)是一種離散復(fù)讀信號(hào)，其中xn

4、只能取被定義的幅度。一個(gè)幅度離散時(shí)間離散的信號(hào)也被稱作數(shù)字信號(hào)。一個(gè)復(fù)讀離散時(shí)間離散信號(hào)的例子是一個(gè)數(shù)模轉(zhuǎn)換器的輸出。（見表1.19）例如，如果數(shù)模轉(zhuǎn)換器輸出8位二進(jìn)制，輸出信號(hào)幅度只能為28=256個(gè)不同的值。幅度離散時(shí)域離散信號(hào)的第二個(gè)例子是任何一個(gè)在數(shù)字計(jì)算機(jī)內(nèi)部的信號(hào)。總之，一個(gè)時(shí)間離散信號(hào)就是一個(gè)數(shù)字序列。序列通常被表示為fn，這個(gè)符號(hào)代表序列,f-2,f-1,f0,f1,f2,我們通常認(rèn)為fn，其中n是一個(gè)整數(shù)，沒有定義的。一些工程師對(duì)時(shí)域離散信號(hào)感興趣的原因有以下幾個(gè)：1. 如果我們使用數(shù)字信號(hào)處理采樣是必要的，這比模擬信號(hào)處理更有通用性。2. 許多通信系統(tǒng)出于各樣的原因被設(shè)計(jì)成

5、依離散時(shí)間信號(hào)為基礎(chǔ)的。3. 采樣一個(gè)信號(hào)允許我們存儲(chǔ)信號(hào)到獨(dú)立存儲(chǔ)。4. 某些傳感器的輸出是測(cè)量物理變了的離散時(shí)間變量。5. 自動(dòng)控制的物理系統(tǒng)需要數(shù)字計(jì)算機(jī)來實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的控制策略?？刂菩盘?hào)源于計(jì)算機(jī)，是時(shí)域離散的。6. 許多消費(fèi)品例如CD，DVD，數(shù)碼相機(jī)還有MP3播放器都是使用數(shù)字信號(hào)的。9.1 時(shí)域離散信號(hào)與系統(tǒng)在這一部分中，我們介紹了時(shí)域離散信號(hào)的例子。我們用數(shù)值積分為例。加入我們希望一個(gè)電壓信號(hào)，x(t)，使用一個(gè)數(shù)字計(jì)算機(jī)。由數(shù)字計(jì)算機(jī)集成需要我們用一個(gè)數(shù)值算法。在一半情況下，數(shù)值算法是基于近似一個(gè)信號(hào)與一個(gè)位置積分和一個(gè)信號(hào)有一個(gè)已知積分。因此，所有的集成算法在本身是近似。我們使

6、用歐拉法則(在章節(jié)1.3中討論過的)，在圖9.1中描繪的。歐拉規(guī)則估算曲線x(t)下的面積由顯示的矩形區(qū)域的和表示。在圖中步長H（每個(gè)矩形的寬）被稱為數(shù)值積分增量。該算法的實(shí)施要求x(t)在每H秒被采樣，結(jié)果為數(shù)列x(nH)，n為整數(shù)。讓y(t)作為下面x(t)的積分：y(t)=0txd. (9.2)x(t)的積分從t=0到t=nH在圖9.2中表示為可積的，對(duì)于t=0到t=(n-1)H加上積分(n-1)H到nH。因此，在公式(9.2)中，yt|t-nH=ynH=0nHxd =0(n-1)Hxd+(n-1)HnHxd yn-1H+Hxn-1H. (9.3)忽略鎖設(shè)計(jì)的近似，我們把方程表示為ynH

7、=yn-1H+Hxn-1H. (9.4)然而，y(nH)只是x(t)在t=nH時(shí)的一個(gè)近似的積分。以前討論的時(shí)域離散信號(hào)中的符號(hào)，(9.4)被解釋為yn=yn-1+Hxn-1.(9.5)這種類型的方程叫做差分方程。一般的n階常系數(shù)線性差分方程的形式為yn=b1yn-1+b2yn-2+bNyn-N+a0xn+a1xn-1+aNxn-N,(9.6)其中常系數(shù)為ai和bi是常數(shù)，i=1,2,N。把n替換為(n+N)，我們也可以把差分方程表達(dá)為yn+N=b1yn+N-1+b2yn+N-2+bNyn+a0xn+N+a1xn+N-1+aNxn, (9.7)(9.6)和(9.7)的格式被用于指定的差分方程。

8、在本章節(jié)，我們考慮的時(shí)域離散信號(hào)是在(9.6)和(9.7)中xn和yn的類型還有差分方程描述的離散系統(tǒng)。但是，我們不限制差分方程是否為線性。9.2 時(shí)域離散信號(hào)的變換在本節(jié)中，我們講研究對(duì)于時(shí)域離散信號(hào)xn的6種變換。其中3個(gè)變換是關(guān)于獨(dú)立變量n和其他3個(gè)獨(dú)立變量x。對(duì)于離散信號(hào)變化的命名，我們繼續(xù)使用術(shù)語離散時(shí)間，或者單時(shí)間點(diǎn)，對(duì)于離散增量變了n，由于通常，我們考慮到采樣信號(hào)。對(duì)于采樣信號(hào)，我們用n來表示時(shí)間t=nT，T為采樣周期。時(shí)間變換首先，我們考慮3次變換。在這些變換中，為了更清晰理解，我們用m來表示原始信號(hào)中的時(shí)間，用n來表示信號(hào)變換后的離散時(shí)間。時(shí)間反轉(zhuǎn)對(duì)于時(shí)間反轉(zhuǎn)信號(hào)xm，我們用

9、-n來取代獨(dú)立變量m。這樣，我們得到y(tǒng)n=xm|m=-n=x-n,(9.20)其中yn表示變換后的信號(hào)。這個(gè)操作可以得到xm關(guān)于坐標(biāo)系垂直軸的鏡像效果。在第十章中我們將看到，時(shí)間反轉(zhuǎn)的一個(gè)應(yīng)用是在計(jì)算某些系統(tǒng)的響應(yīng)。時(shí)間標(biāo)度給定一個(gè)信號(hào)xn，時(shí)間縮放版本的這個(gè)信號(hào)為yn=xm|m=an=xan,(9.21)這里我們只考慮在a=k或者a=1/k的情況下（k的值為整數(shù)）。為了看起來更清晰，這里在此把原始信號(hào)的時(shí)間變量替換為m。振幅變換接下來我們考慮關(guān)于振幅的3個(gè)變換。振幅變換也沿用與時(shí)間變換的相同的規(guī)則。三種振幅變換的基本形式為yn=Axn+B，（9.24）其中A和B是常數(shù)，不一定是整數(shù)，例如：y

10、n=-3.1xn-5.75,值A(chǔ)=-3.1產(chǎn)生振幅反轉(zhuǎn)（因?yàn)榉?hào)為負(fù)）還有幅度縮放（A=3.1），還有值B=-5.75給出了信號(hào)的振幅變化的直流電平移位（平均值）?，F(xiàn)在幅度縮放的一個(gè)例子已經(jīng)給出了。9.3 時(shí)域離散信號(hào)的特征在2.2章節(jié)中，我們定義了時(shí)域連續(xù)信號(hào)的一些有用的特性。現(xiàn)在我們考慮時(shí)域離散信號(hào)的相同的特征。奇偶信號(hào)在本節(jié)中，我們定義了奇偶信號(hào)（函數(shù)）。如果一個(gè)時(shí)域離散信號(hào)xen是偶信號(hào)的話xen= xe-n（9.25）如果xon是奇信號(hào)的話xon=- xo-n（9.26）任何時(shí)域離散信號(hào)xn都可以表示為一個(gè)奇信號(hào)與偶信號(hào)的總和：xn=xen+xon（9.27）為了證明這一點(diǎn)，我們用-

11、n來替代變量nx-n=xe-n+xo-n=xen-xon （9.28）將式子（9.27）與式子（9.28）關(guān)于xn的部分相加xen=12xn+x-n.（9.29）將式子（9.27）與式子（9.28）關(guān)于xn的部分相減xon=12xn-x-n.（9.30）這兩個(gè)方程通常用來尋找一個(gè)時(shí)域離散信號(hào)的奇部分和偶部分。記住公式（9.29）和（9.30）還有（9.27）。一個(gè)時(shí)域離散信號(hào)的平均值是有下面這個(gè)公式得來：Ax=limN12N+1k=-NNxk.（9.31）和時(shí)域連續(xù)信號(hào)的情況一樣，一個(gè)時(shí)域離散信號(hào)的平均值包含在偶部分，奇信號(hào)的平均值總是為零。（見習(xí)題9.11）奇偶信號(hào)有一下幾個(gè)特性：1. 兩個(gè)

12、偶信號(hào)的和是偶信號(hào)。2. 兩個(gè)奇信號(hào)的和是奇信號(hào)。3. 一個(gè)奇信號(hào)與一個(gè)偶信號(hào)的和既不是奇信號(hào)也不是偶信號(hào)。4. 兩個(gè)偶信號(hào)的乘積是偶信號(hào)。5. 兩個(gè)奇信號(hào)的乘積是偶信號(hào)。6. 一個(gè)奇信號(hào)與一個(gè)偶信號(hào)的乘積是奇信號(hào)。這些特性是很容易被證明的。（見習(xí)題9.12。）現(xiàn)在給出一個(gè)關(guān)于奇偶信號(hào)的例子。9.4 常見的時(shí)域離散信號(hào)在2.3節(jié)中，我們定義了一些常見的發(fā)生在系統(tǒng)瞬踢響應(yīng)的時(shí)域連續(xù)信號(hào)。在本部分中，我們將介紹等效的時(shí)域離散信號(hào)，這些信號(hào)可以出現(xiàn)在一定的離散系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)中。比如這個(gè)信號(hào)，正弦曲線，我們?cè)诘?.3節(jié)中提到過。例如，一個(gè)數(shù)字計(jì)算機(jī)可編程輸出一個(gè)離散正弦信號(hào)來產(chǎn)生可變頻率的聲音。離散正

13、弦信號(hào)傳輸?shù)接?jì)算機(jī)數(shù)字模擬轉(zhuǎn)換器（D/A），模數(shù)轉(zhuǎn)換器是一個(gè)電子電路，它可以把二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為一個(gè)時(shí)間連續(xù)的電壓信號(hào)。（見1.3章）然后這個(gè)電壓通過功率放大器到達(dá)揚(yáng)聲器。計(jì)算機(jī)定時(shí)芯片用來確定采樣周期T還有，音調(diào)的頻率。以我們現(xiàn)在使用一個(gè)系統(tǒng)為例，來介紹常見的時(shí)域離散信號(hào)。本裝置的例子是在數(shù)字計(jì)算機(jī)中的以為計(jì)算機(jī)或者內(nèi)存的位置。每隔T秒，我們改變儲(chǔ)存在設(shè)備的數(shù)量。然后一個(gè)不同的數(shù)字被轉(zhuǎn)換到設(shè)備然后被存儲(chǔ)下來。如果我們用xn來表示轉(zhuǎn)換到設(shè)備的數(shù)字，那么被轉(zhuǎn)移出的數(shù)字一定是xn-1。按這種方式使用的設(shè)備稱作一個(gè)理想時(shí)間延遲。長期的理想表明，數(shù)字不會(huì)有任何方式的改變，僅僅是被延遲。9.5 時(shí)域離散系統(tǒng)

14、在本節(jié)中，我們定義了時(shí)域離散系統(tǒng)的一些通用符號(hào)。記住，我們定義的所有離散時(shí)間系統(tǒng)的信號(hào)是時(shí)間離散的。這一部分緊跟著2.6節(jié)。我們開始通過重復(fù)定義一個(gè)在2.6節(jié)中出現(xiàn)的系統(tǒng)。系統(tǒng)：一個(gè)系統(tǒng)是一種因果關(guān)系存在的過程。我們的目的是找出系統(tǒng)輸入信號(hào)與系統(tǒng)輸出信號(hào)直接的關(guān)系。同城，我們指的是輸入信號(hào)和輸出信號(hào)，簡單些，輸入和輸出，這樣分別。在9.1節(jié)中描述的歐拉積分和差分方程是一個(gè)時(shí)間離散系統(tǒng)的例子。eq(9.5)yn=yn-1+Hxn-1.在這個(gè)方程中，xn是數(shù)字積分器的輸入信號(hào)，yn是輸出信號(hào)。一個(gè)數(shù)字控制系統(tǒng)是一個(gè)由數(shù)字計(jì)算機(jī)控制的系統(tǒng)，它沒有人類的干預(yù)。一個(gè)例子是商業(yè)飛機(jī)的自動(dòng)著陸系統(tǒng)。某些種類

15、的數(shù)字濾波器的基礎(chǔ)成分在數(shù)字控制系統(tǒng)被用于積分器。歐拉積分是被用于這些濾波器中。另一種流星的積分器是基于梯形規(guī)則。（見習(xí)題9.22）對(duì)于積分器（9.5），輸入信號(hào)是xn和輸出信號(hào)為yn。我們也可以把這個(gè)積分器轉(zhuǎn)化為：yn=Txn.（9.59）這個(gè)符號(hào)代表一個(gè)變換而非一個(gè)函數(shù)；就是說，T(xn)不是一個(gè)來替代xn和直接計(jì)算yn的數(shù)學(xué)函數(shù)。有關(guān)輸入xn和輸出yn的方程組被稱為一個(gè)數(shù)學(xué)模型，或者簡單來說，模型。給定輸入xn，就有對(duì)應(yīng)的解yn。時(shí)域離散系統(tǒng)的模型，通常是一組差分方程。正如前面所述，我們常常說到的系統(tǒng)的粗心。一般來說，當(dāng)我們使用文字系統(tǒng)，我們指的是一個(gè)物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，而不是物理系統(tǒng)本

16、身。這是在本書接下來常用的用法。如果我們指的是一個(gè)物理系統(tǒng)，如果有混亂情況出現(xiàn)我們將它稱為一個(gè)物理系統(tǒng)。9.6 時(shí)域離散系統(tǒng)的性質(zhì)在9.5章中，歐拉積分給出了離散時(shí)間系統(tǒng)的例子。在本書中，我們提出了時(shí)域離散系統(tǒng)的性能和特點(diǎn)。接下來，xn表示系統(tǒng)輸入，yn表示系統(tǒng)輸出。我們用這種符號(hào)來表示他們的關(guān)系。xnyn. （9.63）就像時(shí)域連續(xù)系統(tǒng)那樣，我們把這種關(guān)系比作xn產(chǎn)生yn。這和（9.63）關(guān)系式有相同的意義等式（9.59）yn=T(xn)這里給出的定義與在2.7章中對(duì)時(shí)域連續(xù)系統(tǒng)的定義相似。有記憶系統(tǒng)我們首先對(duì)有記憶系統(tǒng)一個(gè)定義：記憶一個(gè)有記憶的系統(tǒng)，它在n0時(shí)刻的輸出取決于輸入的值xn0。

17、否則，這個(gè)系統(tǒng)是無記憶的。對(duì)于一個(gè)離散信號(hào)xn，時(shí)間是由離散增量n表示。一個(gè)簡單的無記憶的時(shí)域離散系統(tǒng)的例子為：yn=5xn.一個(gè)無記憶系統(tǒng)也被叫做靜態(tài)系統(tǒng)。一個(gè)有記憶的系統(tǒng)也被乘坐一個(gè)動(dòng)態(tài)的系統(tǒng)。一個(gè)有記憶系統(tǒng)的例子是歐拉積分（9.5）：yn=yn-1+Hxn-1.由第9.1章還有（9.8）這個(gè)等式也可以被表達(dá)成：yn=Hk=-n=1xk.我們看到輸出是取決于輸入的過去的所有的值。第二個(gè)有記憶離散系統(tǒng)的例子是，他的輸出為輸出的最近兩個(gè)值的平均值。描述這個(gè)系統(tǒng)的差分方程為yn=12xn+xn-1.這個(gè)方程是平均濾波器；他是一個(gè)在電視畫面生成圖片時(shí)的應(yīng)用程序。（見參考文獻(xiàn)，章節(jié)1.3）第三個(gè)有記

18、憶離散系統(tǒng)的例子是，計(jì)算瓊斯工業(yè)指數(shù)在美國股市的20天的平均值。這個(gè)系統(tǒng)的差分方程為yn=120k=019xn-k.在這個(gè)等式中，xn是瓊斯指數(shù)今天的平均值，xn-1是瓊斯指數(shù)昨天的平均值，等等。而yn是最近20天的平均值。在數(shù)字計(jì)算機(jī)中實(shí)現(xiàn)該算法，延遲實(shí)現(xiàn)了19個(gè)記憶坐標(biāo)。方程（9.66）可以被認(rèn)作一個(gè)數(shù)字濾波器，他的輸出濾波為日平均。所有數(shù)字濾波的重要理論都可以用來確定這個(gè)系統(tǒng)的特性。例如，每日隨機(jī)波動(dòng)在20日平均值的作用是什么？如果每日平均值發(fā)生一個(gè)顯著的變化，那么有多少延遲在這個(gè)變化改變20日平均值之前？本章中的定義允許我們把系統(tǒng)分類，以便于能夠更好的回答這樣的問題。此外，離散傅立葉變換（本書12章中）將讓我們能夠確認(rèn)這樣的系統(tǒng)的特性。可逆性我們現(xiàn)在定義可逆性：如