直線圓的位置關系

1、普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學 人教版 高三新數(shù)學第一輪復習教案（講座14）直線、圓的位置關系一課標要求：1能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標；2探索并掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離；3能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關系；4能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題；5在平面解析幾何初步的學習過程中，體會用代數(shù)方法處理幾何問題的思想。二命題走向本講考察重點是直線間的平行和垂直的條件、與距離有關的問題、直線與圓的位置關系（特別是弦長問題），此類問題難度屬于中等，一般以選擇題的形式出現(xiàn)，有時在解析幾何中也會出現(xiàn)大題，多考察其幾何圖形的性質或方程

2、知識。預測2007年對本講的考察是：（1）一個選擇題或一個填空題，解答題多與其它知識聯(lián)合考察；（2）熱點問題是直線的位置關系、借助數(shù)形結合的思想處理直線與圓的位置關系，注重此種思想方法的考察也會是一個命題的方向；（3）本講的內容考察了學生的理解能力、邏輯思維能力、運算能力。三要點精講1直線l1與直線l2的的平行與垂直（1）若l1，l2均存在斜率且不重合：l1/l2 k1=k2；l1l2 k1k2=1。（2）若 若A1、A2、B1、B2都不為零。l1/l2；l1l2 A1A2+B1B2=0；l1與l2相交；l1與l2重合；注意：若A2或B2中含有字母，應注意討論字母=0與0的情況。兩條直線的交點

3、:兩條直線的交點的個數(shù)取決于這兩條直線的方程組成的方程組的解的個數(shù)。2 距離（1）兩點間距離：若，則特別地：軸，則、軸，則。（2）平行線間距離：若， 則：。注意點：x，y對應項系數(shù)應相等。（3）點到直線的距離：，則P到l的距離為：3直線與圓的位置關系有三種（1）若，；（2）；（3）。還可以利用直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組求解，通過解的個數(shù)來判斷：（1）當方程組有2個公共解時（直線與圓有2個交點），直線與圓相交；（2）當方程組有且只有1個公共解時（直線與圓只有1個交點），直線與圓相切；（3）當方程組沒有公共解時（直線與圓沒有交點），直線與圓相離；即：將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程，設它的

4、判別式為，圓心C到直線l的距離為d,則直線與圓的位置關系滿足以下關系：相切d=r0；相交d<r>0；相離d>r<0。4兩圓位置關系的判定方法設兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，。； 外離 外切 相交 內切 內含判斷兩個圓的位置關系也可以通過聯(lián)立方程組判斷公共解的個數(shù)來解決。四典例解析題型1：直線間的位置關系例1（1）（2006北京11）若三點 A（2，2），B（a，0），C（0，b）(ab0)共線，則, 的值等于 。（2）（2006上海文11）已知兩條直線若，則_ _。解析：（1）答案：；（2）2。點評：（1）三點共線問題借助斜率來解決，只需保證；（2）對

5、直線平行關系的判斷在一般式方程中注意系數(shù)為零的情況。例2（1）（2006福建文，1）已知兩條直線和互相垂直，則等于（ ）A2 B1 C0 D（2）（2006安徽理，7）若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（ ）A B C D解析：（1）答案為D；（2）與直線垂直的直線為，即在某一點的導數(shù)為4，而，所以在(1，1)處導數(shù)為4，此點的切線為，故選A。點評：直線間的垂直關系要充分利用好斜率互為負倒數(shù)的關系，同時兼顧到斜率為零和不存在兩種情況。題型2：距離問題例3（2002京皖春文，8）到兩坐標軸距離相等的點的軌跡方程是（ ）Axy=0 Bx+y=0 C|x|y=0 D|x|y|=0解析：設到坐標軸

6、距離相等的點為（x，y）|x|y| |x|y|0。答案：D點評：本題較好地考查了考生的數(shù)學素質，尤其是考查了思維的敏捷性與清晰的頭腦，通過不等式解等知識探索解題途徑例4（2002全國文，21）已知點P到兩個定點M（1，0）、N（1，0）距離的比為，點N到直線PM的距離為1求直線PN的方程。解析：設點P的坐標為（x，y），由題設有，即。整理得 x2+y26x+1=0 因為點N到PM的距離為1，|M|2，所以PMN30°，直線PM的斜率為±，直線PM的方程為y=±（x1） 將式代入式整理得x24x10。解得x2，x2。代入式得點P的坐標為（2，1）或（2，1）；（2，

7、1）或（2，1）。直線PN的方程為y=x1或y=x+1。點評：該題全面綜合了解析幾何、平面幾何、代數(shù)的相關知識，充分體現(xiàn)了“注重學科知識的內在聯(lián)系”.題目的設計新穎脫俗，能較好地考查考生綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力.比較深刻地考查了解析法的原理和應用，以及分類討論的思想、方程的思想。該題對思維的目的性、邏輯性、周密性、靈活性都進行了不同程度的考查.對運算、化簡能力要求也較高，有較好的區(qū)分度。題型3：直線與圓的位置關系例5（1）（2006安徽文，7）直線與圓沒有公共點，則的取值范圍是（ ）A B C D （2）（2006江蘇理，2）圓的切線方程中有一個是（ ）Axy0 Bxy0 Cx0 Dy0

8、解析：（1）解析：由圓的圓心到直線大于，且，選A。點評：該題考察了直線與圓位置關系的判定。（2）直線ax+by=0，則，由排除法，選C，本題也可數(shù)形結合，畫出他們的圖象自然會選C,用圖象法解最省事。點評：本題主要考查圓的切線的求法，直線與圓相切的充要條件是圓心到直線的距離等于半徑。直線與圓相切可以有兩種方式轉化(1)幾何條件：圓心到直線的距離等于半徑(2)代數(shù)條件：直線與圓的方程組成方程組有唯一解,從而轉化成判別式等于零來解。例6（2006江西理，16）已知圓M：（xcosq）2（ysinq）21，直線l：ykx，下面四個命題：（A） 對任意實數(shù)k與q，直線l和圓M相切；（B） 對任意實數(shù)k與

9、q，直線l和圓M有公共點；（C） 對任意實數(shù)q，必存在實數(shù)k，使得直線l與和圓M相切；（D）對任意實數(shù)k，必存在實數(shù)q，使得直線l與和圓M相切。其中真命題的代號是_（寫出所有真命題的代號）解析：圓心坐標為（cosq，sinq）d故選（B）（D）點評：該題復合了三角參數(shù)的形式，考察了分類討論的思想。題型4：直線與圓綜合問題例7（1999全國，9）直線x+y2=0截圓x2y24得的劣弧所對的圓心角為（ ）A B C D解析：如圖所示：圖由消y得：x23x+2=0，x1=2，x2=1。A（2，0），B（1，）|AB|=2又|OB|OA|=2，AOB是等邊三角形，AOB=，故選C。點評：本題考查直線與

10、圓相交的基本知識，及正三角形的性質以及邏輯思維能力和數(shù)形結合思想，同時也體現(xiàn)了數(shù)形結合思想的簡捷性。如果注意到直線AB的傾斜角為120°，則等腰OAB的底角為60°.因此AOB=60°.更加體現(xiàn)出平面幾何的意義。例8（2006全國2，16）過點（1，）的直線l將圓(x2)2y24分成兩段弧，當劣弧所對的圓心角最小時，直線l的斜率k 。解析：過點的直線將圓分成兩段弧，當劣弧所對的圓心角最小時，直線的斜率解析(數(shù)形結合)由圖形可知點A在圓的內部, 圓心為O(2,0)要使得劣弧所對的圓心角最小,只能是直線，所以。點評：本題主要考察數(shù)形結合思想和兩條相互垂直的直線的斜率的

11、關系，難度中等。題型5：對稱問題例9（89年高考題）一束光線l自A（3，3）發(fā)出，射到x軸上，被x軸反射到C：x2y24x4y70上。() 求反射線通過圓心C時，光線l的方程；() 求在x軸上，反射點M的范圍解法一：已知圓的標準方程是(x2)2+(y2)2=1，它關于x軸的對稱圓的方程是(x2)2+(y+2)2=1。設光線L所在的直線的方程是y3=k(x+3)（其中斜率k待定），由題設知對稱圓的圓心C（2，-2）到這條直線的距離等于1，即d=1。整理得 12k2+25k+12=0，解得k= 或k= 。故所求直線方程是y3=(x+3)，或y3= (x+3)，即3x+4y+3=0或4x+3y+3=

12、0。解法二：已知圓的標準方程是(x2)2+(y2)2=1，設交線L所在的直線的方程是y-3=k(x+3)（其中斜率k待定），由題意知k0，于是L的反射點的坐標是（，0），因為光線的入射角等于反射角，所以反射光線L所在直線的方程為y= k(x+)，即y+kx+3(1+k)=0。這條直線應與已知圓相切，故圓心到直線的距離為1，即d=1。以下同解法一。點評：圓復合直線的對稱問題，解題思路兼顧到直線對稱性問題，重點關注對稱圓的幾何要素，特別是圓心坐標和圓的半徑。例10已知函數(shù)f(x)=x21(x1)的圖像為C1，曲線C2與C1關于直線y=x對稱。（1）求曲線C2的方程y=g(x)；（2）設函數(shù)y=g(

13、x)的定義域為M，x1，x2M，且x1x2，求證|g(x1)g(x2)|<|x1x2|;（3）設A、B為曲線C2上任意不同兩點，證明直線AB與直線y=x必相交。解析：（1）曲線C1和C2關于直線y=x對稱，則g(x)為f(x)的反函數(shù)。y=x21，x2=y+1，又x1，x=，則曲線C2的方程為g(x)= (x0)。（2）設x1，x2M，且x1x2，則x1x20。又x10， x20，|g(x1)g(x2)|=| |=<|x1x2|。（3）設A(x1，y1)、B（x2，y2）為曲線C2上任意不同兩點，x1，x2M，且x1x2，由（2）知，|kAB|=|=<1直線AB的斜率|kAB

14、|1，又直線y=x的斜率為1，直線AB與直線y=x必相交。點評：曲線對稱問題應從方程與曲線的對應關系入手來處理，最終轉化為點的坐標之間的對應關系。題型6：軌跡問題例11（2005山東理，22）已知動圓過定點，且與直線相切，其中。（I）求動圓圓心的軌跡的方程；（II）設A、B是軌跡上異于原點的兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，當變化且為定值時，證明直線恒過定點，并求出該定點的坐標。解析：（I）如圖，設為動圓圓心，為記為，過點作直線的垂線，垂足為，由題意知：即動點到定點與定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點的軌跡為拋物線，其中為焦點，為準線，所以軌跡方程為；（II）如圖，設，由題意得（否則）且

15、所以直線的斜率存在，設其方程為，顯然，將與聯(lián)立消去，得由韋達定理知（1）當時，即時，所以，所以由知：所以。因此直線的方程可表示為，即，所以直線恒過定點。（2）當時，由，得=，將式代入上式整理化簡可得：，所以，此時，直線的方程可表示為即，所以直線恒過定點。所以由（1）（2）知，當時，直線恒過定點，當時直線恒過定點。點評：該題是圓與圓錐曲線交匯題目，考察了軌跡問題，屬于難度較大的綜合題目。例12（2005江蘇，19）如圖，圓與圓的半徑都是1，. 過動點分別作圓、圓的切線（分別為切點），使得. 試建立適當?shù)淖鴺讼?，并求動點的軌跡方程。解析：以的中點為原點，所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，

16、則，。由已知，得。因為兩圓半徑均為1，所以。設，則，即(或)。點評：本小題主要考查求軌跡方程的方法及基本運算能力。題型7：課標創(chuàng)新題例13已知實數(shù)x、y滿足，求的最大值與最小值。解析：表示過點A（0，1）和圓上的動點（x，y）的直線的斜率。如下圖，當且僅當直線與圓相切時，直線的斜率分別取得最大值和最小值。設切線方程為，即，則，解得。因此，點評：直線知識是解析幾何的基礎知識，靈活運用直線知識解題具有構思巧妙、直觀性強等特點，對啟迪思維大有裨益。下面舉例說明其在最值問題中的巧妙運用。例14設雙曲線的兩支分別為，正三角形PQR的三頂點位于此雙曲線上。若在上，Q、R在上，求頂點Q、R的坐標。分析：正三

17、角形PQR中，有，則以為圓心，為半徑的圓與雙曲線交于R、Q兩點。根據(jù)兩曲線方程可求出交點Q、R坐標。解析：設以P為圓心，為半徑的圓的方程為：，由得：。（其中，可令進行換元解之）設Q、R兩點的坐標分別為，則。即，同理可得：，且因為PQR是正三角形，則，即，得。代入方程，即。由方程組，得：或，所以，所求Q、R的坐標分別為點評：圓是最簡單的二次曲線，它在解析幾何及其它數(shù)學分支中都有廣泛的應用。對一些數(shù)學問題，若能作一個輔助圓，可以溝通題設與結論之間的關系，從而使問題得解，起到鋪路搭橋的作用。五思維總結1關于直線對稱問題：（1）關于l ：Ax By C 0對稱問題：不論點，直線與曲線關于l 對稱問題總

18、可以轉化為點關于l 對稱問題，因為對稱是由平分與垂直兩部分組成，如求P（x0 ，y0）關于l ：Ax By C 0對稱點Q（x1 ，y1）有（1）與A·B·C 0。（2）解出x1 與y1 ；若求C1 ：曲線f（x ，y）0（包括直線）關于l ：Ax By C1 0對稱的曲線C2 ，由上面的（1）、（2）中求出x0 g1（x1 ，y1）與y0 g2（x1 ，y1），然后代入C1 ：f g1（x1 ，y1），g2（x2 ，y2）0，就得到關于l 對稱的曲線C2 方程：f g1（x ，y），g2（x ，y）0。（3）若l ：Ax By C 0中的x ，y 項系數(shù)|A|1，|B |

19、1就可以用直接代入解之，尤其是選擇填空題。如曲線C1 ：y2 4 x 2關于l ：x y 40對稱的曲線l2 的方程為：(x 4) 2 4（y 4）2即y 用x 4代，x 用y 4代，這樣就比較簡單了。（4）解有關入射光線與反射光線問題就可以用對稱問題來解決。點與圓位置關系：P（x0 ，y0）和圓C ：(x a) 2 (y b) 2 r2。點P 在圓C 外有(x0 a) 2 (y0 b) 2 r2；點P 在圓上：(x0 a) 2 (y0 b) 2 r2；點P 在圓內：(x0 a) 2 (y0 b) 2 r2 。3直線與圓的位置關系：l ：f1（x ，y）0圓C ：f2（x ，y）0消y 得F（x2）0。（1）直線與圓相交：F（x ，y）0中D 0；或圓心到直線距離d r 。直線與圓相交的相關問題：弦長|AB|·|x1 x2|·，或|AB|2；弦中點坐標（，）；弦中點軌跡方程。（2）直線與圓相切：F