線(xiàn)性代數(shù)A試題A卷VIP

1、武漢理工大學(xué)考試試題紙（ A 卷）課程名稱(chēng) 線(xiàn)性代數(shù)專(zhuān)業(yè)班級(jí)2005級(jí)本科題號(hào)一二三四五六七八九十總分題分121240121212100 備注: 學(xué)生不得在試題紙上答題(含填空題、選擇題等客觀題)一單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共12分）1. 設(shè)均為階矩陣，且，則必有_；(A) (B) (C) (D) 2. 設(shè)向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān),向量組線(xiàn)性相關(guān),則以下命題中成立的是_；(A) 一定能由線(xiàn)性表示 (B) 一定能由線(xiàn)性表示 (C) 一定能由線(xiàn)性表示 (D) 一定能由線(xiàn)性表示3. 設(shè)是三元線(xiàn)性方程組的兩個(gè)不同的解，且，則的通解為_(kāi)； (A) + (B) (C) (D) 4. 已知是矩陣的特征向量，則_；(A)

2、 1或2 (B) -1或-2 (C) -1或2 (D) 1或-2二填空題（每小題3分，共12分）1. _；2. 如果A是3階可逆矩陣，互換A的第一、第二行，得矩陣B ,且，則=_；3. 設(shè)向量若線(xiàn)性相關(guān)，則=_；4. 已知3階方陣A的特征值為1、-1、2，則矩陣的特征值為_(kāi)；三解答題（每小題8分，共40分）1. 計(jì)算行列式；2. 設(shè)3階方陣滿(mǎn)足方程 ，試求矩陣，其中；3. 設(shè)A為三階矩陣且，求；4. 求向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該最大無(wú)關(guān)組線(xiàn)性表示；5. 已知三階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的三個(gè)特征值為，且對(duì)應(yīng)于特征值為0的特征向量為，求矩陣A.四(12分) 設(shè)線(xiàn)性方程組為，問(wèn)：、分別取何值時(shí)，

3、方程組無(wú)解、有唯一解、有無(wú)窮多解？ 并在有無(wú)窮多解時(shí)求出其通解.五（12分）設(shè)二次型=由正交變換可化為標(biāo)準(zhǔn)形.求的值及正交矩陣P，并判斷該二次型的正定性.六證明題（每小題6分，共12分）1. 設(shè)向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān),且，.試證明向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān).2. 若方陣A、B滿(mǎn)足.證明A可逆，并求(用A的多項(xiàng)式表示). 武漢理工大學(xué)教務(wù)處 試題標(biāo)準(zhǔn)答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)用紙 課程名稱(chēng):線(xiàn)性代數(shù) （ A 卷）一、選擇題（每小題3分，共12分）1.B 2.C 3.B 4.D二、填空題（每小題3分，共12分）1.2； 2.； 3.a=1；4. 2,2,5；（注：本小題每個(gè)數(shù)字為一分，錯(cuò)一個(gè)則減一分） 三、解答題（每小題8分，共

4、40分）1. 解：從第二列起，將其后各列加到第一列，有：2分2分 4分 注：若采用其他方法計(jì)算出正確結(jié)果也應(yīng)給滿(mǎn)分，其正確的步驟也相應(yīng)給分。2. 由題，有 2分且故可逆。 2分2分在等式左右兩邊左乘得 2分2分3.解：2分2分 2分,上式 2分注：若前面所有步驟正確，最后計(jì)算出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤，扣一分。4.解：令矩陣，并通過(guò)初等行變化化成最簡(jiǎn)形，有： 4分故向量組A的的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組為， 2分 且。 2分5.解：因?yàn)閷?shí)對(duì)稱(chēng)矩陣不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量是正交的，設(shè)特征值為2時(shí)所對(duì)應(yīng)的特征向量為則有： 2分其基礎(chǔ)解系為若矩陣A相似與對(duì)角矩陣，則相似變換矩陣為， 2分求得， 2分2分由注：本題也可使用參

5、數(shù)法求解，即：設(shè), 2分由題意有 2分得，故矩陣,由特征值為2得， 2分由特征多項(xiàng)式為，比較系數(shù)得故A= 2分四(共12分)解：線(xiàn)性方程組的系數(shù)矩陣為：增廣矩陣為： 4分故（1）當(dāng) 1分 (2)當(dāng) 1分 （3）當(dāng) 2分當(dāng)時(shí)，原增廣矩陣為 2分其等價(jià)方程組為：，故其通解為： 2分注：本題也可采用如下方法判斷方程組有唯一解：系數(shù)行列式為：，故當(dāng)若a=-2時(shí)，代入原方程組進(jìn)行化簡(jiǎn)，其計(jì)算步驟和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)同上。五（共12分）解：的矩陣，有特征值 故 2分當(dāng)時(shí)，解方程組得方程組的基礎(chǔ)解系為：，, 2分正交單位化，有：，； 3分當(dāng)時(shí)，解方程組得方程組的基礎(chǔ)解系為： ,單位化，得： 2分令,故即為所求的正交變換。 2分因?yàn)榫仃嘇特征值不全為正，故為非正定型（或不定）。 1分六