復(fù)雜二次分式函數(shù)極值的快速解法

1、復(fù)雜二次分式函數(shù)極值的快速解法在高考中，我們經(jīng)常會(huì)碰到二次分式函數(shù)問(wèn)題，這類問(wèn)題通常比較麻煩，有時(shí)運(yùn)算量很大，很難在短時(shí)間內(nèi)解決所以本文將研究求解二次分式函數(shù)單調(diào)性，值域,極值的簡(jiǎn)便方法希望能得到一個(gè)極值通用公式，以便在考試中套用，節(jié)約時(shí)間2Ay + Ry +二次分式函數(shù)具有形式 y = f（X）2（A, B不同時(shí)為0）.Dx2 + Ex+F我們將要研究它的定義域，值域,單調(diào)性，極值.1. 定義域和有界性當(dāng)方程Dx2 Ex F = 0有解，設(shè)x1，x2（x! _ x2）是Dx2 Ex F =0兩個(gè)根則函數(shù)定義 域x R | x =為 x = x2.當(dāng) A%C = 0, lim 或Ax2 Bx2

2、 C = 0, lim =：XX M此時(shí)函數(shù)無(wú)界.當(dāng)Ax12 Bx1 C =0且Ax22 Bx2 C=0 ,函數(shù)有界且為常值函數(shù)（很少遇到x2 _12的情況，比如y 2）.所以通常當(dāng)E -4DF _0 ,二次分式函數(shù)是無(wú)界的.x -1X = Nx = X2是函數(shù)的漸近線.當(dāng)E2 -4DF ：0,函數(shù)定義域?yàn)镽 函數(shù)有界.2. 單調(diào)性，極值，值域當(dāng) E2-4DF：0, Dx2Ex，F(xiàn)=0, 可 以將 函數(shù) 化 為x的方程 y Dx2ExF=Ax2 Bx C.即x2 Dy - A xEy - BFy - C = 0 對(duì)于值域中的每一個(gè)y,方程都有實(shí)數(shù)解，當(dāng)Dy-A = 0_0,當(dāng)Dy-A=0,驗(yàn)證

3、是否有解這樣就可以求出值域值域的兩個(gè)端點(diǎn)（方程的兩個(gè)解）為函數(shù)極大值和極小值但為了計(jì)算在 何處取得極值,需將極值代入 x2 Dy-A x Ey-B ，F(xiàn)y-C=0函數(shù)解出x，計(jì)算可能 有點(diǎn)慢下文會(huì)給出一個(gè)簡(jiǎn)便的計(jì)算方法AA2lim f （x）,根據(jù)極值與的大小即可判斷單調(diào)區(qū)間.E 4DF : 0這種情況最多有三x廠DD個(gè)單調(diào)區(qū)間當(dāng)E2 -4DF -0,用判別式法可能會(huì)產(chǎn)生增根.此時(shí)通常會(huì)解出y，R 出現(xiàn)這種情況，求解Dx2 Ex F = 0和Ax2 Bx C = 0 分式可化為一次分式，根據(jù)定義去求出這個(gè)一次分2 21 -2x x-1 x ：;_1 x ,3式值域上匕如y21x 1且X -2

4、j-2+x+x(-1+x)(2 + x) 2+x2 + x'，再下面給出一個(gè)具體例取x=1, y=0,所以函數(shù)值域fy|y = O且y =分離變量和換元再用基本不等式求解也是解決二次分式的常規(guī)方法子3x2 3x -2八 _x2 x 5首 先 定 義 域x | -x2 x 06x 13-x2 x 51 1 x|x = 2 1) X =(2 1 -.2? 分離分子中的二次項(xiàng)得 y = -3 人t 13令t =6x 13,x.代入得6y = -3x +x+5=3 蟲._L 836t36 一 96x 13y 一367 . t36t當(dāng)穿和當(dāng)t <0-31 2 671 8-336 921F取

5、等號(hào)，x w一 67-136當(dāng)穿和“67取等號(hào)，"2y - _3 '，土 836 -t36 9=31 2、6767 8 21 3629767 136函數(shù)值域（亠31+2廟）？（一31+2后+專21 213-也土空壬71 2167131 - . 2167 -131 .27<<<6 2 6 2可判斷出單調(diào)區(qū)間增區(qū)間（-：,!_13 一.67 ）,（丄-13.67 ,丄1 .習(xí)）,（11，+:）6 6 2 2減區(qū)間（1 一13 -、67,1 1 - . 21 ）,（ 1 1- 21 , 1 -13 、67 ）62 2 6共有5個(gè)單調(diào)區(qū)間11順便再算一下函數(shù)零點(diǎn) 3

6、x2 32= 0解得為二-3 - 33 , X2二3366有了這些信息，我們很容易畫出函數(shù)大致圖像通過(guò)這樣一個(gè)例子，我們意識(shí)到，如果在考試中碰到這樣的函數(shù)，分離變量換元的方法計(jì)算量非常大并且需要一定的技巧，浪費(fèi)了我們很多的時(shí)間而判別式法只能求極值和值域，對(duì)于何處取極值，還需將極值代入原函數(shù) 對(duì)于上面的例子，直接代會(huì)函數(shù)運(yùn)算過(guò)于復(fù)雜對(duì)于一些簡(jiǎn) 單二次分式函數(shù)，分離變量是可行的，并且非?？?但是對(duì)于像上面這種二次分式函數(shù)，我們找到需要一種計(jì)算量很小的方法二次分式函數(shù)極值公式很多老師不贊成用導(dǎo)數(shù)計(jì)算二次分式函數(shù)極值.但為了找到一個(gè)簡(jiǎn)便公式,我們必須通過(guò)導(dǎo)數(shù)來(lái)研究二次分式函數(shù)2Ax Bx CDxDxE

7、x F Ex Ff' (2Ax + B)(Dx2 +Ex + F)(Ax2 + Bx + C)(2Dx + E) 以八(Dx2 Ex F)2AE BD x2 2 AF CD xCE BF2 2(Dx2 +Ex+F)2我們只關(guān)心導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，導(dǎo)數(shù)分母是個(gè)正數(shù)，我們記分子N 二 AE-BD X2 2 AF-CD x-CE BF 函數(shù)取極值時(shí) f'(x)=O,即N=0.我們只需解方程 AE - BD x2 2 AF -CD x-CE BF =0即可得到函數(shù)取極值時(shí)的 x值.為了防止錯(cuò)誤，最好驗(yàn)證的得到的x值是否在定義域內(nèi)將方程系數(shù)與比較發(fā)現(xiàn)N可以寫成三階行列式2AxBx C1-2x x

8、2N = A B C 這樣就很容易記住了DEFc2對(duì)于上面的例子23x 3x - 2-x2 x 5-2x x32 =17+26x + 6x2 =01 . 1解得X1二13-767 ,X2二1367 這種方法比分離變量快多了 6 6要求單調(diào)區(qū)間，由于N的符號(hào)和f (x)相同，大致畫出y = N的圖像，只需畫出開口方向，標(biāo)出零點(diǎn)和漸近線即可確定單調(diào)區(qū)間由此可知二次分式函數(shù)最多可有5個(gè)單調(diào)區(qū)間 如果要求極值，把x代入函數(shù)-2 1 -13 - .671 -13- 67 "2 12計(jì)算量很大，對(duì)于x很復(fù)雜的情況建議用判別式求值域想到取極值時(shí)的x值可用方程N(yùn)二0表示,我們也找到一個(gè)關(guān)于 y的方程

9、rAx? +Bx + C聯(lián)立Dx2 Ex F，消去x整理得AE BD x2 2 AF -CD x CE BF = 02 2 2E-4DF y24 AF CD -2BE y B2 4AC =0二次項(xiàng)系數(shù)E2 -4DF和常數(shù)項(xiàng)B2 -4AC正好為分母和分子的判別式 2Ax + Bx + C我們只需特別記住一次項(xiàng)系數(shù)4 AF CD -2BE.比較2C發(fā)現(xiàn)這一項(xiàng)也挺好Dx十Ex十F記的:二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)系數(shù)積的和的4倍減一次項(xiàng)系數(shù)積的兩倍對(duì)于上面的例子，將系數(shù)代入該方程得3 3 6 2 1y22角0得1 1 y31 -2：j67 i, y231 2、：/67 .根據(jù)已求出的單調(diào)區(qū)間A,比較和極值的大

10、小即可區(qū)分極大值和極小值D我們重新回顧判別式求值域的方法 x2 Dy - A x Ey - B Fy - C = 02Ey - B -4 Dy - A Fy -C =0的解即為極值.重新整理方程可得 B2 -4AC 4CD -2BE 4AF y E2-4DF y2=0 和剛才的到的方程是一樣的.說(shuō)明導(dǎo)數(shù)和判別式這兩種方法是等價(jià)的.在考試中，我們碰到的二次分式函數(shù)定義域不是根據(jù)函數(shù)本身的得出的，而是已知條件給定的在特定的定義域內(nèi)求解函數(shù)值域時(shí)，用判別式求解可能會(huì)放大值域.但我們能可用判別式求出 極值.再用N =0和漸近線求出單調(diào)區(qū)間進(jìn)而求出值域 .下面給出一道有二次分式函數(shù)應(yīng)用的高考例題2 2(

11、2013浙江)如圖，點(diǎn)P(0, -1)是橢圓G：% 占=1( a b 0)的一個(gè)頂點(diǎn)，G的長(zhǎng)軸是a b圓C2: x2 y2 = 4 的直徑.l1,l2是過(guò)點(diǎn)P且互相垂直的兩條直線，其中l(wèi)1交圓C2與A, B兩點(diǎn)A交橢圓與G與另一點(diǎn)D.(1) 求橢圓G的方程；求D ABC面積取最大值的直線h的方程；第一問(wèn) C2: y14設(shè) h : y 二kx -1(k R) ,l2 ： y 二-1 k。到AB距離占AB = 2E冷2(1吟J 代入 G 得 x 4 x 1 -4=0 設(shè) P(xi, y-), D(X2, y2) Ik丿(l2: x ky0套用圓錐曲線硬解定理)x1 x224 + kx1 x2 = 0(形式而已)=(套用圓錐曲線硬解定理)2、(1 k)4(42 k k)4 +k8 丫1 k24 k21SIDPIIABI二1 8.1 k22 4 k2168,3 4k24 k2接下來(lái)是關(guān)鍵了，用我們的公式來(lái)算8 3 4k4 k23 4k2k4 8k2 16令t=k2(t _0),S=84t 3t2 8t 16161621-2t t2N = 04