2007年考研數(shù)學三真題與完整解析

1、WORD格式2007 年研究生入學考試數(shù)學三試題一、選擇題：1 10 小題，每題4 分，共 40 分. 在每題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內. 1當x0時，與x 等價的無窮小量是A1ex1 x 1x1 D1cos xBlnxC1 2設函數(shù)f ( x)在x0 處連續(xù)，以下命題錯誤的選項是：A 假設limf ( x)存在，那么 f (0)0 B假設limf (x)f (x)存在，那么 f (0)0 .x 0xx 0xB 假設limf ( x)存在，那么 f(0)0 D假設limf (x)f (x)存在，那么 f (0)0 .x0xx 0x 3 如圖，連續(xù)函

2、數(shù)yf (x) 在區(qū)間3, 2, 2,3上的圖形分別是直徑為1 的上、下半圓周，在區(qū)間2, 0 , 0, 2 的圖形分別是直徑為2 的下、上半圓周，設F ( x)xf (t )dt ，那么以下結論正確的選項是：0AF(3)3F( 2)(B)F (3)5F(2)44CF (3)3F(2)DF(3)5F( 2)414 4設函數(shù)f ( x, y)連續(xù)，那么二次積分f ( x, y)dy 等于dxsin x21dyf (x, y)dx1f ( x, y)dx A Bdy0arcsin y0arcsin y1arcsin y1arcsin y Cdyf (x, y)dxD dyf ( x, y)dx02

3、02 5設某商品的需求函數(shù)為Q 1602P ，其中 Q, P 分別表示需要量和價格，如果該商品需求彈性的絕對值專業(yè)資料整理WORD格式- 1 -專業(yè)資料整理WORD格式等于 1，那么商品的價格是(A) 10.(B)20(C) 30.(D)40. 6曲線y1ln 1ex的漸近線的條數(shù)為xA 0.B1.C2.D3.（ 7設向量組1,2,3線性無關，那么以下向量組線性相關的是線性相關，那么(A)12 ,23 ,31(B)12 ,23 ,31(C)122 ,223 ,32 1.(D)12 2 ,223 , 32 1.211100 8設矩陣A121, B010，那么 A與B112000(A) 合同且相似

4、 B合同，但不相似 .(C)不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 9某人向同一目標獨立重復射擊，每次射擊命中目標的概率為p(0p 1) ，那么此人第4 次射擊恰好第2 次擊中目標的概率為A 3 p(1p) 2. B6 p(1 p)2.C3 p2(1 p)2 .D 6 p2(1 p)2 10設隨機變量X ,Y 服從二維正態(tài)分布，且X 與 Y 不相關， f X ( x), fY ( y) 分別表示X ,Y的概率密度，那么在 Yy 的條件下，X的條件概率密度f X|Y ( x | y) 為(A)f X ( x) .(B)fY ( y) .(C)fX ( x) fY( y) . (D)f X(x

5、).fY ( y)二、填空題 ： 11 16 小題，每題4 分，共 24分 . 把答案填在題中橫線上 . 11x3x21cos x)_.limx3(sin xx2x 12設函數(shù)y1，那么 y( n ) (0)_.2x3 13 設f (u, v)是二元可微函數(shù)，zfy , x，那么xzy z_.xyxy3 14微分方程dyy1y滿足 y x1 1的特解為y_.dxx2x專業(yè)資料整理WORD格式- 2 -專業(yè)資料整理WORD格式0100 15設矩陣A0010，那么 A3的秩為.00010000 16在區(qū)間0,1 中隨機地取兩個數(shù)，那么這兩個數(shù)之差的絕對值小于1 的概率為.2三、解答題：17 24

6、小題，共86 分 . 解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17(此題總分值 10分 )設函數(shù) yy(x) 由方程 y ln yxy0 確定，試判斷曲線yy( x) 在點 (1,1)附近的凹凸性. 18(此題總分值 11分)x2 ,| x | | y |1設 二 元 函 數(shù) f (x, y)1, 1| x | y |2，計算二重積分f ( x, y)d ， 其 中Dx2y 2Dx, y | x | | y | 2. 19(此題總分值 11分)設 函 數(shù)f ( x), g ( x) 在a, b上 連 續(xù) ， 在 (a, b) 內 具 有 二 階 導 數(shù) 且 存 在 相 等 的 最 大 值 ，

7、f (a)g(a), f (b)g(b) ，證明：存在(a, b) ，使得 f( )g ( ) . 20(此題總分值 10分 )將函數(shù) f ( x)1展開成 x1的冪級數(shù)，并指出其收斂區(qū)間.x23x4 21(此題總分值 11分)x1x2x30設線性方程組x12x2ax30與方程 x12x2x3a1有公共解，求 a 的值及所有公共解.x14x2a2x3 0 22(此題總分值 11分)設三階對稱矩陣A 的特征向量值11, 22, 32 ，1(1, 1,1)T是 A 的屬于1 的一個特征向量，記 BA54A3E，其中E為3階單位矩陣 .（ I 驗證1是矩陣B的特征向量，并求B的全部特征值與特征向量；

8、（ II 求矩陣B .（ 23(此題總分值 11 分)設二維隨機變量( X , Y) 的概率密度為2 x y, 0x 1,0 y 1f ( x, y).0,其他專業(yè)資料整理WORD格式- 3 -專業(yè)資料整理WORD格式（ I求P X 2Y；(II)求 ZXY 的概率密度.2007 答案1 .【分析 】此題為等價無窮小的判定，利用定義或等價無窮小代換即可.【詳解 】當 x0 時，1e xx ，1x 11x ， 1cosx1x21 x ，222故用排除法可得正確選項為B .ln1xln(1 x)ln(1x )111事實上， lim1xlimlim1x11x2 x1，x0xx 0xx 02x1xx)

9、ln(1x)x o(x)xo(x )xo(x)x .或 lnln(11x所以應選 B【評注 】此題為關于無窮小量比較的基此題型，利用等價無窮小代換可簡化計算.2 .【分析 】此題考察可導的極限定義及連續(xù)與可導的關系. 由于題設條件含有抽象函數(shù)，此題最簡便的方法是用賦值法求解，即取符合題設條件的特殊函數(shù)f ( x) 去進展判斷，然后選擇正確選項.【詳解 】取 f (x)| x |，那么 limf ( x)f ( x)0 ，但 f ( x) 在 x0 不可導，應選D.x 0x事實上，在 (A),(B) 兩項中，因為分母的極限為0，所以分子的極限也必須為0，那么可推得f (0) 0 .在 C中，li

10、mf (x)存在，那么 f (0) 0, f(0)lim f ( x)f(0)limf ( x)0 ，所以(C)項正確，x 0xx0x0x 0x應選 (D)【 評注 】對于題設條件含抽象函數(shù)或備選項為抽象函數(shù)形式結果以及數(shù)值型結果的選擇題，用賦值法求解往往能收到奇效 .3 .【分析 】此題實質上是求分段函數(shù)的定積分.【詳解 】利用定積分的幾何意義，可得F(3) 1211213，F(xiàn)(2)1221，222822121F( 2)f (x)dxf ( x)d xf (x)dx1.20202022專業(yè)資料整理WORD格式- 4 -專業(yè)資料整理WORD格式所以 F (3)3F(2)3 F( 2) ，應選C

11、.44【評注 】此題屬基此題型. 此題利用定積分的幾何意義比較簡便.4 .【分析 】此題更換二次積分的積分次序，先根據(jù)二次積分確定積分區(qū)域，然后寫出新的二次積分.【詳解 】由題設可知，x,sin x y 1，那么 0 y 1,arcsin y x，2故應選 B.【評注 】此題為根底題型. 畫圖更易看出 .5 .【分析 】此題考察需求彈性的概念.【詳解 】選 D .dQP2PP 40，商品需求彈性的絕對值等于Q1dP160 2P應選 D .【評注 】需掌握微積分在經濟中的應用中的邊際，彈性等概念.6 .【分析 】利用曲線的漸近線的求解公式求出水平漸近線，垂直漸近線和斜漸近線，然后判斷.【詳解 】

12、 limylim1ln 1ex, limylim1ln1ex0 ，xxxxxx所以y0是曲線的水平漸近線；lim ylim1ln1 ex，所以 x0是曲線的垂直漸近線；x 0x0xlimylim1ln 1 ex0ln 1 exe*1xlimlim 1e，xxxxxxx11x，所以y x是曲線的斜漸近線 .b l i m y xl i ml n 1 exx0xx應選 D .【評注 】此題為基此題型，應熟練掌握曲線的水平漸近線，垂直漸近線和斜漸近線的求法.注意當曲線存在水平漸近線時，斜漸近線不存在. 此題要注意ex當x, x時的極限不同 .7 .【分析 】此題考察由線性無關的向量組1,2,3構造的

13、另一向量組1,2,3的線性相關性. 一般令1, 2,31,2,3A，假設A0，那么1,2,3線性相關；假設A0，那么1,2,3線性無關.但專業(yè)資料整理WORD格式- 5 -專業(yè)資料整理WORD格式考慮到此題備選項的特征，可通過簡單的線性運算得到正確選項.【詳解】由1223310 可知應選A.或者因為10110112 , 23 , 311,2,31 10 ，而1 100 ，011011所以12 , 23 ,31 線性相關，應選A .1,0,0TT0,0,1T【評注 】此題也可用賦值法求解，如取1,20,1,0 ,3，以此求出 A ， B， C， D中的向量并分別組成一個矩陣，然后利用矩陣的秩或行

14、列式是否為零可立即得到正確選項.8【分析】此題考察矩陣的合同關系與相似關系及其之間的聯(lián)系，只要求得A 的特征值，并考慮到實對稱矩陣 A 必可經正交變換使之相似于對角陣，便可得到答案.211【詳解】由 E A121(3)2可得123,3 0，112所以 A 的特征值為3,3,0；而 B 的特征值為1,1,0.所以 A 與 B 不相似，但是A與 B的秩均為2，且正慣性指數(shù)都為2，所以A與B合同，應選 B .【評注 】假設矩陣 A 與 B 相似，那么 A 與 B 具有一樣的行列式，一樣的秩和一樣的特征值.所以通過計算A 與 B 的特征值可立即排除AC.9 .【分析 】此題計算貝努里概型，即二項分布的

15、概率. 關鍵要搞清所求事件中的成功次數(shù).【詳解 】p前三次僅有一次擊中目標，第4 次擊中目標C31 p(1p) 2 p3p2 (1p) 2，應選 C .【評注 】此題屬基此題型.10 .【分析 】此題求隨機變量的條件概率密度，利用X 與 Y 的獨立性和公式f X |Y ( x | y)f ( x, y)可求解 .fY ( y)【詳解】因為 X ,Y服從二維正態(tài)分布，且X 與 Y 不相關，所以 X 與 Y 獨立，所以 f (x, y) f X ( x) fY ( y) .故 f X |Y ( x | y)f (x, y)f X (x) fY ( y)f X ( x) ，應選A.fY ( y)fY

16、 ( y)專業(yè)資料整理WORD格式- 6 -專業(yè)資料整理WORD格式【評注 】假設X ,Y 服從二維正態(tài)分布，那么X 與 Y 不相關與 X 與 Y 獨立是等價的.11 .【分析】此題求類未定式，可利用“抓大頭法和無窮小乘以有界量仍為無窮小的結論.x3x2x3x21【詳解 】因為 limx31lim2x2x32x 00,| sin x cos x | 2 ，x2xxx112x所以 limx3xx231 (sin xcos x)0 .x2x【 評注 】無窮小的相關性質：（ 1 有限個無窮小的代數(shù)和為無窮??；（ 2 有限個無窮小的乘積為無窮??；（ 3 無窮小與有界變量的乘積為無窮小.12, .【分析

17、 】此題求函數(shù)的高階導數(shù)，利用遞推法或函數(shù)的麥克老林展開式.【詳解 】 y1, y2，那么 y( n) ( x)( 1)n 2n n!，故 y(n) (0)( 1)n 2n n!.2x 32x 3 2(2 x 3)n 13n 1【評注 】此題為根底題型.13 .【分析 】此題為二元復合函數(shù)求偏導，直接利用公式即可.【詳解 】利用求導公式可得zy1xx2 f1f2，yz1f1x2 f2，yxy所以 x zy z2 f1yf2x.xyxy【評注 】二元復合函數(shù)求偏導時，最好設出中間變量，注意計算的正確性.14 .【分析 】此題為齊次方程的求解，可令uy.xy，那么原方程變?yōu)椤驹斀?】令 uxu x

18、 du1 u3 dudx .udx2u32x兩邊積分得11 ln x1 ln C ，2u 222專業(yè)資料整理WORD格式- 7 -專業(yè)資料整理WORD格式1y2即 x1eu2x1ex2，將 y x 11代入左式得Ce，CCx2x故滿足條件的方程的特解為ex ey2，即 y， x e 1.ln x1【評注 】此題為根底題型.15 .【分析 】先將A3求出，然后利用定義判斷其秩 .0100000100100000【詳解】A00A3000r ( A) 1.01000000000【評注 】此題為根底題型 .16 .【分析 】根據(jù)題意可得兩個隨機變量服從區(qū)間0,1 上的均勻分布，利用幾何概型計算較為簡便

19、 .【 詳解 】利用幾何概型計算 . 圖如下： y1AO1/21/2x12SA132所求概率1.SD4【評注 】此題也可先寫出兩個隨機變量的概率密度，然后利用它們的獨立性求得所求概率.17 .【分析 】由凹凸性判別方法和隱函數(shù)的求導可得.【詳解 】 方程 y ln y xy 0 兩邊對x求導得y ln y y y1 y 0 ，y專業(yè)資料整理WORD格式- 8 -專業(yè)資料整理WORD格式即 y (2 ln y)1，那么1y (1).2上式兩邊再對 x 求導得y2y (2ln y)0y1，所以曲線 yy( x) 在點 (1,1)附近是凸的.那么 y (1)8【評注 】此題為根底題型 .18 .【分

20、析 】由于積分區(qū)域關于x, y 軸均對稱，所以利用二重積分的對稱性結論簡化所求積分.【詳解 】因為被積函數(shù)關于x, y 均為偶函數(shù)，且積分區(qū)域關于x, y 軸均對稱，所以f (x, y)df (x, y)d，其中 D1為 D 在第一象限內的局部.DD1而f ( x, y)dx2d1dD1xy 1,x 0, y 01 x y2,x 0, y 0x2y21x12x1dy22x1dydxx2 dydxdx0001 xx2y210x2y212 ln 12 .12所以f ( x, y)d142 ln12 .3D【評注 】被積函數(shù)包含x 2y 2時 , 可考慮用極坐標，解答如下：f (x, y)d1dx

21、2y 21 x y 21 x y 2x 0, y 0x0, y 022 dsin1cos dr0sincos2 ln(12) .19 . 【分析 】由所證結論f ( )g ( ) 可聯(lián)想到構造輔助函數(shù)F ( x)f (x)g ( x) ，然后根據(jù)題設條件利用羅爾定理證明.【詳解 】令 F (x)f (x)g( x) ，那么 F ( x) 在a,b上連續(xù)，在 (a,b) 內具有二階導數(shù)且F (a)F (b)0 . 1假設f (x), g( x)在(a, b)內同一點c取得最大值，那么f (c)g(c)F (c)0 ，于是由羅爾定理可得，存在1( a,c), 2(c,b) ，使得專業(yè)資料整理WOR

22、D格式- 9 -專業(yè)資料整理WORD格式F(1)F(2)0.再利用羅爾定理，可得存在( 1 , 2 ) ，使得F ( )0 ，即 f ( )g ( ) . 2假設f (x), g( x)在(a, b)內不同點c1, c2取得最大值，那么f (c1)g(c2 )M ，于是F (c1 )f (c1 )g(c1)0, F (c2 )f (c2 )g( c2 )0 ，于是由零值定理可得，存在c3(c1 , c2 ) ，使得 F (c3 )0于是由羅爾定理可得，存在1( a,c3 ), 2(c3 ,b) ，使得F(1)F(2)0.再利用羅爾定理，可得，存在( 1 ,2)，使得F () 0 ，即 f()

23、g ( ) .【評注 】對命題為 f ( n) () 0 的證明，一般利用以下兩種方法：方法一：驗證為 f(n 1)( x) 的最值或極值點，利用極值存在的必要條件或費爾馬定理可得證；方法二：驗證f ( n 1) ( x) 在包含x于其內的區(qū)間上滿足羅爾定理條件.20 .【分析 】此題考察函數(shù)的冪級數(shù)展開，利用間接法.【詳解 】 f (x)11111，而3x 4 ( x 4)( x 1) 5 x 4 x 1x21111x 1n( xn1)1n , 2 x 4 ，1x 43 1x3 n 03n 0331111n( 1)n ( x 1)nx 11 x 3 ，x 1n 1,x 1 2 12 n 02

24、n 022所以 f ( x)(x 1)n( 1)n ( x 1)n1( 1)nnn 102n 1n 1n 1 ( x 1)，n 03nn 032收斂區(qū)間為1 x3.【評注 】請記住常見函數(shù)的冪級數(shù)展開.21 .【分析 】將方程組和方程合并，然后利用非齊次線性方程有解的判定條件求得a .【詳解 】將方程組和方程合并，后可得線性方程組專業(yè)資料整理WORD格式-10-專業(yè)資料整理WORD格式x1x2x30x12x2ax302x14x2a x30x12x2x3a 1其系數(shù)矩陣11101110A12a001a10.1 4 a200 3 a2 1 0121a 1010a11110111001a1001a1

25、00 0 a23a 2 00 01 a.a 10 01 aa 10 0 (a 1)(a 2)0顯然，當 a1, a2 時無公共解.當時，可求得公共解為Ta1k 1 , 0 ,1為任意常數(shù)；, k當 a2 時，可求得公共解為T0,1, 1.【評注 】此題為根底題型，考察非齊次線性方程組解的判定和構造.22【分析 】此題考察實對稱矩陣特征值和特征向量的概念和性質.【詳解】IB1A54A3E 15435431 12 1，1 11 1111則 1是矩陣 B 的屬于2的特征向量.同理可得532 ，B543133.B 224 2 12333所以 B 的全部特征值為2，1， 1設B的屬于1 的特征向量為2( x1, x2 , x3 )T，顯然 B 為對稱矩陣，所以根據(jù)不同特征值所對應的特征向量正交，可得T120 .即x1x2x30 ，解方程組可得B 的屬于1的特征向量2k1 (1,0, 1)Tk2 (0,1,0) T，其中 k1 , k2為不全為零的任意常數(shù).由前可知 B 的屬于2的特征向量為k3 (1, 1,1)T，其中 k3不為零.專業(yè)資料整理WORD格式-11-專業(yè)資料整理WORD格式101100