解三角形復(fù)習(xí)7月25日更新

1、(圖11-2)解三角形探索研究 如圖11-2，在RtABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c, 根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有，又,，從而在直角三角形ABC中， 思考：那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？ 如圖11-3，當(dāng)ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=,則， 同理可得， 從而 從上面的研探過(guò)程，可得以下定理正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即 理解定理（1）正弦定理說(shuō)明同一三角形中，邊與其對(duì)角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使，；（2）等價(jià)于，從而知正弦定理的基本作用為：已知三角形的任意兩角及

2、其一邊可以求其他邊，如；已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值，如一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過(guò)程叫作解三角形（1）定理的表示形式：2R(R為外接圓半徑)= （2）正弦定理的應(yīng)用范圍：已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；已知兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)和方法，可用什么途徑來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題？用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c由于涉及邊長(zhǎng)問(wèn)題，從而可以考慮用向量來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題 (圖11-5)如圖11-5， 于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍即 ，從余

3、弦定理，又可得到以下推論： ，理解定理從而知余弦定理及其推論的基本作用為：已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；已知三角形的三條邊就可以求出其它角（備注：三條邊的比例知道任然可求）若ABC中，C=，則，這時(shí)由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例例題分析例1在ABC中，已知，求b及A評(píng)述：解法二應(yīng)注意確定A的取值范圍例2在ABC中，已知a,b ,c三邊，解三角形113解三角形的進(jìn)一步討論例1在ABC中，已知，討論三角形解的情況分析：先由可進(jìn)一步求出B；則 從而1當(dāng)A為鈍角或直角時(shí)，必須才能有且只有一解；否則無(wú)解2當(dāng)A為銳角時(shí)，如果，那么只有一解；如果，那么可以分下

4、面三種情況來(lái)討論：（1）若，則有兩解；（2）若，則只有一解；（3）若，則無(wú)解（以上解答過(guò)程詳見(jiàn)課本第910頁(yè)）評(píng)述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，只有當(dāng)A為銳角且時(shí)，有兩解；其它情況時(shí)則只有一解或無(wú)解隨堂練習(xí)1（1）在ABC中，已知，試判斷此三角形的解的情況（2）在ABC中，若，則符合題意的b的值有_個(gè)（3）在ABC中，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x的取值范圍（答案：（1）有兩解；（2）0；（3）例2在ABC中，已知，判斷ABC的類型 （注意：隨堂練習(xí)2（1）在ABC中，已知，判斷ABC的類型 （2）已知ABC滿足條件，判斷ABC的類型 （答案：（1）；（2）ABC是

5、等腰或直角三角形）例3在ABC中，面積為，求的值解：由得，則=3，即，從而.課堂練習(xí)（1）在ABC中，若，且此三角形的面積，求角C（2）在ABC中，其三邊分別為a、b、c，且三角形的面積，求角C（答案：（1）或；（2）.課時(shí)小結(jié)（1）在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無(wú)解等情形；（2）三角形各種類型的判定方法；（3）三角形面積定理的應(yīng)用求這個(gè)三角形的面積解三角形應(yīng)用舉例三角形面積以前我們就已經(jīng)接觸過(guò)了三角形的面積公式，今天我們來(lái)學(xué)習(xí)它的另一個(gè)表達(dá)公式例3.在ABC中，求證：（1）（2）+=2（bccosA+cacosB+abcosC）證明：（1）根據(jù)正弦定理，可設(shè) = = = k顯然 k0，所以左邊= =右邊（2）根據(jù)余弦定理的推論，右邊=2(bc+ca+ab) =(b+c- a)+(c+a-b)+(a+b-c)=a+b