函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用(一)

1、、學(xué)習(xí)指導(dǎo)1 函數(shù)性質(zhì)是函數(shù)的重點內(nèi)容，它包括函數(shù)定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性和對稱性，函數(shù)圖象是研究函數(shù)性質(zhì)的直觀工具，函數(shù)問題已成為高考永恒的熱點、重點考查的內(nèi)容之一，在選擇題、填空題和解答題三種題型中每年都有試題主要考查的內(nèi)容有函數(shù)、反函數(shù)的概念及性質(zhì)，函數(shù)的圖象及變換和以根本初等函數(shù)出現(xiàn)的綜合題及應(yīng)用題等，同時考查根本數(shù)學(xué)思想方法的運用及分析問題、解決問題的能力，試題設(shè)計新穎，表達了課改的方向2 理解映射、一一映射、函數(shù)、反函數(shù)的有關(guān)概念及其聯(lián)系映射是一種多對一和一對一的對應(yīng)，函數(shù)是一個特殊的映射，只有當(dāng)確定函數(shù)的映射是一一映射時，函數(shù)才具有反函數(shù)，反函數(shù)的定義域、值域是原函數(shù)

2、的值域和定義域，且有fa= b 1 b= a.3掌握根本初等函數(shù)的圖象，能熟練地運用函數(shù)圖象的平移、對稱、伸縮等變換畫函 數(shù)的圖象，會自覺運用圖象研究函數(shù)的性質(zhì)如定義域、值域、蛋調(diào)性、奇偶性等，討論方程的解的個數(shù)及解不等式等 三、典型例題【例1】2005年 湖南設(shè)P是 ABC內(nèi)任意一點，Saabc表示 ABC的面積,Sapbc“ Sa abc，RzABC，?3=SaABC'定義fp=入* 小假設(shè) g> abc 的重心,1fQ=2,3,6，那么A .點Q在厶GAB內(nèi) B.點Q在厶GBC內(nèi) C.點Q在厶GCA內(nèi)重合【解析】利用特殊值法，假設(shè) ABC是邊長為1的正三角形，易判斷點Q在厶

3、GAB內(nèi)【評析】此題考查了映射的定義及運用新定義分析、解決問題的能力在正確理解新定義的根底上，通過特殊三角形，運用篩選法求解變式題 由等式 x4+a1x3+a2x2+a3x+a4= x+14+b1x+13+b2x+12+b3x+1+b4,定義映射 fa1, a2, a3, a43+b2+b3+ b4，貝U f4, 3, 2, 1=A . 10B . 7C. - 1D . 0【例2】2005年天津設(shè)f-1 x是函數(shù)f x= * ax-a-x a > 1的反函數(shù)，貝U使f-1x> 1成立的x的取值范圍為AA自 +8B- m 曰A 2a ，B， 2a 【分析】思路一：先求f-1 x，再解

4、不等式思路二：利用反函數(shù)的定義，轉(zhuǎn)化為求fxx> 1的值域.解法一：先求得 f 1 x= log a x+ x2+1 a> 1，由 f 1x> 1 得 logax+. /+1> log aa,-x+ x2+1 >a，解得 x>葺.解法二:1 a> 1, fx=ax- a x為增函數(shù),根據(jù)函數(shù)與反函數(shù)的定義域、值域之間的關(guān)系,由廠1x> 1，即在x> 1的條件下求f X的值域. f x> f 11 =2 a - a 1a2-1 "2?.【評析】此題考查反函數(shù)的概念以及解不等式的能力.解法二巧妙地利用函數(shù)與反函數(shù)定義域、值域的關(guān)

5、系，以及函數(shù)的單調(diào)性，起到了事半功倍的效果變式題 設(shè)f-1x是函數(shù)fX= . X的反函數(shù)，那么以下不等式中恒成立的是A . f-1Xw 2x- 1B. f-1Xw 2x+1C. f-1x> 2x- 1D. f-1 x> 2x+1【例3】2005年 湖北函數(shù)y= e'lnx ' -| x- 1丨的圖象大致是【解析】B，應(yīng)選D.ABC圖1-2-1法一：當(dāng)x>1時，y= 1，根據(jù)圖象排除C,取x = 2時，y = |> 1,排除A ,1法二：由得y= 1xx 1x 1CK xVx結(jié)合圖象選D.【評析】處理選圖問題，通常有兩種方法:方法一是采用選特殊點或利用函數(shù)

6、性質(zhì)排除，方法二直接作函數(shù)的圖象變式題 2005年 遼寧一給定函數(shù)y= f x的圖象在以下列圖中，并且對任意冇 0,1，由關(guān)系式an+1 = f an丨得到的數(shù)列an滿足an+1 > ann N*，那么該函數(shù)的圖象是CABD圖 1 - 2 2【例4】2005年上海對定義域分別是 Df, Dg的函數(shù)y= fx，y= gx.規(guī)定:f(x) g(x)當(dāng)XDf且 xDg函數(shù)h x= f (x)當(dāng)XDf且xDgg(x)當(dāng)XDf且xDg1假設(shè)函數(shù)f x=V,x-1g X=X2,寫出函數(shù)hx的解析式;2求問題1中函數(shù)hx的值域；3假設(shè)g X= f x+a，其中是常數(shù)，且 a 0 ,，請設(shè)計一個定義域為

7、R的函數(shù)y = fx及一個a的值，使得hx= cos4x，并予以證明.【分析】先仔細(xì)審題，理解題意.其中1 2問寫出h x的解析式是關(guān)鍵，第3問聯(lián)想相關(guān)三角函數(shù)求解.【解】 1由得2當(dāng) XM1 時,hxh(x)= x 1 x1,x1,1) (1,)各 x - 1+x11+2假設(shè)x 1,貝y hx4,其中等號當(dāng)x= 2時成立.假設(shè)XV 1,貝y hx0,其中等號當(dāng)x= 0時成立.函數(shù)h X的值域是一a, 0 U 1 U : 4, +8解法一：令 f x= sin2x+ cos2x, a=4那么 gX= f x+ a= sin2 x+ cos2 x+= cos2x - sin2x 44于是 h(x

8、) f (x) f (x a) (sin 2x cos2x)(cos2x sin2x) cos4x解法二：令 fx= 1+2sin2x, a= n 貝U g x= fx+ a= 1+JSsin 2x+2 2=1 . '2si n2x,于是 hx= fxfx+ a= 1+V2sin2x 1 V2sin2x= 1 2sin22x= cos4x.【評析】 此題主要考查分段函數(shù)、三角函數(shù)、函數(shù)的值域等根底知識，以及運用構(gòu)造法解題的能力解此題的關(guān)鍵是要準(zhǔn)確得出函數(shù)的解析式*【例5】2005年全國川函數(shù)f X42X7, x :0, 1 .1求 f X的單調(diào)區(qū)間和值域;2設(shè) a>1函數(shù) g x

9、= x3 3a2x 2a,x,假設(shè)對于任意X1 0, 1 ，總存在xo :0, 1 :,使得g X0= f X1成立，求a的取值范圍.【解】1對函數(shù)f X求導(dǎo)，得、-4x2+16x-7(2x-1)(2x-7)fx= 一(2-x)217令f'x= 0,解得x= 2或x=舍去當(dāng)x變化時，f'X，fX的變化情況如下表: 111 、X00, 222，11f ' X0+f X所以，當(dāng)x10,時，fX是減函數(shù);1時，fx是增函數(shù).當(dāng) x 土 1時，fX的值域為4, 3.2對函數(shù) gx求導(dǎo)，得 g'x= 3x2 a2.因為 a>1 當(dāng) x :0, 1時，g'xv

10、 3 1 a2< 0.因此當(dāng)x :0, 1時，gx為減函數(shù)，從而當(dāng) x :0 , 1時，有g(shù) 'x :g 1,又 g 1= 1 2a 3a2, g 0= 2a,即當(dāng) x : 0, 1時，有 g x : 1 2a 3a2, 2 a.任給 X1 : 0, 1 , f X1 : 4, 3 ,存在 X0 : 0, 1 使得 g X0= f X1，那么1 2a 3a2, 2 a 4, 31 2a 3a242a 3解式得a或a< 5，解式得a號又a >1故a的取值范圍為1它摻.【評析】 此題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)、不等式等根底知識，考查分析推理和知識的綜合應(yīng)用、轉(zhuǎn)化的能力.運用導(dǎo)數(shù)求值域的一般步驟是：求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于0,求y'= 0的根，求出最值點，寫出范圍值域方法技巧提煉1 討論函數(shù)的性質(zhì)時，必須堅持定義域優(yōu)先的原那么.對于函數(shù)實際應(yīng)用問題，注意挖掘隱含在實際中的條件，防止忽略實際意義對定義域的影響2運用函數(shù)的性質(zhì)解