經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)線性代數(shù)部分重難點(diǎn)解析

1、第三部 線性代數(shù)第1章 行列式1了解或理解一些基本概念（1）了解n 階行列式、余子式、代數(shù)余子式等概念；（2）了解n 階行列式性質(zhì)，尤其是：性質(zhì)1 行列式D與其轉(zhuǎn)置行列式相等；性質(zhì)2 若將行列式的任意兩行（或列）互換，則行列式的值改變符號(hào)；性質(zhì)3 行列式一行（或列）元素的公因子可以提到行列式記號(hào)的外面；性質(zhì)5 若將行列式的某一行（或列）的倍數(shù)加到另一行（或列）對(duì)應(yīng)的元素上，則行列式的值不變例1 設(shè)行列式，則中元素的代數(shù)余子式= 。 解 由代數(shù)余子式的定義，其中為的余子式，可知=。應(yīng)該填寫 。 例2 下列等式成立的是（ ） ，其中為常數(shù)。 A B C D解 因?yàn)?，所以選項(xiàng)A是錯(cuò)誤的。由行列式性

2、質(zhì)4可知，所以選項(xiàng)B是正確的。 因?yàn)?，所以選項(xiàng)C是錯(cuò)誤的。因?yàn)?，所以選項(xiàng)D是錯(cuò)誤的。例3 行列式= 。 解 按第1列展開行列式，得故應(yīng)該填寫 6。2掌握行列式的計(jì)算方法化三角形法：利用行列式性質(zhì)化成上（或下）三角行列式，其主對(duì)角線元素的乘積即為行列式的值。降階法：利用性質(zhì)將行列式的一行（列）化成只有一個(gè)（或兩個(gè)）非零元素，然后按這零元素最多的行（或列）化成低一階行列式，直至降到三階或二階行列式，最后直接計(jì)算。例4 計(jì)算行列式 。解 此行列式的特點(diǎn)是每一行或每一列的元素之和相等，利用這個(gè)特點(diǎn)將行列式的第二、三列都加到第一列相應(yīng)的元素上，再化為三角形行列式求值。=例5 計(jì)算行列式解 用降階法求之

3、。例6 計(jì)算行列式 解 用降階法求之。 =。3知道克拉默法則第2章 矩陣1了解或理解一些基本概念（1）了解矩陣和矩陣相等的概念；（2）了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對(duì)角矩陣、三角形矩陣和對(duì)稱矩陣的定義和性質(zhì)；（3）理解矩陣可逆與逆矩陣概念，知道矩陣可逆的條件；（4）了解矩陣秩的概念；（5）理解矩陣初等行變換的概念。例1 若A，B是兩個(gè)階方陣，則下列說法正確是（）。ABC.若秩秩則秩D.若秩秩則秩 解 A： 只是的充分條件，而不是必要條件，故A錯(cuò)誤；B：，矩陣乘法一般不滿足交換律，即，故B錯(cuò)誤；C：由秩秩說明A，B兩個(gè)矩陣都不是0矩陣，但它們的乘積有可能是0矩陣，故秩不一定成立，即C錯(cuò)誤；D：兩個(gè)滿秩

4、矩陣的乘積還是滿秩的，故D正確。例2 矩陣的秩是( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解 化成階梯形矩陣后，可知有3個(gè)非0行，故該矩陣的秩為3。例3 設(shè)矩陣 A=，則矩陣A與B的乘積AB的第3行第1列的元素的值是 。解 根據(jù)乘法法則可知，矩陣A與B的乘積AB的第3行第1列的元素的值是3×2（1）×99×03應(yīng)該填寫-3例4 設(shè)A是m´n矩陣,B是s´n矩陣, 則運(yùn)算有意義的是 。A BAB CATB DATBT 解 根據(jù)乘法法則可知，兩矩陣相乘，只有當(dāng)左矩陣的列數(shù)等于右矩陣的行數(shù)時(shí)，它們的乘積才有意義，故矩陣有意義。正確的選項(xiàng)是A。例5

5、設(shè)方程XAB=X，如果AI可逆，則X= 。解 由XAB=X，得XAX=B，X(AI)=B，故X= B(AI)1。應(yīng)該填寫B(tài)(AI)12 熟練掌握矩陣的加法、數(shù)乘、乘法和轉(zhuǎn)置等運(yùn)算，掌握這幾種運(yùn)算的有關(guān)性質(zhì)；3熟練掌握用矩陣的初等行變換將矩陣化為階梯形矩陣、行簡(jiǎn)化階梯形矩陣，熟練掌握用矩陣的初等行變換求矩陣的秩、逆矩陣。例6 設(shè)矩陣 ，計(jì)算 解：因?yàn)?= 所以 例7 已知矩陣，求常數(shù)a，b 。解 因?yàn)?由 ，得a = 3，b = 2 例8 設(shè)矩陣，求解矩陣方程 解 因?yàn)?所以 且 例9 設(shè)矩陣，計(jì)算. 解 因?yàn)?= 且 所以 = 例10 設(shè)矩陣，求逆矩陣 解：因?yàn)?，且 所以 例11 設(shè)A，B均

6、為n階對(duì)稱矩陣，則ABBA也是對(duì)稱矩陣 證 因?yàn)?，且 所以 ABBA是對(duì)稱矩陣 例12 設(shè)n階矩陣A滿足，則A為可逆矩陣 證 因?yàn)?，即。所以 A為可逆矩陣 第3章 線性方程組 1了解線性方程組的有關(guān)概念：n元線性方程組、線性方程組的矩陣表示、系數(shù)矩陣、增廣矩陣、一般解。2理解并熟練掌握線性方程組的有解判定定理；熟練掌握用消元法求線性方程組的一般解。例1 線性方程組的系數(shù)矩陣是( )。A2×3矩陣 B 3×2矩陣 C3階矩陣 D2階矩陣解 此線性方程組有兩個(gè)方程，有三個(gè)未知量，故它的系數(shù)矩陣是2×3矩陣。正確的選項(xiàng)是A。例2 線性方程組AX = B有唯一解，那么

7、AX = 0 ( )。A可能有非零解 B有無窮多解 C無解 D有唯一解解 線性方程組AX=B有唯一解，說明秩(A) = n，故AX = 0只有唯一解（零解）。正確的選項(xiàng)是D。例3 若線性方程組的增廣矩陣為，則當(dāng)（）時(shí)線性方程組有無窮多解。 A1B4C2D解 將增廣矩陣化為階梯形矩陣，此線性方程組未知量的個(gè)數(shù)是2，若它有無窮多解，則其增廣矩陣的秩應(yīng)小于2，即，從而，即正確的選項(xiàng)是D。例4 若非齊次線性方程組Am×nX = B有唯一解，那么有 ( )。 A秩(A，B)n B秩(A)n C秩(A)秩（A，B） D秩(A）秩(A，B)n解 根據(jù)非齊次線性方程組解的判斷定理可知D正確。例5 設(shè)線性方程組 ，求其系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩，并判斷其解的情況. 解 因?yàn)?所以 r(A) = 2，r() = 3. 又因?yàn)閞(A) ¹ r()，所以方程組無解. 例6 求線性方程組 的一般解 解： 因?yàn)橄禂?shù)矩陣 所以，一般解為：， 其中，是自由未知量 例7 求解線性方程組 解 將增廣矩陣化成階梯形矩陣因?yàn)?秩