談?wù)勌骄繉?shí)驗(yàn)中的數(shù)據(jù)作圖與圖像分析

1、談?wù)勌骄繉?shí)驗(yàn)中的數(shù)據(jù)作圖與圖像分析葉鵬松（蘇州市工業(yè)園區(qū)蓮花學(xué)校，215123） 摘要：本文詳細(xì)闡述了中學(xué)物理探究性實(shí)驗(yàn)中數(shù)據(jù)作圖與圖像分析的基本方法與規(guī)范，并對(duì)Excel等軟件在數(shù)據(jù)處理及圖像分析中的具體應(yīng)用進(jìn)行了深入探討 關(guān)鍵詞：探究實(shí)驗(yàn)；數(shù)據(jù)作圖；圖像分析數(shù)據(jù)作圖和圖像分析是科學(xué)研究的重要方法，它不僅可以用圖示的方式直觀地展示測(cè)量的結(jié)果，而且還可以清晰地揭示出各變量之間的變化關(guān)系與變化趨勢(shì)，因此在各類科學(xué)研究中有著非常廣泛的應(yīng)用然而現(xiàn)行的初高中科學(xué)類教材卻對(duì)此缺乏系統(tǒng)介紹，以至于許多重要實(shí)驗(yàn)規(guī)律的獲取過程被形式化或過分簡(jiǎn)約化1，這既不利于學(xué)生科學(xué)掌握數(shù)據(jù)作圖的基本方法與規(guī)范，也不利于培養(yǎng)

2、學(xué)生必要的數(shù)據(jù)圖形分析能力，一定程度上制約了學(xué)生綜合探究能力與素養(yǎng)的提升隨著探究性實(shí)驗(yàn)活動(dòng)在中學(xué)開展的不斷深入，筆者認(rèn)為很有必要就這一方法的科學(xué)應(yīng)用作一下探討下面筆者將結(jié)合中學(xué)物理教學(xué)的常見案例，就探究性實(shí)驗(yàn)中的數(shù)據(jù)作圖與圖像分析及其應(yīng)用向大家作分析交流1 作圖規(guī)范下表是探究彈簧長(zhǎng)度與所受拉力關(guān)系時(shí)，獲得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：F (N)0.490.981.471.962.452.943.43L (m)0.2490.3500.4400.5100.5600.6500.730若以圖示的形式展示這些測(cè)量結(jié)果，一般可遵循以下方法和步驟：（1）在坐標(biāo)紙上建立直角坐標(biāo)系，水平軸畫于紙的底端，縱軸畫于紙的左端，圖應(yīng)盡可

3、能大一些，大的圖有利于提高作圖精確度（2）明確自變量和應(yīng)變量，并標(biāo)于相應(yīng)的坐標(biāo)軸上自變量是指那些實(shí)驗(yàn)中數(shù)值可以直接設(shè)定或加以控制的變量，本實(shí)驗(yàn)中自變量是指拉力F；應(yīng)變量是指那些實(shí)驗(yàn)中數(shù)值無法直接加以控制的變量，它可以看作是自變量變化的結(jié)果，本實(shí)驗(yàn)中應(yīng)變量是指彈簧長(zhǎng)度L根據(jù)約定，自變量應(yīng)畫于水平軸，應(yīng)變量應(yīng)畫于豎直軸另外，對(duì)于時(shí)間這一變量而言，人們總是將它畫于水平軸上（3）確定每個(gè)變量變化的范圍，選擇合適的比例標(biāo)度，并標(biāo)于相應(yīng)的坐標(biāo)軸上（4）標(biāo)明每個(gè)坐標(biāo)軸所代表的變量名稱及其單位符號(hào)圖1(a) 圖1(b)（5）為圖表加上標(biāo)題，表明圖表反映的內(nèi)容（6）在坐標(biāo)紙上精確標(biāo)定各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，用圓點(diǎn)或小叉&#

4、215;標(biāo)記各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的位置繪制一條最適合的光滑圖線，讓它盡可能地通過或靠近所有數(shù)據(jù)點(diǎn)圖線可能是直線，也可能是曲線此實(shí)驗(yàn)中為一條直線如果繪制正確的話，未在圖線上的少量數(shù)據(jù)點(diǎn)幾乎等量分布在圖線兩側(cè)，這樣的圖線有利于我們減小各種測(cè)量帶來的偶然誤差這種畫圖的方法常稱為描點(diǎn)法注意切不可以簡(jiǎn)單地用線段直接將各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)分別相連完成（1）至（4）步驟的圖形如圖1（a）所示，完成（5）至（6）步驟的圖形如圖1（b）所示，它直觀地展示出彈簧長(zhǎng)度隨拉力增大而均勻增加的線性關(guān)系2 圖像分析繪制圖像不是實(shí)驗(yàn)探究的最終目的，探究的目的是通過繪制圖像，找出或發(fā)現(xiàn)隱含于其中的變量間的變化關(guān)系，就像開普勒從第谷的觀測(cè)數(shù)據(jù)中發(fā)

5、現(xiàn)開普勒三定律一樣下面結(jié)合圖1（b）再談?wù)剤D像分析的一般方法和步驟：2.1 直線方程的推導(dǎo)圖1（b）顯示了彈簧長(zhǎng)度與所受拉力之間具有線性關(guān)系，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)，它應(yīng)符合方程y=ax+b（其中a為直線斜率，b為縱軸截距），那么如何推導(dǎo)這一線性方程的具體表達(dá)式呢？以下是常用的方法和步驟：（1）在直線上選取距離足夠大的兩個(gè)點(diǎn)（2）分別求出這兩點(diǎn)之間的水平變化量和豎直變化量（3）算出直線的斜率a=（4）找出直線在縱軸上的截距b（5）用實(shí)際變量的符號(hào)和計(jì)算結(jié)果代換直線方程y=ax+b對(duì)于本實(shí)驗(yàn)，圖1（b）中的各變量數(shù)據(jù)關(guān)系方程可表示為L(zhǎng)=0.15 F+0.20由于這類關(guān)系式來自實(shí)驗(yàn)，所以又常被稱作經(jīng)驗(yàn)公式（

6、6）圖2闡述圖像的斜率與截距的含義 圖像的中的斜率a=0.15m/N，它表明在實(shí)驗(yàn)范圍內(nèi)，每增加1N的拉力，該彈簧就增加0.15m的伸長(zhǎng)；圖像中縱軸的截距為0.20m，這是F=0時(shí)彈簧的長(zhǎng)度，它就是該彈簧的初始長(zhǎng)度完成上述步驟對(duì)應(yīng)的圖像如圖2所示2.2 內(nèi)插法與外推法圖3結(jié)合所繪圖像，可以非常方便地由一個(gè)變量的數(shù)值推測(cè)出另一變量的數(shù)值，例如從圖1中我們既可以找出當(dāng)彈簧的長(zhǎng)度L=0.40m時(shí)，它所受的拉力F=1.30 N；又可以得出當(dāng)彈簧所受拉力F=3.92N時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度L=0.80m，如圖3所示但二者在方法上略有不同，前者是在實(shí)驗(yàn)測(cè)量范圍內(nèi)尋找另一變量的數(shù)值，它推算出的結(jié)果可靠，這種方法稱為

7、內(nèi)插法；而后者是在實(shí)驗(yàn)測(cè)量范圍以外，尋找另一變量的數(shù)值，結(jié)果有時(shí)不可靠，這種方法稱為外推法很顯然，如果拉力取值太大，會(huì)超出彈簧所能承受的彈性限度，這一線性關(guān)系可能不再成立，因此圖中這一部分用虛線加以表示當(dāng)然，內(nèi)插法與外推法也可結(jié)合所導(dǎo)出的直線方程進(jìn)行，這時(shí)只需將某一變量的數(shù)值代入方程，即可求出另一變量2.3 對(duì)其他線型的分析除了簡(jiǎn)單的線型關(guān)系外，探究實(shí)驗(yàn)中還會(huì)遇到其他許多較為復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系，如理想氣體等溫變化時(shí)，氣體壓強(qiáng)與體積的反比關(guān)系，自由落體下落高度與下落時(shí)間的平方關(guān)系，單擺做簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)的周期與擺長(zhǎng)平方根之間的關(guān)系等等，他們的關(guān)系圖線分別如圖4左側(cè)所示，對(duì)于這些關(guān)系圖線又如何加以分析呢？通

8、?？刹捎没鸀橹钡姆椒?，即通過坐標(biāo)變換，將曲線圖轉(zhuǎn)換為直線圖來加以分析處理，具體過程如圖4右側(cè)所示hth=gt2ht2h=gt200TLT00PVPV=cP1/VP=c/V00斜率為c斜率為斜率為轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為圖4以上列舉的各種關(guān)系，實(shí)質(zhì)都是一種冪函數(shù)關(guān)系，指數(shù)分別為-1，2，1/2有時(shí)若不能明確指數(shù)的數(shù)值，我們還可以采用對(duì)數(shù)坐標(biāo)來進(jìn)行分析例如假設(shè)球的體積與球的半徑之間滿足V=krn，k為比例系數(shù), n為指數(shù)若要確定k和n 的數(shù)值，可先將它兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得出lgV=nlgr+lgk；再作出lgV對(duì)lgr的直線圖，結(jié)果如圖5所示最后再根據(jù)圖形推得它的斜率n，根據(jù)截距推出k這樣我們就可由實(shí)驗(yàn)

9、推導(dǎo)出球的體積公式，并可用它來檢驗(yàn)理論公式的正確性lgVVr00截距為lgk斜率為nlgr圖53 計(jì)算機(jī)軟件在作圖與圖像分析中的應(yīng)用以上介紹的是一些探究性實(shí)驗(yàn)中作圖及圖像分析的基本方法和過程，其實(shí)，隨著信息技術(shù)的發(fā)展與普及，有很多計(jì)算機(jī)軟件可以幫助我們自動(dòng)完成這一過程例如微軟的Excel軟件就是一個(gè)功能強(qiáng)大的圖表制作與分析軟件，它不僅可以幫我們輕松完成各種圖形的制作，而且還能運(yùn)用統(tǒng)計(jì)分析功能找出最合適的圖線靈活地運(yùn)用這些軟件，不僅可以提高圖形制作與分析的效率，而且更為重要的是，還提高圖形分析與結(jié)果的準(zhǔn)確性下面以學(xué)生探究單擺簡(jiǎn)諧振動(dòng)周期T與擺長(zhǎng)L關(guān)系2時(shí)，獲得的一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為例，談?wù)凟xcel在

10、這方面應(yīng)用的基本方法和過程L (m)1.12401.01100.89900.84200.72800.6114T ( s )2.122.021.901.841.711.57(注：實(shí)驗(yàn)中擺球質(zhì)量m=43.0g，半徑 r=1.10cm，初始擺角=10°)啟動(dòng)工作表，在各標(biāo)題列輸入相應(yīng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（1）數(shù)據(jù)預(yù)處理利用Excel的函數(shù)計(jì)算功能，對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行再處理本實(shí)驗(yàn)中可根據(jù)擺長(zhǎng)算出擺的平方根，并填入列，如圖6（2）繪制圖像：選中作圖的數(shù)據(jù)區(qū)域(B2:C7)，在工具欄中按一下作圖按鈕創(chuàng)建圖形 在圖表類型中選擇散點(diǎn)圖 在標(biāo)題框中輸入圖表標(biāo)題 在數(shù)值(x)軸框內(nèi)輸入自變量名稱和單位符號(hào) 圖6在數(shù)值(

11、y)軸框內(nèi)輸入應(yīng)變量名稱和單位符號(hào)點(diǎn)及完成按鈕（3）數(shù)據(jù)擬合選中所作圖表，點(diǎn)擊菜單欄“圖表”按鈕，選中“添加趨勢(shì)線”也可以在圖表區(qū)數(shù)據(jù)散點(diǎn)上按右鍵，選擇“添加趨勢(shì)線”在添加趨勢(shì)線類型中選擇“線性”選項(xiàng)在添加趨勢(shì)線選項(xiàng)中選中“設(shè)置截距為0”和“顯示公式復(fù)選框” 圖表區(qū)會(huì)自動(dòng)擬合并繪制出最佳直線，并顯示出它的方程（4）保存工作表R2=0.9999當(dāng)完成上述步驟后，保存工作表單擺簡(jiǎn)諧振動(dòng)周期與擺長(zhǎng)關(guān)系圖如圖7所示（5）分析方程的斜率和截距圖7Excel 對(duì)這一線性擬合趨勢(shì)線給出的R2（相關(guān)系數(shù)的平方）為0. 9999, 非常接近于1, 這也充分說明：在整個(gè)實(shí)驗(yàn)的擺長(zhǎng)變化范圍內(nèi)，單擺的簡(jiǎn)諧振動(dòng)周期T與

12、單擺擺長(zhǎng)的平方根之間存在正比關(guān)系由趨勢(shì)線擬合的方程可知，該直線的斜率為 ，對(duì)照單擺簡(jiǎn)諧振動(dòng)周期公式，可得這一斜率數(shù)值與當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭的取值有關(guān)，它應(yīng)等于，這樣就可根據(jù)數(shù)據(jù)擬合得出的斜率值，測(cè)得蘇州重力加速度為g測(cè)=9.82m/s2. 結(jié)果很準(zhǔn)確，它與蘇州當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊臉?biāo)準(zhǔn)值g=9.794m/s2相比誤差極小顯然，這一過程同以往高中物理課本中單純地測(cè)重力加速度的實(shí)驗(yàn)相比，更突出了實(shí)驗(yàn)探究的思想和技能 基于上述思想，筆者還依托綜合實(shí)踐活動(dòng)課程，開設(shè)了科學(xué)探究中實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的圖表分析3專題學(xué)習(xí)網(wǎng)站，:8080/dataanalysis/dataanalysis.htm上面列舉了許多有關(guān)數(shù)據(jù)分析處理

13、的實(shí)例，可以有效指導(dǎo)學(xué)生在數(shù)據(jù)采集的基礎(chǔ)上，自主發(fā)現(xiàn)開普勒第三定律、哈勃定律、剎車規(guī)律、收尾速度規(guī)律4、拋體最佳投擲角5等一系列實(shí)驗(yàn)規(guī)律，從而有效提高了學(xué)生信息化背景下的探究能力除Excel軟件外，還有一些小巧的專業(yè)軟件也可用于探究實(shí)驗(yàn)的作圖和圖像分析，例如：Equation Grapher with Regression Analyzer和 Graphical analysis 都是很不錯(cuò)的數(shù)據(jù)圖像分析軟件，尤其是Graphical analysis，筆者2002年在新西蘭進(jìn)修時(shí)，就看到許多新西蘭學(xué)校學(xué)生在探究實(shí)驗(yàn)中，熟練地運(yùn)用它來處理分析數(shù)據(jù)，探究實(shí)驗(yàn)規(guī)律，非常專業(yè)，很值得國(guó)內(nèi)教學(xué)借鑒。目前該軟件還推出了面向移動(dòng)終端的軟件版本，有興趣的讀者可分別到下列網(wǎng)站下載這些軟件的試用版：uationgrapher和對(duì)比國(guó)外實(shí)驗(yàn)教學(xué)，感到國(guó)內(nèi)物理教材編寫時(shí)可進(jìn)一步突出探究實(shí)驗(yàn)教學(xué)中數(shù)據(jù)作圖與圖像分析的系統(tǒng)性介紹，同時(shí)加強(qiáng)物理學(xué)科知識(shí)與信息技術(shù)應(yīng)用的有機(jī)整合，突出信息化背景下科學(xué)探究的時(shí)代性和實(shí)效性。參考文獻(xiàn)：1楊勇誠(chéng)，巧用Excel軟件處理物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的教學(xué)案例，物理教學(xué)，第34卷第