考研數(shù)學(xué)重點及難點歸納輔導(dǎo)筆記63081

1、數(shù)學(xué)重點、難點歸納輔導(dǎo) 第一部分第一章 集合與映射 §1.集合 §2.映射與函數(shù)本章教學(xué)要求：理解集合的概念與映射的概念，掌握實數(shù)集合的表示法，函數(shù)的表示法與函數(shù)的一些基本性質(zhì)。第二章 數(shù)列極限 §1.實數(shù)系的連續(xù)性§2.數(shù)列極限 §3.無窮大量§4.收斂準(zhǔn)則本章教學(xué)要求：掌握數(shù)列極限的概念與定義，掌握并會應(yīng)用數(shù)列的收斂準(zhǔn)則，理解實數(shù)系具有連續(xù)性的分析意義，并掌握實數(shù)系的一系列基本定理。 第三章 函數(shù)極限與連續(xù)函數(shù) §1.函數(shù)極限§2.連續(xù)函數(shù) §3.無窮小量與無窮大量的階§4.閉區(qū)間上的連續(xù)函

2、數(shù)本章教學(xué)要求：掌握函數(shù)極限的概念，函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系，無窮小量與無窮大量階的估計，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)。 第四章 微 分 §1.微分和導(dǎo)數(shù)§2.導(dǎo)數(shù)的意義和性質(zhì) §3.導(dǎo)數(shù)四則運算和反函數(shù)求導(dǎo)法則§4.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及其應(yīng)用§5.高階導(dǎo)數(shù)和高階微分本章教學(xué)要求：理解微分，導(dǎo)數(shù)，高階微分與高階導(dǎo)數(shù)的概念，性質(zhì)及相互關(guān)系，熟練掌握求導(dǎo)與求微分的方法。 第五章 微分中值定理及其應(yīng)用 §1.微分中值定理§2.LHospital法則§3.插值多項式和Taylor公式§4.函數(shù)的Taylor公式及其應(yīng)

3、用§5.應(yīng)用舉例§6.函數(shù)方程的近似求解本章教學(xué)要求：掌握微分中值定理與函數(shù)的Taylor公式，并應(yīng)用于函數(shù)性質(zhì)的研究，熟練運用LHospital法則計算極限，熟練應(yīng)用微分于求解函數(shù)的極值問題與函數(shù)作圖問題。 第六章 不定積分 §1.不定積分的概念和運算法則§2.換元積分法和分部積分法§3.有理函數(shù)的不定積分及其應(yīng)用本章教學(xué)要求：掌握不定積分的概念與運算法則，熟練應(yīng)用換元法和分部積分法求解不定積分，掌握求有理函數(shù)與部分無理函數(shù)不定積分的方法。 第七章 定積分（§1 §3） §1.定積分的概念和可積條件 §

4、2.定積分的基本性質(zhì)§3.微積分基本定理 第七章 定積分（§4 §6） §4.定積分在幾何中的應(yīng)用§5.微積分實際應(yīng)用舉例§6.定積分的數(shù)值計算本章教學(xué)要求：理解定積分的概念，牢固掌握微積分基本定理：牛頓萊布尼茲公式，熟練定積分的計算，熟練運用微元法解決幾何，物理與實際應(yīng)用中的問題，初步掌握定積分的數(shù)值計算。 第八章 反常積分 §1.反常積分的概念和計算§2.反常積分的收斂判別法本章教學(xué)要求：掌握反常積分的概念，熟練掌握反常積分的收斂判別法與反常積分的計算。 第九章 數(shù)項級數(shù) §1.數(shù)項級數(shù)的收斂性

5、67;2.上級限與下極限§3.正項級數(shù)§4.任意項級數(shù)§5.無窮乘積本章教學(xué)要求：掌握數(shù)項級數(shù)斂散性的概念，理解數(shù)列上級限與下極限的概念，熟練運用各種判別法判別正項級數(shù)，任意項級數(shù)與無窮乘積的斂散性。 第十章 函數(shù)項級數(shù) §1.函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性§2.一致收斂級數(shù)的判別與性質(zhì)§3.冪級數(shù)§4.函數(shù)的冪級數(shù)展開§5.用多項式逼近連續(xù)函數(shù)本章教學(xué)要求：掌握函數(shù)項級數(shù)（函數(shù)序列）一致收斂性概念，一致收斂性的判別法與一致收斂級數(shù)的性質(zhì)，掌握冪級數(shù)的性質(zhì)，會熟練展開函數(shù)為冪級數(shù)，了解函數(shù)的冪級數(shù)展開的重要應(yīng)用。 第十一章

6、 Euclid空間上的極限和連續(xù) §1.Euclid空間上的基本定理§2.多元連續(xù)函數(shù)§3.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)本章教學(xué)要求：了解Euclid空間的拓?fù)湫再|(zhì)，掌握多元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，區(qū)分它們與一元函數(shù)對應(yīng)概念之間的區(qū)別，掌握緊集上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。 第十二章 多元函數(shù)的微分學(xué)（§1§5） §1.偏導(dǎo)數(shù)與全微分§2. 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則§3.Taylor公式§4.隱函數(shù)§5.偏導(dǎo)數(shù)在幾何中的應(yīng)用 第十二章 多元函數(shù)的微分學(xué)（§6§7） §6.無條件極值§

7、;7.條件極值問題與Lagrange乘數(shù)法本章教學(xué)要求：掌握多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與微分的概念，區(qū)分它們與一元函數(shù)對應(yīng)概念之間的區(qū)別，熟練掌握多元函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)方法，掌握偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用，掌握求多元函數(shù)無條件極值與條件極值的方法。 第十三章 重積分 §1.有界閉區(qū)域上的重積分§2.重積分的性質(zhì)與計算§3.重積分的變量代換§4.反常重積分§5.微分形式本章教學(xué)要求：理解重積分的概念，掌握重積分與反常重積分的計算方法，會熟練應(yīng)用變量代換法計算重積分，了解微分形式的引入在重積分變量代換的表示公式上的應(yīng)用。 第十四章 曲線積分與曲面積分 §

8、1.第一類曲線積分與第一類曲面積分§2.第二類曲線積分與第二類曲面積分 §3.Green公式，Gauss公式和Stokes公式§4.微分形式的外微分§5.場論初步本章教學(xué)要求：掌握二類曲線積分與二類曲面積分的概念與計算方法，掌握Green公式，Gauss公式和Stokes公式的意義與應(yīng)用，理解外微分的引入在給出Green公式，Gauss公式和Stokes公式統(tǒng)一形式上的意義，對場論知識有一個初步的了解。 第十五章 含參變量積分 §1.含參變量的常義積分 §2.含參變量的反常積分§3.Euler積分本章教學(xué)要求：掌握含參變量常

9、義積分的性質(zhì)與計算，掌握含參變量反常積分一致收斂的概念，一致收斂的判別法，一致收斂反常積分的性質(zhì)及其在積分計算中的應(yīng)用，掌握Euler積分的計算。 第十六章 Fourier級數(shù) §1.函數(shù)的Fourier級數(shù)展開§2. Fourier級數(shù)的收斂判別法 §3. Fourier級數(shù)的性質(zhì)§4. Fourier變換和Fourier積分§5.快速Fourier變換本章教學(xué)要求：掌握周期函數(shù)的Fourier級數(shù)展開方法，掌握Fourier級數(shù)的收斂判別法與Fourier級數(shù)的性質(zhì)，對Fourier變換與Fourier積分有一個初步的了解。試題一、解答下列

10、各題1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、二、解答下列各題1、2、3、三、解答下列各題四、解答下列各題 第二部分（1） 課程名稱：微分幾何（2） 基本內(nèi)容：三維空間中經(jīng)典的曲線和曲面的理論。主要內(nèi)容有：曲線論，內(nèi)容包括：曲線的切向量與弧長；主法向量與從法向量；曲率與擾率；Frenet標(biāo)架與Frenet公式；曲線的局部結(jié)構(gòu)；曲線論的基本定理；平面曲線的一些整體性質(zhì)，如切線的旋轉(zhuǎn)指標(biāo)定理，凸曲線的幾何性質(zhì)，等周不等式，四頂點定理與Cauchy-Crofton公式；空間曲線的一些整體性質(zhì)，如球面的Crofton公式，F(xiàn)enchel定理與Fary-Milnor定

11、理。曲面的局部理論，內(nèi)容包括：曲面的表示、切向量、法向量；旋轉(zhuǎn)曲面、直紋面與可展曲面；曲面的第一基本形式與內(nèi)蘊量；曲面的第二基本形式；曲面上的活動標(biāo)架與基本公式；Weingarten變換與曲面的漸近線、共扼線；法曲率；主方向、主曲率與曲率線；Gauss曲率和平均曲率；曲面的局部結(jié)構(gòu)；Gauss映照與第三基本形式；全臍曲面、極小曲面與常Gauss曲率曲面；曲面論的基本定理；測地曲率與測地線；向量的平行移動。基本要求：通過本課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)掌握曲線論與曲面論中的一些基本幾何概念與研究微分幾何的一些常用方法。以便為以后進一步學(xué)習(xí)、研究現(xiàn)代幾何學(xué)打好基礎(chǔ)；另一方面培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實際和分析問題解決問

12、題的能力。二、講授綱要第一章 三維歐氏空間的曲線論 §1 曲線 曲線的切向量 弧長教學(xué)要求：理解曲線的基本概念、會求曲線的切向量與弧長、會用弧長參數(shù)表示曲線。§2 主法向量與從法向量 曲率與擾率 教學(xué)要求：理解曲率與撓率、主法向量與從法向量、密切平面與從切平面等基本概念，會計算曲率與撓率。§3 Frenet標(biāo)架 Frenet公式 教學(xué)要求：掌握Frenet公式，能運用Frenet公式去解決實際問題。§4 曲線在一點鄰近的性質(zhì) 教學(xué)要求：能表達曲線在一點領(lǐng)域內(nèi)的局部規(guī)范形式，理解擾率符號的集合意義。§5 曲線論基本定理 教學(xué)要求：掌握曲線論的基本

13、定理，能求已知曲率與擾率的一些簡單的曲線。§6 平面曲線的一些整體性質(zhì)61 關(guān)于閉曲線的一些概念62 切線的旋轉(zhuǎn)指標(biāo)定理63 凸曲線*64 等周不等式*65 四頂點定理*66 Cauchy-Crofton公式*教學(xué)要求：理解平面曲線的一些基本概念：閉曲線、簡單曲線、切線像、相對全曲 率、旋轉(zhuǎn)指標(biāo)、凸曲線。掌握平面曲線的一些整體性質(zhì)：簡單閉曲線切線的旋轉(zhuǎn)指標(biāo)定理，凸曲線的幾何性質(zhì)，等周不等式，四頂點定理與Cauchy-Crofton公式。§7 空間曲線的整體性質(zhì) 71 球面的Crofton公式*72 Fenchel定理*73 Fary-Milnor定理* 教學(xué)要求：理解全曲率

14、的概念。掌握空間曲線的一些整體性質(zhì)：球面的Crofton公式，F(xiàn)enchel定理與Fary-Milnor定理。第二章 三維歐氏空間中曲面的局部幾何 §1 曲面的表示 切向量 法向量 11 曲面的定義12 切向量 切平面13 法向量14 曲面的參數(shù)表示15 例16 單參數(shù)曲面族 平面族的包絡(luò)面 可展曲面教學(xué)要求：掌握曲面的三種局部解析表示；會求曲面的切平面與法線；了解旋轉(zhuǎn)曲面與直紋面的表示；掌握可展曲面的特征。 §2 曲面的第一、第二基本形式 21 曲面的第一基本形式22 曲面的正交參數(shù)曲線網(wǎng)23 等距對應(yīng) 曲面的內(nèi)蘊幾何24 共形對應(yīng)25 曲面的第二基本形式 教學(xué)要求：掌握

15、曲面的第一基本形式及相關(guān)量曲面上曲線的弧長、兩相交曲線的交角與面積的計算，并理解其幾何意義；了解等距對應(yīng)與共形對應(yīng)；掌握第二基本形式。 §3 曲面上的活動標(biāo)架 曲面的基本公式 31 省略和式記號的約定 32 曲面上的活動標(biāo)架 曲面的基本公式 33 Weingarten變換W 34 曲面的共軛方向 漸近方向 漸近線 教學(xué)要求：掌握曲面上的活動標(biāo)架與曲面的基本公式，能求正交參數(shù)曲線網(wǎng)的聯(lián)絡(luò)系數(shù)；理解Weingarten變換與共軛方向、漸近方向，會求一些簡單曲線的漸近曲線。 §4 曲面上的曲率 41 曲面上曲線的法曲率42 主方向 主曲率43 Dupin標(biāo)線44 曲率線45 主曲

16、率及曲率線的計算 總曲率 平均曲率46 曲率線網(wǎng)47 曲面在一點的鄰近處的形狀48 Gauss映照及第三基本形式49 總曲率、平均曲率滿足某些性質(zhì)的曲面教學(xué)要求：理解法曲率、主方向與主曲率、曲率線、總曲率和平均曲率概念與幾何意義，并會對它們進行計算；掌握Gauss映照及第三基本形式；能對全臍曲面與總曲率為零的曲面進行分類；掌握極小曲面的幾何意義并會求一些簡單的極小曲面。 §5 曲面的基本方程及曲面論的基本定理 51 曲面的基本方程 52 曲面論的基本定理 教學(xué)要求：掌握、理解曲面的基本方程與曲面論基本定理。 §6 測地曲率 測地線 61 測地曲率向量 測地曲率 62 計算測

17、地曲率的Liouville公式 63 測地線 64 法坐標(biāo)系 測地極坐標(biāo)系 測地坐標(biāo)系 65 應(yīng)用 66 測地擾率 67 Gauss-Bonnet公式 教學(xué)要求：理解與掌握測地曲率和測地線、測地擾率、法坐標(biāo)系、測地極坐標(biāo)系與測地坐標(biāo)系的定義及其幾何意義；能用Liouville公式計算測地曲率與測地線；能用測地極坐標(biāo)系對總曲率為常數(shù)的曲面進行研究；理解（局部）Gauss-Bonnet公式。 §7 曲面上的向量的平行移動 71 向量沿曲面上一條曲線的平行移動 絕對微分72 絕對微分的性質(zhì)73 自平行曲線74 向量繞閉曲線一周的平行移動 總曲率的又一種表示75 沿曲面上曲線的平行移動與歐氏

18、平面中平行移動的關(guān)系 教學(xué)要求：理解向量沿曲面上一條曲線的平行移動與絕對微分。習(xí)題：1. 證明推論，2. 設(shè)X，Y為Banach空間，是連續(xù)抽象函數(shù), 對有界線性算子，證明：在上可積，并且。3. 設(shè)到中的算子由給出，在任一元素處是否可導(dǎo)？若答案肯定，求導(dǎo)算子。4. 設(shè)是到中的一個映射。證明：在處沿方向的微分等于 grad f (x0) hT, 這里 grad f =（）, 在和 的情況下計算，又問：在處的導(dǎo)數(shù)是什么？當(dāng)時求。5. 設(shè)由定義，求在（1，2）處沿方向（1，1）的微分。解：寫，知，故所求微分為。6. 設(shè)、是賦范線性空間，：由定義，其，B(X, Y )，證明在處可微，且求其導(dǎo)算子。解：

19、，由于B(X, Y )，且在處是可微的，且。7. 設(shè)由確定，求在（1，2，1）處的導(dǎo)數(shù)。解：采用列向量表示，將變換成，故在處的 F 導(dǎo)數(shù)應(yīng)是變換的Jacobi矩陣，在處，此矩陣為，在列向量表示下，在（1，2，1）處的導(dǎo)數(shù)作為線性算子就是此常數(shù)矩陣決定的變換：右端即故在（1，2，1）處的導(dǎo)數(shù)就是將變換為的線性變換。備注1：這一答案保持了原題用行向量敘述的方式。備注2：當(dāng)表示為，我們可得在處的導(dǎo)數(shù)是：，即，故 或 ，算子對向量的作用以相應(yīng)的矩陣對向量的左乘表示。 第三部分 1. 高等代數(shù)基本定理 設(shè)為數(shù)域。以表示系數(shù)在上的以為變元的一元多項式的全體。如果，則稱為的次數(shù)，記為。定理（高等代數(shù)基本定理） C的任一元素在C中必有零點。命題 設(shè)是C上一個次多項式，是一個復(fù)數(shù)。則存在C上首項系數(shù)為的次多項式，使得證明 對作數(shù)學(xué)歸納法。推論 為的零點，當(dāng)且僅當(dāng)為的因式（其中）。命題（高等代數(shù)基本定理的等價命題） 設(shè)為C上的次多項式，則它可以分解成為一次因式的乘積，即存在個復(fù)數(shù)，使證明 利用高等代數(shù)基本定理和命題1.3，對作數(shù)學(xué)歸納法。2高等代數(shù)基本定