華南理工大學(xué)網(wǎng)絡(luò)教育學(xué)院：《工程數(shù)學(xué)》作業(yè)之01(答案)

1、工程數(shù)學(xué) 作業(yè)之一解答問(wèn)答題作業(yè)一：線(xiàn)性代數(shù)1 .表達(dá)三階行列式的定義a11答：定義1:用32個(gè)數(shù)組成的記號(hào)a2ia22 a23表示數(shù)值:a31 a32a33a11a32稱(chēng)為三階行列式，即:a12a13a22a23a32a33a11a21a31a21a11a23a13a21a22a33a31a32a23a21a23a21a22a12a13a33a31a33a31a32a22a32a11定義2:用n2個(gè)數(shù)組成的記號(hào)D=丨a1 n:表示數(shù)值:a221 1(1) ana32a23a 33an3a2na21r a23a2na3n/八12a31a33a3n+(1)a12: :Enan1an3annama

2、nn1 n(1) ama21a31an1a22a32an2a2,n 1a3,n 1an ,n 1稱(chēng)為n階行列式2.表達(dá)n階行列式的余子式和代數(shù)余子式的定義,并寫(xiě)出二者之間的關(guān)系答：定義：在n階行列式D中劃去aj所在的第i行和第j列的元素后，剩下的元素按原來(lái)相對(duì)位置所組成的n 1階行列式，稱(chēng)為可的余子式，記為Mj，即a11a1,j 1a1,j 1a1nai 1,1F£3di 1,j 1-r di 1,j 1ai 1,ai 1,1ai 1,j 1ai 1,j 1ai 1,an1an,j 1an,j 1annnnMj =(1)i J Mij稱(chēng)為砌的代數(shù)余子式，記為Aj，即Aj = ( l)

3、i J Mj3. 表達(dá)矩陣的秩的定義。答：定義：設(shè)A為m n矩陣。如果A中不為零的子式最高階為r,即存在r階 子式不為零，而任何 葉1階子式皆為零，那么稱(chēng)r為矩陣A的秩，記作秩二r 或 R A= r4. 表達(dá)對(duì)稱(chēng)陣、可逆矩陣的定義。答：定義1:滿(mǎn)足條件aj aji (i, j 1,2,n)的方陣(j )n n稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)陣。其特點(diǎn) 是：它的元素以主對(duì)角線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸對(duì)應(yīng)相等。定義2:對(duì)于n階方陣A，如果存在n階方陣B，使得AB = BA=E，其中E為n 階單位陣，那么稱(chēng)A為可逆陣，稱(chēng)B為A的逆矩陣。5. 表達(dá)矩陣的加法運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算定義。答：定義1:設(shè)兩個(gè)m n矩陣bina11a1nb11A =!&#

4、39;，B =: ':am1amnbm1bmna11bna1nb1n那么稱(chēng)m n矩陣-. 為矩陣A與B的和，記作A + Bam1bm1 *amnbmn定義2:以數(shù)k乘矩陣A的每一個(gè)元素所得到的矩陣，稱(chēng)為數(shù) k與矩陣A的積,記作kA，如果A(aj )m n，那么 kA= k (aij ) m n 伙誦)m n ,即ka1ka2kamka21ka22ka2nkA= :-kam1kam2' kamm6 表達(dá)向量組的線(xiàn)性相關(guān)和線(xiàn)性無(wú)關(guān)的定義。答：定義：設(shè)有向量組1, 2,，S,如果存在一組不全為零的數(shù)ki,k2,ks,使得 ki 1 k2 2ks s 0成立，那么稱(chēng)向量組1, 2，s,

5、線(xiàn)性相關(guān)。否那么，即僅 當(dāng)kik2ks0時(shí)，才有kiik22kss 0成立，那么稱(chēng)向量組1, 2，,S,線(xiàn)性無(wú)關(guān)。7 齊次線(xiàn)性方程組的根底解系是什么?a1 X|a2 X2aXn0答：定義：設(shè)T是T a22X2a2nXn0的所有解的集合，假設(shè)T中存在an1 X1an2X2annXn0一組非零解1, 2,，s,滿(mǎn)足11, 2,，s,線(xiàn)性無(wú)關(guān)；2任意 T ,都可用1, 2,，s,線(xiàn)性表出那么稱(chēng)1, 2，s,是此方程組的一個(gè)根底解系8 試述克萊姆法那么的內(nèi)容。 答：克萊姆法那么：如果線(xiàn)性方程組a“X1812X2 aXn bi821X1822X2 a2nXn b2an1X1an2X2annXnbn的系數(shù)

6、aj (i, j 1,2，,n)構(gòu)成的行列式D 0，那么此線(xiàn)性方程組有唯一解：D1D2 DnX1, X2, , Xn,DDD其中，Dj(j 1,2，,n)是將系數(shù)行列式 D中第j列元素對(duì)應(yīng)地?fù)Q為常數(shù)項(xiàng) d,b2,bn得到的行列式a11a21a1,j 1a2,j 1lb b2a1,j 1a2,j 1a1,na2,nDjr: il li* * *4 !亠 an1an,j 1bnan,j 1ann.填空題共8題，每題4分，共計(jì)32分1 1 11 .行列式D1 1 141 1 1ana12a13a11a12ai33 .設(shè) A = a21a22a23，那么3a?13a?23a23a31a32a336a3

7、16a326a334.設(shè)A,B均為3階矩陣，且|A| |B|3，貝U 2ABT18|A| 721 15.設(shè)行列式D那么D中元素a23的代數(shù)余子式A23 =2 假設(shè)A是對(duì)稱(chēng)矩陣，那么A A6. n階行列式Dn中元素aj的代數(shù)余子式Aj與余子式Mj之間的關(guān)系是A (1)ijMjo7.設(shè)矩陣A中的r階子式Dr 0，且所有r+1階子式如果1008.設(shè) A 020 ，貝U A001有的話(huà)都為0，那么r(A) r10丄 0 20 0 1an x1812X2amXn09.如果齊次線(xiàn)性方程組a21X1a?2 X2a2nXn0的系數(shù)行列式| D | 0，an1 x1an2X2annXn0那么它有 只有零 解.1

8、0.齊次線(xiàn)性方程組 AX 0總有0解；當(dāng)它所含方程的個(gè)數(shù)小于未知量的個(gè)數(shù)時(shí)，它一定有非零 解。11用消元法解線(xiàn)性方程組AX b，其增廣矩陣A經(jīng)初等行變換后，化為階梯陣153 1023 4A00s t000 0那么(1)當(dāng) s=0,t0時(shí),AXb無(wú)解；當(dāng)s=0,t=0時(shí)，AXb有無(wú)窮多解當(dāng)s 0, t是任意實(shí)數(shù)時(shí)，AX b有唯一解.三計(jì)算題x 1331 計(jì)算行列式3 x536 6x 4x 53333 x解：原行列式可化為(x 1)3c( 3)6 x46x46 64)X-2 計(jì)算行列式1-3 12-3 3解：原行列式可化為:1213121113161052910016021431290550162

9、9152914= 2145065505252252953 計(jì)算行列式2120110212239554201121021 11 199 9812 122102001320110299 981205解：原行列式可化為:201 102 0 395=2102395201=2600+ 1400- 600= -18004設(shè)矩陣A231111 ,B0 1 10 0133955(2)201 1021 2123112，求 AB。0 1 123解：AB 111235611112=2460 110 11|AB|1166 114 61)255 行列式374659值.2解:A43( 1)4 3M43341 2112 7

10、5 27 46 2寫(xiě)出元素a43的代數(shù)余子式，并求A43的7 43 43 7(5)26 24 246(2)=54120111211421，求I6.設(shè)ABA)B。02010114311210 0012010201解：1A)01 0021142214一00 100201一 021100 01143114300201115 4(IA)B221421一2 5021101531430129 025321585437.求矩陣A的秩。17420411232532 11742017420的5854 32532109521解：A1742 04112302715634112 35854302715631 7420

11、0 952 10000000000所以，矩陣的秩為2x1 2x2 x3 4x402x1 3x2 4x3 5x404x2 13x3 14x40x2 7x3 5x408 解齊次線(xiàn)性方程組XiXi1223144510A=14131401175010521050123012000000000000002 14121230161218003 69001 42 30 00 02300解：對(duì)系數(shù)矩陣施以初等變換：與原方程組同解的方程組為:X 5x3 2x40x2 x3 3x40所以：方程組的一般解為X1X25123x4其中，X3,X4為自由未知量9.試問(wèn) 取何值時(shí)，齊次線(xiàn)性方程組3為X2X302x2X30有

12、非零解?XX22x30解：系數(shù)行列式為:31112112021046021112021008所以，當(dāng)8時(shí)，該齊次線(xiàn)性方程組有非零解.X1X23x310.解線(xiàn)性方程組 3x1 x2 3x3 1 。x1 5x2 9x3011.解線(xiàn)性方程組2x5x23x3 2x4o5x1 8x2 5x3 4x43解：對(duì)增廣矩陣施以初等行變換:113111311131A 3131046204 621590046100 03所以，原方程組無(wú)解。解：對(duì)增廣矩陣施以初等行變換: 232125 35A95585430 -222 15 3111 -2221丄c 95,1201222與原方程組同解的方程組為:147Xi-X3X4999521X2X3X4999所以：方程組的一般解為147x1x3x4999X2529X39X4X3,X4是自由未知量；01212.設(shè)矩陣A 114 ,B21 023，解矩陣方程AXbt2 1 12365由于AX Bt.那么有X A 1Bt42 1159163 11367132 222解：Abt四應(yīng)用題7某工廠采用三種方法生產(chǎn)甲乙丙丁四種產(chǎn)品，各種方案生產(chǎn)每種產(chǎn)品的 數(shù)量如以下矩陣所示：甲乙丙丁5974方法一A7896方法二4