統(tǒng)計案例復(fù)習(xí)

1、第一章統(tǒng)計案例復(fù)習(xí)稿件授課教師： 王宏 郭懿一、復(fù)習(xí)導(dǎo)言本章主要內(nèi)容獨立性檢驗的思想與回歸分析的應(yīng)用，主要通過案例體會運用統(tǒng)計方法解決實際問題的思想與方法。統(tǒng)計案例是實用性很強的知識，以統(tǒng)計案例為背景命題應(yīng)用性試題，考查基礎(chǔ)知識和基本方法的同時，考查運用所學(xué)知識解決實際問題的能力，還體現(xiàn)以知識為依托，突出對思想方法的考查。所以高考要注意統(tǒng)計應(yīng)用問題的考查。二、要求1、通過對典型案例的探究，進一步了解回歸的基本思想、方法及初步應(yīng)用，會用判斷線性回歸模型的擬合效果。2、理解獨立性檢驗的基本思想，掌握假設(shè)檢驗的思想在獨立性檢驗中的應(yīng)用，能解決一些統(tǒng)計案例。三、要點精析（一）回歸分析1、回歸分析是處理

2、變量之間_的一種統(tǒng)計方法，若兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，則稱相應(yīng)的回歸分析為線性回歸分析。2、線性回歸方程_，其中，稱為回歸系數(shù)，_稱為樣本的中心點，回歸直線經(jīng)過樣本點的中心?！敬鸢浮?.相關(guān)關(guān)系; 2.; （二）相關(guān)關(guān)系與相關(guān)檢驗1、相關(guān)關(guān)系是非隨機變量與隨機變量之間的關(guān)系，如人的身高與年齡，商品的銷售額與廣告費等關(guān)系都是相關(guān)關(guān)系，它是一種_，而不是函數(shù)關(guān)系。2、樣本相關(guān)系數(shù)：用來對變量x與Y作相關(guān)性檢驗的統(tǒng)計量，用r來表示。r=_.3、r的性質(zhì):具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量之間關(guān)系的強弱是通過相關(guān)系數(shù)來衡量的，當(dāng)r>0時，表明兩個變量_；當(dāng)r<0時，表明兩個變量_。越接近于1，表明

3、兩個變量的線性相關(guān)性越強；越接近于0，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系；通常當(dāng)大于_時，我們認為兩個變量之間存在著很強的線性相關(guān)關(guān)系；當(dāng)小于0.75時尋求直線沒有意義。4.相關(guān)性檢驗：對變量x與Y是否線性相關(guān)進行的檢驗稱為_。其步驟如下：作統(tǒng)計假設(shè)：假設(shè)x與Y不具有線性相關(guān)關(guān)系；根據(jù)小概率0.05與n-2在附表中查出r的一個臨界值；計算r的值；作統(tǒng)計推斷：若，則有_的把握認為x與Y具有線性相關(guān)關(guān)系，即拒絕假設(shè)；若，則接受假設(shè)?！敬鸢浮浚?. 非確定性關(guān)系；2.;3. 正相關(guān); 負相關(guān); 0.75; 4. 相關(guān)性檢驗; 95%.（三）回歸效果三個統(tǒng)計量1、總偏差平方和_，它是所有單個樣本值

4、與樣本均值的差的平方和，表示的是總的效應(yīng)。2、殘差平方和：數(shù)據(jù)點與它在回歸直線上的相應(yīng)位置的差異稱為殘差，將所得的殘差值平方相加得_，稱之為殘差平方和，代表了隨機誤差的效應(yīng)。3、回歸平方和：_，它是解釋變量的效應(yīng)。【答案】：1. ；2.; 3. 。（四）殘差分析的方法1、相關(guān)指數(shù)法，可以用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸效果，其計算公式：=_，的值越大 ，說明殘差平方和越小，模型的擬合效果越好。2、作殘差圖，如果殘差點比較均勻地落在_中，說明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)域越窄，說明選用模型的擬合精確度越高。由于誤差e受許多條件的影響，也受我們所選用的線性模型的影響，因此線性模型往往只是一種近似的模型?！?/p>

5、答案】1. 1- ； 2. 水平帶狀區(qū)域；（五）2×2列聯(lián)表1、含義：用于檢驗2×2列聯(lián)表中的兩個事件A與B是否獨立的一種統(tǒng)計學(xué)中常用的檢驗方法，稱為_。一般地，假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為和，其樣本的頻數(shù)列聯(lián)表（2×2列聯(lián)表）為： 總計 a b a+b c d c+d 總計 a+c b+da+b+c+d若要推斷的論述為：“X與Y有關(guān)系”，可以按如下步驟判斷產(chǎn)量的可能性：（1）通過_可以粗略地判斷兩個分類變量是否有關(guān)系，但是這種判斷無法精確地給出所得結(jié)論的可靠程度。在三維柱形圖中，主對角線上兩個柱形高的乘積ad與副對角線上兩個柱形高的乘積bc相乘越大

6、，成立的可能性就越大。在二維條形圖中，可以估計圖形滿足X=的個體中具有Y=的個體所占的比例_，也可以估計滿足條件X=的個體中具有Y=的個體所占的比例，兩個比例相差越大，成立的可能性就越大。（2）用獨立性檢驗來考察兩個分類變量是否有關(guān)系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度，具體步驟為：假設(shè)兩個分類變量X與Y無關(guān)；統(tǒng)計學(xué)中一個非常有用的統(tǒng)計量，讀作：卡方，計算出隨機變量的觀測值K=_；把k的值與臨界值比較確定X與Y有關(guān)系的程度。（3）步驟：統(tǒng)計假設(shè)：假設(shè)事件A與B獨立，即事件A與B無關(guān)；計算的值；統(tǒng)計決斷：若>3.841，則有_的把握說事件A與B有關(guān)；若>6.635，則有_的把握說事

7、件A與B有關(guān)；若，認為事件A與B無關(guān)?！敬鸢浮浚?. 獨立性檢驗；三維柱形圖和二維條形圖；2. 3. 95%；99%。四、題型解析類型一線性回歸方程的實際應(yīng)用例1 在某化學(xué)試驗中，測得如下表所示的6組數(shù)據(jù)，其中x（min）表示化學(xué)反應(yīng)進行的時間，y（mg）表示未轉(zhuǎn)化的物質(zhì)的量x/min 1 2 3 4 5 6y/mg 39.8 32.2 25.4 20.3 16.2 13.3 （1）設(shè)y與x之間具有關(guān)系，試根據(jù)測量數(shù)據(jù)估計c和d的值；（2）估計化學(xué)反應(yīng)進行到10min時未轉(zhuǎn)化的物質(zhì)的量。解：（1）在的兩邊取自然對數(shù)，可以得到lny=lnc+xlnd，設(shè)lny=z，lnc=a，lnd=b，則z=

8、a+bx，又由已知數(shù)據(jù)可以得到下表：x/min 1 2 3 4 5 6y/mg 39.8 32.2 25.4 20.3 16.2 13.3z=lny 3.684 3.472 3.235 3.011 2.785 2.588由公式得，z關(guān)于x的線性回歸方程為，即，所以，根據(jù)測量數(shù)據(jù)估計c=49.6898，d=0.8010.（2）由（1）知y與x之間的關(guān)系為，當(dāng)x=10時，所以當(dāng)化學(xué)反應(yīng)進行到10min時，未轉(zhuǎn)化的物質(zhì)的量為5.4mg. 點評：在實際問題中，有時兩個變量之間并不是線性相關(guān)關(guān)系，這就需要我們根據(jù)已有的知識或散點圖選擇適當(dāng)?shù)那€方程，然后通過適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，把非線性問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題

9、，從而確定未知參數(shù)，建立相應(yīng)的回歸方程。類型二獨立性檢驗的應(yīng)用例2 在國家實施西部開發(fā)戰(zhàn)略前，一新聞單位在應(yīng)屆大學(xué)畢業(yè)生中隨機抽取1000人作問卷調(diào)查，只有80人志愿加入西部建設(shè)，而國家公布實施西部開發(fā)戰(zhàn)略后，隨機抽取1200名應(yīng)屆大學(xué)畢業(yè)生作問卷調(diào)查，有400人志愿加入國家西部建設(shè)。問實施西部開發(fā)戰(zhàn)略的公布是否對應(yīng)屆大學(xué)畢業(yè)生的選擇產(chǎn)生影響？分析：本題是一道信息題，獨立性檢驗在應(yīng)用于很大領(lǐng)域時需要通過建立模型實現(xiàn)信息遷移，即將信息轉(zhuǎn)化為2×2列聯(lián)表形式，再通過計算統(tǒng)計量得出相應(yīng)的結(jié)論。解：根據(jù)題意，列出2×2列聯(lián)表，如下： 自愿者 非志愿者 總計西部開發(fā)戰(zhàn)略公布前 80

10、920 1000西部開發(fā)戰(zhàn)略公布后 400 800 1200總計 480 1720 2200由公式計算統(tǒng)計量得：，因為205.22>6.635，所以有99%的把握認為實數(shù)西部開發(fā)戰(zhàn)略的公布對應(yīng)屆大學(xué)畢業(yè)生的選擇產(chǎn)生了影響。點評：即使不進行獨立性檢驗，我們也能正確判斷出“開發(fā)戰(zhàn)略“起了作用，但利用統(tǒng)計量所得結(jié)果更具有說服力，還可以說明西部開發(fā)戰(zhàn)略具有很大的帶動作用。例3、某同學(xué)對一些人進行了喜愛運動與身體健康的關(guān)系的調(diào)查，在填寫列聯(lián)表時，不慎寫錯了幾個數(shù)據(jù)，他一氣之下將寫錯的數(shù)全都涂掉了，殘表如下： 喜愛運動 不喜愛運動 總計 身體健康 30 A 50 身體不健康 B 10 60 總計 C

11、 D E請問借助這個殘表能判斷出運動與身體健康有關(guān)嗎？解：根據(jù)列聯(lián)表的特點，由30+A=50得A=20，B+10=60得B=50，30+B=C因此C=80，A+10=D得D=30，又C+D=E，得E=110. 即完整的列聯(lián)表如下： 喜愛運動 不喜愛運動 總計 身體健康 30 20 50 身體不健康 50 10 60 總計 80 30 110由于，所以借助這個列表我們有99%的把握認為喜愛運河與身體健康有關(guān)。 點評：本題考查列聯(lián)表的性質(zhì)（即列聯(lián)表中各數(shù)據(jù)之間的關(guān)系），雖然本題不難，但考查的方式及命題角度值得我們重視。類型三創(chuàng)新探索性問題例4、有兩個分類變量X與Y，其一組觀測值如下面的2×

12、;2列聯(lián)表所示： a 20-a 15-a 30+a其中，a，15-a均為大于5的整數(shù)，則a取何值時，有90%的把握認為“X與Y之間有關(guān)系”？分析：要有90%的把握認為“X與Y之間有關(guān)系“，需要檢測隨機變量的觀測值大于2.706，故所求得的觀測值后解不等式即可。 解：要有90%的把握認為“X與Y之間有關(guān)系“，需要隨機變量的觀測值大于2.706，因為a+（20-a）=20，（15-a）+（30+a）=45，a+（15-a）=15，（20-a）+（30+a）=50，a+（20-a）+（15-a）+（30+a）=65，則，解之可得a>7.19或a<2.04，而由原題知a>5且15-a

13、>5，即a=6，7，8，9故當(dāng)a=8或9時，有90%的把握認為X與Y之間有關(guān)系。 點評：本題是已知的范圍逆向求a，注意還要考慮a的可能取值，也可以先得出a的四個可能取值，再代入求來驗證找出滿足要求的a的值。類型四綜合交匯以及圖表信息題例5.某學(xué)校課題組為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與物理成績之間的關(guān)系，隨機抽取高二年級20名學(xué)生某次考試成績（滿分100分）如下表所示： 若單科成績85分以上（含85分），則該科成績?yōu)閮?yōu)秀(1)根據(jù)上表完成下面的2×2列聯(lián)表（譯位：人）： (2)根據(jù)題(1)中表格的數(shù)據(jù)計算，有多大的把握，認為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與物理成績 之間有關(guān)系？分析：通過認識圖表、填寫圖

14、表，把問題轉(zhuǎn)化為2×2列聯(lián)表獨立性檢驗問題。利用已知條件來判斷兩個分類變量是否具有關(guān)系，可以先假設(shè)兩個變量之間沒有關(guān)系，再計算的值，如果的值越大，說明兩個變量之間有關(guān)系的可能性也就越大，再參考臨界值，從而判斷兩個變量有關(guān)系的可信程度。解析：（1）：2列聯(lián)表為（單位：人）（2）解：提出假設(shè)H：學(xué)生數(shù)學(xué)成績與物理成績之間沒有關(guān)系：根據(jù)列聯(lián)表可以求得：,當(dāng)H成立時，P（K，所以我們有99.5%的把握認為：學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與物理成績之間有關(guān)系。 點評：在利用統(tǒng)計變量進行獨立性檢驗時，應(yīng)該注意準確代數(shù)和正確計算，再把計算的結(jié)果與有關(guān)臨界值相比較，正確下結(jié)論。 例6.某體育訓(xùn)練隊共有隊員40人，下

15、表為跳高、跳遠成績的分布表，成績分為15個檔次，例如表中所示跳高成績?yōu)?分，跳遠成績?yōu)?分的隊員有5人。將全部隊員的姓名卡混合在一起，任取一張，該卡隊員的跳高成績?yōu)閤，跳遠成績?yōu)閥，設(shè)x，y為隨機變量（注：沒有相同姓名的隊員）y x 跳 遠 5 4 3 2 1 跳 高 5 1 3 1 0 1 4 1 0 2 5 1 3 2 1 0 4 3 2 1 1 6 0 3 1 0 0 1 1 3（1）求x4的概率及x4且的概率；（2）若跳遠、跳高成績相等時的人數(shù)分別為c，d，試問：c，d是否具有線性相關(guān)關(guān)系？若有，求出回歸直線方程；若沒有，請說明理由。 分析：本題是圖表信息題，通過閱讀圖表、繪制圖表解決

16、實際問題，能夠體現(xiàn)統(tǒng)計的重要思想，即數(shù)據(jù)處理能力。解：（1）由于隊員總數(shù)為40，當(dāng)x4時，即跳高成績?yōu)?分時的隊員共9人，于是，x4的概率為；x4且時，即跳高成績?yōu)?分，跳遠成績不低于3分的隊員共有3人，于是，x4且的概率為（2）將跳遠、跳高成績及人數(shù)整理如下表： 成績 5 4 3 2 1 跳遠c 5 5 10 10 10 跳高d 6 9 10 10 5易得，那么，可見變量d與c不具有線性相關(guān)性。點評：本題的第一問是古典概型，第二問是線性回歸。本題將這兩個內(nèi)容恰到好處的融為一體。五、備考策略1.統(tǒng)計的基本思維模式是歸納的，它的特征之一是通過部分數(shù)據(jù)來推測全體數(shù)據(jù)的性質(zhì)，因此，統(tǒng)計推斷是可能犯錯誤的，也就是說，我們從數(shù)據(jù)上體現(xiàn)的只是統(tǒng)計上的關(guān)系，而不是因果關(guān)系。獨立性檢驗的基本思想類似于反證法，為了探求事件A與B是否有關(guān)，首先列出事件A與B的2×2列聯(lián)表，利用公式計算出統(tǒng)計量，將的數(shù)值與兩個臨界值3.841與6.635進行對比，然后作出統(tǒng)計推斷。利用2×2列聯(lián)表，不僅能考查兩個變量之間是否有關(guān)，而且還能較精確地給出這種判斷的可靠性程度。因此，獨立性檢驗在生物統(tǒng)計、醫(yī)學(xué)統(tǒng)計、處理社會問