空間直線和平面總結(jié) 知識(shí)結(jié)構(gòu)圖+例題

1、【同步教育信息】一. 本周教學(xué)內(nèi)容：期中復(fù)習(xí)知識(shí)串講空間直線和平面：（一）知識(shí)結(jié)構(gòu)（二）平行與垂直關(guān)系的論證 1、線線、線面、面面平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化： 2. 線線、線面、面面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化： 3. 平行與垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化： 4. 應(yīng)用以上“轉(zhuǎn)化”的基本思路“由求證想判定，由已知想性質(zhì)?！?5. 唯一性結(jié)論： （三）空間中的角與距離 1. 三類角的定義： （1）異面直線所成的角：0°90° （2）直線與平面所成的角：0°90° （3）二面角：二面角的平面角，0°180° 2. 三類角的求法：轉(zhuǎn)化為平面角“一找、二作、三算”即：（1）找出或作出

2、有關(guān)的角； （2）證明其符合定義； （3）指出所求作的角； （4）計(jì)算大小。 3. 空間距離：將空間距離轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離構(gòu)造三角形，解三角形，求該線段的長(zhǎng)。 4. 點(diǎn)到面的距離，線線間距離、線面間距離、面面間距離都可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離。常用方法：三垂線法、垂面法、體積法、向量法等。簡(jiǎn)單幾何體：（一）棱柱（兩底面平行，側(cè)棱平行的多面體）（二）棱錐（底面是多邊形，其余各面是由有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形所圍成的多面體）定理：截面與底面平行則有 正棱錐的性質(zhì)概率與統(tǒng)計(jì)（一）散型隨機(jī)變量的分布列性質(zhì)：二項(xiàng)分布：若則期望：方差：（二）抽樣方法【典型例題】 例1. 如圖，在四面體ABCD中作截面EFG，若EG，

3、DC的延長(zhǎng)線交于M，F(xiàn)G、BC的延長(zhǎng)線交于N，EF、DB的延長(zhǎng)線交于P，求證M、N、P三點(diǎn)共線。 證明：由已知，顯然M、N、P在平面EFG上 又M、N、P分別在直線DC、BC、DB上 故也在平面BCD上 即M、N、P是平面BCD與平面EFG的公共點(diǎn) 它們必在這兩個(gè)平面的交線上 根據(jù)公理2. M、N、P三點(diǎn)共線 例2. 在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別是A1B1和BB1的中點(diǎn)，那么AM與CM所成角的余弦值為（ ） 分析：如圖，取AB中點(diǎn)E，CC1中點(diǎn)F 連結(jié)B1E、B1F、EF 則B1E/AM，B1F/NC EB1F為AM與CN所成的角 又棱長(zhǎng)為1 選D 例3. 其中正確

4、的兩個(gè)命題是（ ） A. 與B. 與C. 與D. 與 分析： 錯(cuò) 錯(cuò) 正確，選D 例4. 如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EFPB交PB于點(diǎn)F。（1）證明PA/面EDB。（2）PB平面EFD。 證：（1）連AC，AC交BD于O，連EO 底面ABCD是正方形 點(diǎn)O是AC中點(diǎn) 又E為PC中點(diǎn) EO/PA PA/面EDB （2）PD底面ABCD BCPD BC面PDCBCDE 又E為等直角三角形中點(diǎn) DE面PBCDEPB PB面DEF 例5. 正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1BC1，求證：A1CBC1。 證明：設(shè)E、E1分別是

5、BC、B1C1的中點(diǎn)，連AE，A1E1，B1E，E1C 注：三垂線定理是證明兩直線異面垂直的常用手段。 例6. 下列正方體中，l是一條體對(duì)角線，M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，如何證明l面MNP。 分析： 如圖，取棱A1A、DC、B1C1的中點(diǎn)，分別記為E、F、G，顯然EMFNGP為平面圖形，而D1B與該平面垂直 l面MNP 例7. ACB=90°，側(cè)棱與底面成60°的角。 分析： 證明： 又ACB=90°，即ACBC D為AC中點(diǎn) 例8. 已知RtABC中，C=90°，AC=8，BC=6，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，沿DE將ABC折成直二面角，使A到

6、A的位置（如圖）。求： （1）C到AD的距離； （2）D到平面ABC的距離； （3）AD與平面ABC所成角的正弦值。 解：（1）二面角ADEB是直二面角 又AEED，CEED ED面AEC及EC面AED 作EFAD于F，連結(jié)CF，則CFAD CF即為C點(diǎn)到直線AD的距離 在RtAED中，EF·AD=AE·ED DE/面ABC E到面ABC的距離即為D點(diǎn)到平面ABC的距離 過E作EMAC于M ED面AEC 又BC/ED BC面AEC BCEM EM面ABC 或者用體積法： 例9. （1）證明： （2）解： 又取BC中點(diǎn)N，連結(jié)NF 例10. 將一顆骰子連續(xù)拋擲兩次稱為一次試驗(yàn)

7、，如果一次試驗(yàn)中兩次拋擲的骰子所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于9時(shí)，則稱為這次試驗(yàn)成功。（1）求一次試驗(yàn)成功的概率；（2）在試驗(yàn)成功的所有情況中，以表示兩次拋擲的骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)和，求的概率分布列及數(shù)學(xué)期望。解：（1）兩次拋擲出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于9的有（4，6），（5，5），（5，6），（6，4），（6，5），（6，6）（2）在成功的條件下，=10，11，12【模擬試題】一. 選擇題 1. 一條直線若同時(shí)平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線（ ） A. 成異面直線B. 相交C. 平行D. 平行或相交 2. 已知直線a，b，平面，有下列四個(gè)命題 ； ； 其中正確的命題有（ ） A. B. C. D.

8、以上都不對(duì) 3. 邊長(zhǎng)為a的正三角形ABC中，ADBC于D，沿AD折成二面角BADC后，這時(shí)二面角BADC的大小為（ ） A. 30°B. 45°C. 60°D. 90° 4. 設(shè)a，b是兩條異面直線，P是a，b外的一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ） A. 過P有一條直線和a，b都平行 B. 過P有一條直線和a，b都相交 C. 過P有一條直線和a，b都垂直 D. 過P有一個(gè)平面與a，b都平行 5. 若a，b是異面直線，點(diǎn)A、B在直線a上，點(diǎn)C、D在直線b上，且AD=AC，BD=BC，則直線a，b所成的角為（ ） A. 90°B. 60°C

9、. 45°D. 30°二. 填空題 6. 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則 （1）A點(diǎn)到的距離為_ （2）A點(diǎn)到的距離為_ （3）A點(diǎn)到面的距離為_ （4）A點(diǎn)到面的距離為_ （5）的距離為_ 7. 如圖，正方形ABCD中，E、F分別是中點(diǎn)，現(xiàn)沿AE、AF、EF把它折成一個(gè)四面體，使B、D、C三點(diǎn)重合于G，則=_。 8. 把邊長(zhǎng)為a的正三角形ABC沿高線AD折成60°的二面角，則點(diǎn)A到BC的距離為_。 9. 如圖PAO面，AB是O的直徑，C是O上的一點(diǎn)，E、F分別是A在PB、PC上的射影，給出下列結(jié)論：AFPB，EFPB，AFBC，AE平面PBC，其中正確命題的序號(hào)是_。

10、10. 平面，其交線為l，AB與所成角為30°，則AB與所成角的取值范圍是_。三. 解答題 11. 四面體ABCS中，SB、SC、SA兩兩垂直，SBA=45°，SBC=60°，M為AB的中點(diǎn)。求： （1）BC與面SAB所成的角； （2）SC與平面ABC所成角的正弦值。 12. AB為O的直徑，C為弧AB上的一點(diǎn)（異于A、B），PA平面ABC。（1）求證：面PAC面PBC；（2）若AEPC于E，則面AEB面PBC，BE為交線。 13. 在矩形ABCD中，已知，E是AD的中點(diǎn)，沿BE將ABE折到的位置，使。 （1）求證：平面平面BCDE。 （2）求和面BCD所成角的大

11、小。 14. 如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，ABC=90°，SA面ABCD，SA=AB=BC=1，。 （I）求； （II）求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值。 15. 一個(gè)由5人組成的數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組，其中2名女生，3名男生，老師每天從5人中隨機(jī)抽查3人。（1）求一次抽查時(shí)，2名女生全被抽到的概率；（2）用表示一周5天中，2名女生同時(shí)被抽查的次數(shù)，求隨機(jī)變量的概率分布和它的數(shù)學(xué)期望?！驹囶}答案】一. 1. C2. C3. C 4. C（當(dāng)P點(diǎn)和直線a確定的平面與b平行時(shí)，則過P點(diǎn)的直線與a不相交，B錯(cuò)，當(dāng)P點(diǎn)在a或b上時(shí)，D不成立） 5. A二. 6. 7. 8

12、. 9. 10. （0°，60° （如圖ABD30°，90°BAD30° BAD60° 0<BAD60°）三. 11. 解：（1）SCSA，SCSB SC面SAB SB是CB在面SAB上的射影 SBC是直線BC與面SAB所成的角，且為60° （2）連SM，CM，則SMAB（SAB為等腰Rt） AB面CSM 設(shè)SHCM于H，則ABSH SH面ABC SCH為SC與平面ABC所成的角 設(shè)SB=SA=a 則 注：“垂線”是相對(duì)的，SC是面SAB的垂線，卻又是面ABC的斜線。 12. 證：（1）PA面ABC，PC在面

13、ABC上射影為AC 又AB為O直徑 BCAC BCPC BC面PAC 又BC面PBC面PAC面PBC （2）由（1）知BC面PAC 又AE面PAC BCAE，又PCAE AE面PBC 又AE面AEB 面AEB面PBC 或者：由（1）知面PAC面PBC，PC為交線 又AEPC AE面PBC 又AE面AEB 面AEB面PBC 注：線線垂直線面垂直面面垂直 13. （1）取BE中點(diǎn)M，CD中點(diǎn)N， 連分別為中點(diǎn) （2）連結(jié)MC， 就是與面BCDE所成的角 設(shè)AB=a，則 14. 分析：易證AD面SAB （I） （II）延長(zhǎng)CD、BA交于點(diǎn)E 連結(jié)SE，SE即為面CSD與面BSA的交線 又DA面SAB

14、 過A作AFSE于F 連FD，則DFSE 又易知SAE為等腰直角三角形，F(xiàn)為SE中點(diǎn) 15. 解：（1）2名女生全被抽到的概率為（2）某一天中2名女生全被抽到的概率為則不全被抽到的概率為的取值為0，2，3，4，5則（k=0，1，3，4，5），即，【勵(lì)志故事】扛船趕路一個(gè)青年背著一個(gè)大包裹千里迢迢跑來找無(wú)際大師，他說：“大師，我是那樣的孤獨(dú)、痛苦和寂寞，長(zhǎng)期的跋涉使我疲倦到極點(diǎn)；我的鞋子破了，荊棘割破雙腳；手也受傷了，流血不止；嗓子因?yàn)殚L(zhǎng)久的呼喊而喑啞為什么我還不能找到心中的陽(yáng)光？”大師問：“你的大包裹里裝的什么？”青年說：“它對(duì)我可重要了。里面是我每一次跌倒時(shí)的痛苦，每一次受傷后的哭泣，每一次孤寂時(shí)的煩惱靠著它，我才能走到您這兒來。”于是，無(wú)際大師帶青年來到河邊，他們坐船過了河。上岸后，