第五章平均指標(biāo)和變異指標(biāo)

1、第五章平均指標(biāo)和變異指標(biāo)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】通過本章教學(xué)使學(xué)生熟練掌握簡單算術(shù)平均數(shù)、加權(quán)算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)及眾數(shù)、中位數(shù)的計算和運用；掌握全距、平均差、標(biāo)準(zhǔn)差、離散系數(shù)以及成數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差的計算和運用；學(xué)會利用平均指標(biāo)和變異指標(biāo)結(jié)合對社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象進(jìn)行分析；學(xué)會利用組平均數(shù)補(bǔ)充說明總平均數(shù)的原理對社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象進(jìn)行對比分析?！窘虒W(xué)重點和難點】 重點：加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的計算及標(biāo)準(zhǔn)差的計算和運用。難點：根據(jù)組距數(shù)列計算眾數(shù)和中位數(shù)?！景咐龑?dǎo)入】 在勞動競賽中，某車間兩個班組（均有5個工人）生產(chǎn)同一種產(chǎn)品。某月兩組工人產(chǎn)量數(shù)量如下表：工人編號12345合計平均甲組（件3002502001501001

2、000200乙組（件）2082052022001851000200現(xiàn)如果只能評選一個組為先進(jìn)組，如何確定？分析：經(jīng)計算兩組的平均日產(chǎn)量都是200件/人，單從計算結(jié)果無法做出評判?？山Y(jié)合變異指標(biāo)來比較質(zhì)量好壞。經(jīng)計算甲組標(biāo)準(zhǔn)差為0.71件，乙組標(biāo)準(zhǔn)差為7.97件。這說明在勞動效率相同時，乙組勞動生產(chǎn)率的穩(wěn)定性好于甲組，故應(yīng)評乙組為先進(jìn)組。第一節(jié)平均指標(biāo)一、平均指標(biāo)的概念及種類（一）概念平均指標(biāo)是同類現(xiàn)象總體內(nèi)各單位某一數(shù)量標(biāo)志在一定時間、地點和條件下數(shù)量差異抽象化的代表性水平指標(biāo)。（二）種類 算術(shù)平均數(shù)（）數(shù)值平均數(shù) 調(diào)和平均數(shù)（） 幾何平均數(shù)（）平均指標(biāo) 眾數(shù)（）位置平均數(shù) 中位數(shù)（）二、算術(shù)

3、平均數(shù)（一）基本公式： 算術(shù)平均數(shù)= 總體標(biāo)志總量 / 總體單位總量（二）計算方法：1.簡單算術(shù)平均數(shù) 公式：= 使用條件：只掌握總體各單位標(biāo)志值，而未掌握總體標(biāo)志總量； 在變量數(shù)列中，各組次數(shù)相等?！景咐?-1】某工廠某班組11名工人，各人日產(chǎn)量為15、17、19、20、22、22、23、23、25、26、30，求平均日產(chǎn)量。解： 件2.加權(quán)算術(shù)平均數(shù) 公式：= = 使用條件：在變量數(shù)列中，各變量值的次數(shù)不等?！景咐?-2】 日產(chǎn)零件數(shù)（件）工人人數(shù)（人）比重（%）201221482261223816241224251020267142724合計50100求平均日產(chǎn)量。解：= = =(20*

4、1+21*4+22*6···+27*2)/(1+4+6···+2)=20*2%+21*8%+···+27*4%=23.88（件/人） 在分組資料中，各組變量值用組中值代替。（三）兩者的關(guān)系當(dāng) f1=f2=···=fn=f 時，（四）算術(shù)平均數(shù)的重要性質(zhì)1.算術(shù)平均數(shù)與總體單位總量的乘積等于總體標(biāo)志總量。2.各變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差之和等于0。3.各變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差的平方和為最小值。三、調(diào)和平均數(shù)（一）概念：調(diào)和平均數(shù)是標(biāo)志值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，又稱倒數(shù)平均數(shù)。（

5、二）簡單調(diào)和平均數(shù)【案例5-3】 1.某種蔬菜價格早上0.5元/斤，中午0.4元/斤，晚上0.25元/斤，現(xiàn)早、中、晚各買一斤，求平均價格。 解：= =（0.5+0.4+0.25）/3=0.38元/斤2. 某種蔬菜價格早上0.5元/斤，中午0.4元/斤，晚上0.25元/斤，現(xiàn)早、中、晚各買一元，求平均價格。解：先求早、中、晚的購買斤數(shù)，即：早1/0.5=2斤，中1/0.4=2.5斤，晚1/0.25=4斤。 =（1+1+1）/（1÷0.5+1÷0.4+1÷0.25）=3/8.5=0.35元/斤實際上，就是用下列的簡單調(diào)和平均數(shù)公式： （三）加權(quán)調(diào)和平均數(shù)【案例5-4

6、】某種蔬菜價格早上0.5元/斤，中午0.4元/斤，晚上0.25元/斤，現(xiàn)早、中、晚各買2元、3元、4元，求平均價格。解：h=（2+3+4）/（2÷0.5+3÷0.4+4÷0.25）=0.33元/斤 公式： h=（四）調(diào)和平均實質(zhì)上是算術(shù)平均數(shù)的變形 當(dāng)已知分母、未知分子，求平均指標(biāo)用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)； 當(dāng)已知分子、未知分母，求平均指標(biāo)用加權(quán)調(diào)和平均數(shù)。（五）簡單調(diào)和平均數(shù)和加權(quán)調(diào)和平均數(shù)的關(guān)系 當(dāng)m1=m2=m3=···=mn=m，則：h=四、幾何平均數(shù)（一）概念：n個變量值連乘積的n次方根。（二）使用條件： 變量是相對數(shù)，且連乘積有意

7、義。（三）簡單幾何平均數(shù) G=【案例5-5】某企業(yè)生產(chǎn)某一產(chǎn)品，要經(jīng)過鑄造、金加工、電鍍?nèi)拦ば?，各工序產(chǎn)品合格率分別為98%、85%、90%，求三道工序的平均合格率。解：G=90.8%（四）加權(quán)幾何平均數(shù)G= 【案例5-6】某投資銀行25年的年利率分別為1年3%，4年5%，8年8%，10年10%，2年15%，求平均年利率。G=108.6%-100%=8.6%五、眾數(shù)和中位數(shù)（一）眾數(shù)（） 1.定義：眾數(shù)是總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值。 適用條件：總體單位的變量值分布相當(dāng)集中，變量值中兩極數(shù)值差距很大。2.計算方法：（1）單項數(shù)列【案例5-7】 生產(chǎn)件數(shù)（件）工人人數(shù)（人）80610017140

8、34180123203合計72求眾數(shù)。 解：=140件（2）組距數(shù)列 步驟： 確定眾數(shù)組求的近似值。公式：（下限公式）（上限公式）【案例5-8】農(nóng)民家庭年人純收入分組（元）農(nóng)民戶數(shù)（戶）向上累進(jìn)次數(shù)向下累進(jìn)次數(shù)1000-120024024030001200-140048072027601400-16001050177022801600-1800600237012701800-200027026406302000-220021028503602200-240012029701502400-260030300030合計3000-求眾數(shù)。解： 元或元（二）中位數(shù)（）1.概念：將總體單位標(biāo)志值按大小順

9、序排列，居于中間位置的標(biāo)志值就是中位數(shù)。2.計算方法：（1）未分組資料【案例5-9】1.有9個數(shù)字，分別是2、3、5、6、9、10、11、13、14，中位數(shù)為第5個，即為9。（奇數(shù)項）2.有10個數(shù)字，分別是2、3、5、6、9、10、11、13、14、15，中位數(shù)為第5個和第6個的平均值，即為9.5。（偶數(shù)項）（2）分組資料單項數(shù)列：需將次數(shù)進(jìn)行累計，中位數(shù)為居于中間位置對應(yīng)的標(biāo)志值。【案例5-10】某工廠工人的日產(chǎn)零件中位數(shù)計算表日產(chǎn)零件數(shù)（件）工人人數(shù)（人）向上累計次數(shù)266631101332142734275436187241880合計80計算中位數(shù)。解：中位數(shù)位置=80/2=40，按向

10、上累計次數(shù)，到34所在組為54，到32所在組為27，故中位數(shù)應(yīng)在34所在組，即中位數(shù)為34。 組距數(shù)列：需用近似公式。公式：（下限公式）（上限公式）【案例5-11】 資料如案例11，求中位數(shù)。 解：元或元第二節(jié)變異指標(biāo)一、標(biāo)志變異指標(biāo)的概念及作用（一）概念：標(biāo)志變異指標(biāo)是綜合反映總體各單位標(biāo)志值差異程度的指標(biāo)，反映各標(biāo)志值的變動范圍或離散程度，又稱為離散指標(biāo)或標(biāo)志變動度。（二）標(biāo)志變異指標(biāo)和平均指標(biāo)的區(qū)別 1.都是一個代表值 2.說明問題不同 3.反映總體分布狀態(tài)不同（三）作用 1.衡量平均數(shù)代表性的大小?！景咐?-12】 某車間有兩個班組，每組五人，按日產(chǎn)量（件）排序如下： 甲：5 20 4

11、5 85 95 乙：48 49 50 51 52 計算結(jié)果，=50件 結(jié)論：標(biāo)志變異指標(biāo)數(shù)值大，平均數(shù)代表性就??； 標(biāo)志變異指標(biāo)數(shù)值小，平均數(shù)代表性就大。 2.反映社會經(jīng)濟(jì)活動過程的協(xié)調(diào)性、均衡性，以及產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)定性?！景咐?-13】 兩個班組生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，某月上旬產(chǎn)品實際完成數(shù)量如下表：日期12345678910合計日平均甲組（臺）8891011121213172012012乙組（臺）1212121313131314141413013經(jīng)計算甲組日產(chǎn)量的標(biāo)準(zhǔn)差為3.6878臺，乙組日產(chǎn)量的標(biāo)準(zhǔn)差為0.7746臺，標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)為甲組為31%，乙組為6%，可看出乙組差異小，生產(chǎn)均衡性好，生產(chǎn)效率

12、和管理水平高。二、全距（R）（一）概念及計算 全距是總體各單位標(biāo)志值中最大值和最小值之差，又稱為極差。 組距數(shù)列中的計算公式：【案例5-14】 某班級學(xué)生外語成績中，最低分為48分，最高分為96分，全距=96-48=48分【案例5-15】某車間40名工人日產(chǎn)量如下表：日產(chǎn)量（件）工人數(shù)（人）50-60260-70870-801680-901090-1004合計40求全距。解：=100-50=50件（二）特點 計算方便，易懂；指標(biāo)粗糙。三、平均差（A.D）（一）概念及計算公式 平均差是各標(biāo)志值對其算術(shù)平均數(shù)的離差絕對值的平均數(shù)，或各標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)的平均離差。 計算公式： 未分組資料：（簡單

13、平均差） 分組資料：（加權(quán)平均差）【案例5-16】 資料如案例13，計算其平均差。 解： =32件 =1.2件【案例5-17】平均數(shù)計算表 日產(chǎn)量（公斤）工人人數(shù)（人）組中值（公斤）xXf20-301025250-171717030-4070352450-7749040-5090454050+3327050-6030551650+1313390合計20084000401320計算平均差。解：公斤 公斤（二）特點 能夠準(zhǔn)確地綜合反映總體離差大??；取絕對值方式不適用于代數(shù)變形處理，實際應(yīng)用受到限制。四、標(biāo)準(zhǔn)差（） 標(biāo)準(zhǔn)差是總體中各單位標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)離差平方的算術(shù)平均數(shù)的平方根。 計算公式： 未

14、分組資料：（簡單標(biāo)準(zhǔn)差） 分組資料：（加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差）【案例5-18】 資料如案例13，計算甲班組的標(biāo)準(zhǔn)差。解：=35.21件【案例5-19】 資料如案例16，計算標(biāo)準(zhǔn)差。解：=7.12公斤五、離散系數(shù)（）（一）概念： 變異指標(biāo)和算術(shù)平均數(shù)的比值。有全距系數(shù)、平均差系數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)等類型，其中標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)（）最常用。 標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)計算公式：（二）應(yīng)用場合1.平均數(shù)不相等【案例5-20】標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)計算表廠名工人勞動生產(chǎn)率（元/人）標(biāo)準(zhǔn)差（元）標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)甲3200012003.75乙160008005.00比較甲、乙平均勞動生產(chǎn)率的代表性高低。分析：甲廠的標(biāo)準(zhǔn)差乙廠的標(biāo)準(zhǔn)差，但不能由此斷言，甲廠工人勞動生產(chǎn)率的代表性小于乙。在這種情況下，只有通過標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)才能比較，才能得出恰當(dāng)?shù)慕Y(jié)論。因為它消除了不同數(shù)列平均水平的影響。甲廠