梁昆淼 數(shù)學物理方法教學大綱

1、梁昆淼 數(shù)學物理方法教學大綱    梁昆淼 數(shù)學物理方法教學大綱    數(shù)學物理方法教學大綱 數(shù)學物理方法（供物理專業(yè)試用）前一、課程概述言1數(shù)學物理方法是物理教育專業(yè)本科的一門重要的基礎課，它是前導課程高等數(shù) 學的延伸，為后繼開設的電動力學、量子力學和電子技術等課程提供必需 的數(shù)學理論知識和計算工具。本課程在本科物理教育專業(yè)中占有重要的地位，本專業(yè)學生 必須掌握它們的基本內容，否則對后繼課的學習將會帶來很大困難。在物理教育專業(yè)的所 有課程中，本課程是相對難學的一門課，學生應以認真的態(tài)度來學好本課程。 2本課程的主

2、要內容包括復變函數(shù)、傅立葉級數(shù)、數(shù)學物理方程、特殊函數(shù)等。理論力 學中常用的變分法，量子力學中用到的群論以及現(xiàn)代物理中用到的非線性微分方程理論 等，雖然也屬于數(shù)學物理方法的內容，但在本大綱中不作要求?？梢栽诤罄m(xù)的選修課 中加以介紹。 3本課程的內容為數(shù)學課程，注重邏輯推理和具有一定的系統(tǒng)性和嚴謹性。但是，它與 其它的數(shù)學課有所不同。本課程內容有很深廣的物理背景，實用性很強。因此，在這門課 的教學過程中，不能單純地追求理論上的完美、嚴謹，而忽視其應用。學生在學習時，不 必過分地追求一些定理的嚴格證明、復雜公式的精確推導，更不能死記硬背，而應重視其 應用技巧和處理方法。 4本課程的內容是幾代數(shù)學家

3、與物理學家進行長期創(chuàng)造性研究的成果，幾乎處處都閃耀 創(chuàng)新精神的光芒。教師應當提示學生注意在概念建立、定理提出的過程中所用的創(chuàng)新思維 方法，在課堂教學中應盡可能地體現(xiàn)歷史上的創(chuàng)造過程，提高學生的創(chuàng)造性思維能力。二、目的要求1本課程要求學生對規(guī)定的內容有一個總體了解。掌握其中的基本概念，熟悉一些重要 的理論及公式，并使所學到的知識在頭腦中形成合理的結構。 2本課程要求學生能運用學到的基本數(shù)學方法解決一類常見的物理問題，能較順利地學 習本專業(yè)后繼的物理課程。 3本課程要求學生能熟悉在數(shù)學物理方法的創(chuàng)立過程中用過的創(chuàng)新思維方法，如類比、 推廣、猜想及模型化等，為寫出有特色的學年論文和/或畢業(yè)論文創(chuàng)造條

4、件。三、教材教科書： 教科書：梁昆淼編，數(shù)學物理方法，北京：人民教育出版社，1995 年第三版。 參考書： 參考書：四川大學編，高等數(shù)學第四冊，北京：高等教育出版社，1996 年第三版； 劉連壽、王正清編，數(shù)學物理方法，北京：高等教育出版社，1991 年；大綱-1嚴鎮(zhèn)軍編，數(shù)學物理方法，合肥：中國科學技術大學出版社，1999 年。四、教學建議1本課程課堂講授約需 54 課時（50 課時講授基本內容，4 課時作為機動，每篇章的標題 后注明了講授參考學時數(shù)）。 2學生在學習過程中應注重各章節(jié)所要求內容的全貌，以掌握基本思想和基本方法為主， 培養(yǎng)創(chuàng)新精神。 3學生需獨立完成本大綱所列出的習題，并適當

5、自選做一些其它的習題，提高應用能力。 4在學習過程中，應以教科書教材為主，適當參考所列出的或其它的參考書，要適應各 種不同的教材的編排體系和書寫符號等。第一篇本篇概述復數(shù)函數(shù)論（20+1） 復數(shù)函數(shù)論（20+1）復數(shù)函數(shù)論是指自變數(shù)為復數(shù)的函數(shù)。它是實變函數(shù)在自變數(shù)方面的延伸，并形成了 一個獨立的理論分支。 復變函數(shù)在物理學中有極其廣泛的應用。 首先， 由于復變數(shù)的引入， 賦予了一些物理量以新的意義。例如，物理學中普遍使用復阻抗、復勢、復頻率、復介電 常數(shù)、復磁導率、復哈密頓量等等，這些復數(shù)量都具有新的物理內涵。其次，許多復變函 數(shù)論的方法，如柯西積分、回路積分、羅朗級數(shù)籌，給物理學許多領域中

6、大量的實際問題 提供了有效的處理手段。因此，復變函數(shù)論成為數(shù)學物理方法的一個重要組成部分。 在本篇中，首先引人復變函數(shù)的基本概念，特別是復導數(shù)、柯西?黎曼條件及解析函 數(shù)的概念。其次討論復變函數(shù)的積分，論述柯西定理，并在這個基礎上導出柯西公式，得 到一個函數(shù)在解析點處及其高階導數(shù)在該點處的積分表達式。然后，討論復變函數(shù)的冪級 數(shù)展開理論，同時對復變函數(shù)的孤立奇點進行分類和各類奇點的性態(tài)分析。最后，指出留 數(shù)定理及其應用。鑒于復變函數(shù)所涉及的范圍很廣，對于其它的內容，在本大綱中不作要 求。 在本篇的教學中，學生要善于將復變函數(shù)與實變函數(shù)進行比較。一方面，要注意它們 之間的理論相似之處，充分利用已

7、學的實變函數(shù)的知識，來認識復變函數(shù)相應的理論。另 一方面，要注意它們的不同之處，了解復變函數(shù)有關理論的特點進行學習。在本篇中特別 要重視解析函數(shù)的有關內容，這是貫串本篇知識的軸線。 冪級數(shù)的每一項都是以冪函數(shù)作為基本函數(shù)的，由于冪函數(shù)不是周期函數(shù)，所以將某 一函數(shù)展開成冪級數(shù)后，就很難體現(xiàn)周期性的這個特征。如果要著重研究某一函數(shù)的周期 性時，需要用到傅立葉級數(shù)展開理論。這部分內容雖然是前導課程的范圍，但在本課程的 第二篇中有重要應用，學生必須進行很好地復習鞏固。大綱-2傅立葉級數(shù)理論，還可以延伸到無窮區(qū)間上定義的函數(shù)，形成了傅立葉積分理論。傅 立葉積分理論，是數(shù)學物理方程的一個較重要的內容，也

8、是本篇的一個重要組成部分。同 傅里葉級數(shù)理論一樣，它在物理學的許多領域中被廣泛地應用。 傅立葉展開還有進一步的理論，即廣義傅立葉級數(shù)展開理論。這部分的內容，將在第 二篇的有關特殊函數(shù)理論中闡述。 本篇的教學時間為 20 課時，另安排 1 課時作為機動（可以用來復習傅立葉級數(shù)以及 學習其他需要的擴展內容）。復變函數(shù)（ 第一章 復變函數(shù)（6）基本要求： 基本要求：1熟悉復數(shù)的基本概念和基本運算； 2了解復變函數(shù)的定義，連續(xù)性； 3了解多值函數(shù)的概念； 4掌握復變函數(shù)的求導方法及柯西?黎曼方程； 5了解解析函數(shù)的概念，熟悉一些簡單的解析函數(shù)的表示式。 6了解從實變函數(shù)到復變函數(shù)的推廣過程中的創(chuàng)新思想

9、與方法。教學內容： 教學內容：§1.1復數(shù)與復數(shù)運算。復平面，復數(shù)的表示式，共軛復數(shù)，無窮遠點，復數(shù)的四則運 算，復數(shù)的冪和根式運算，復數(shù)的極限運算。 §1.2復變函數(shù)。復變函數(shù)的概念，開、閉區(qū)域，幾種常見的復變函數(shù)，復變函數(shù)的連 續(xù)性。 §1.3導數(shù)。導數(shù)，導數(shù)的運算，柯西?黎曼方程。 §1.4解析函數(shù)。解析函數(shù)的概念，正交曲線族，調和函數(shù)。 §1.5平面標量場。穩(wěn)定場，標量場，復勢。本章重點： 本章重點：復變函數(shù)的運算，柯西?黎曼條件，解析函數(shù)習 題：§1.1（第 5?6 頁）：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5

10、）（7）3（1） （3）（5）（7） §1.2（第 9 頁）：2（1）（3）（5）（7）（9），3。 §1.3（第 13 頁）：1。 §1.4（第 18 頁）：1，2（1）（4）（6）（7）（10），3。大綱-3復變函數(shù)的積分（ 第二章 復變函數(shù)的積分（3）基本要求： 本要求：1正確理解復變數(shù)函數(shù)路積分的概念； 2深透理解柯西定理及孤立奇點的定義； 3理解并會熟練運用柯西公式。教學內容： 教學內容：§2.1復數(shù)函數(shù)的積分，路積分及其與實變函數(shù)曲線積分的聯(lián)系。 §2.2柯西定理?？挛鞫ɡ淼膬热莺蛻?，孤立奇點，單通區(qū)域，復通區(qū)域，回路積分。 &#

11、167;2.3不定積分*。原函數(shù)。 §2.4柯西公式?？挛鞴降膶С?，高階導數(shù)的積分表達式。（模數(shù)原理及劉維定理不 作要求）本章重點： 本章重點：柯西定理，柯西公式和孤立奇點。習 題：§2.4（第 38 頁）：1，2。冪級數(shù)展開（ 第三章 冪級數(shù)展開（6）基本要求： 基本要求：1理解復數(shù)項級數(shù)概念； 2了解冪級數(shù)的斂散性的判別法及收斂半徑的計算方法； 3會對一些簡單的解析函數(shù)進行泰勒級數(shù)展開； 4了解解析延拓的含義*； 5會對一些簡單的函數(shù)在孤立奇點鄰域內進行羅朗級數(shù)展開； 6熟悉孤立奇點的三種類型，了解極點的階；教學內容： 教學內容：§3.1復數(shù)項級數(shù)，復數(shù)項無

12、窮級數(shù)，收斂性，科西判據(jù)，絕對收斂，一致收斂。 §3.2冪級數(shù)、冪級數(shù)的概念，比值判別法，根值判別法，收斂圓，收斂半徑，冪級數(shù) 的性質。 §3.3泰勒級數(shù)。泰勒級數(shù)的系數(shù)計算公式。 §3.4解析延拓*。解析延拓的基本思想。 §3.5羅朗級數(shù)。廣義冪級數(shù)，收斂環(huán)，羅朗展開。 §3.6奇點分類。羅朗級數(shù)的解吸部分、主要部分，留數(shù)，極點，極點的階，單極點， 本性極點，無窮遠點為奇點的情況。（支點不作要求）。大綱-4本章重點： 本章重點：冪級數(shù)，比值判別法，泰勒級數(shù)，羅朗級數(shù)、收斂圓，收斂環(huán)，函數(shù)按冪級教展開技巧。習 題§3.2（第 46 頁

13、）：1，3（1）（3）（5），4（1）（3）。 §3.3（第 52 頁）：（1）（3）（6）（8）。 §3.5（第 60 頁）：（1）（3）（5）（7）（9）（11）（14）。 §3.6（第 64 頁）：（1）（2）（3）。留數(shù)定理（ 第四章 留數(shù)定理（3）基本要求： 基本要求：1掌握留數(shù)定理，了解留數(shù)的計算方法； 2應用留數(shù)定理計算實變函數(shù)的定積分。教學內容： 教學內容：§4.1留數(shù)定理。留數(shù)定理概念，計算留數(shù)的一般方法，判斷極點的階，極點留數(shù)的計 算方法，例 1?3。 §4.2應用留數(shù)定理計算實變函數(shù)的定積分。類型一，類型二。本章重點： 本

14、章重點：留數(shù)定理及其計算方法。習 題：§4.1（第 71 頁）：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（2）（3），3。 §4.2（第 81?82 頁）1（1）（2）（5）（6），2（3）（4）（6），3（2）（4）（6） （8）。傅立葉變換（2+1） 第五章 傅立葉變換（2+1）基本要求： 基本要求：1了解非周期函數(shù)的傅里葉積分表達式和傅立葉變換的概念。 2掌握傅立葉變換的基本性質與方法。 3了解提出狄拉克函數(shù)過程中的創(chuàng)造性思想。 4掌握狄拉克函數(shù)的定義、基本性質和常用表達式。教學內容： 教學內容：§5.2非周期函數(shù)的傅里葉積分，傅里葉積分的導出，傅立葉變換

15、式，奇函數(shù)的傅里葉 正弦積分，偶函數(shù)的傅立葉余弦積分。 §5.3狄拉克函數(shù)，廣義函數(shù)的提出，狄拉克函數(shù)的定義、表達式和性質。大綱-5本章重點： 本章重點：非周期函數(shù)的傅里葉積分的概念，傅里葉變換的定義。狄拉克函數(shù)的定義、表達式 和性質。習 題：§5.2（第 103?104 頁）：1，3，5。 §5.3（第 113 頁）：2。數(shù)學物理方程 30 方程（ 第二篇 數(shù)學物理方程（303）本篇概述數(shù)學物理方程是本課程的重點， 本篇主要是討論與三類典型的二階線性偏微分方程對應 的定解問題以及由此而連帶引出的本征值問題和特殊函數(shù)理論。這三類方程在物理學的許 多領域中具有其廣泛的應用，例如在理論力學中的哈密頓方程，電動力學中的麥克斯韋方 程，量子力學中的薛定諤方程等等都與這三類方程有密切的關系。 數(shù)學物理方程的意義還在于，對本質上不同的物理問題可以具有相同的數(shù)學模型。通過 同一數(shù)學模型的研究，反過來就可用類比的方法對不同本質的物理問題進行探討。所以， 系統(tǒng)地了解這些典型的數(shù)學物理方程及其求解方法，無疑是研究物理學的重要手段。 本篇主要是涉及幾種常用的方程所對應的定解問題的基本解法， 側重介紹行波法和分離 變數(shù)法。這兩種方法是求解數(shù)學物理方程定解問題的最基本