西安交大西工大 考研備考期末復習 概率論與數理統計 第四章條件概率及獨立性

1、古典概率計算中的基本公式一、條件概率例例1 1 五個鬮五個鬮, 其中兩個鬮內寫著其中兩個鬮內寫著“有有”字，字， 三個鬮內不寫字三個鬮內不寫字 ，五人依次抓取，五人依次抓取,問各人抓到問各人抓到“有有”字鬮的概率是否相字鬮的概率是否相同同?抓鬮問題抓鬮問題解解,人抓到有字鬮”的事件人抓到有字鬮”的事件表示“第表示“第設設iAi. 5 , 4 , 3 , 2 , 1 i則有則有,52)(1 AP引申引申 若已知第一個人抓到的是若已知第一個人抓到的是“有有”字，則字，則第二個人抓到第二個人抓到“有有”字字的概率是多少？若已知的概率是多少？若已知第一個人沒有抓到第一個人沒有抓到 “有有”字字，則第二

2、個人抓到，則第二個人抓到“有有”字字的概率又是多少？的概率又是多少？2()?P A 一、條件概率定義定義1 1：已知事件：已知事件A A發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件下，事件B B發(fā)生的發(fā)生的概率稱為事件概率稱為事件A A發(fā)生條件下事件發(fā)生條件下事件B B的的條件概率條件概率，記作記作P(B|A)P(B|A)。AABnnABP )|()()(APABPnnnnAAB 若事件若事件A A、B B是古典概型的樣本空間是古典概型的樣本空間S S中的兩個事中的兩個事件，其中件，其中A A含有含有 個樣本點個樣本點,AB,AB含有含有 個樣本個樣本點，則點，則 AnABn);()()()( ) 3(212

3、121BAAPBAPBAPBAAP ).(1)( )4(BAPBAP 則有則有件件是兩兩不相容的事是兩兩不相容的事設設可加可列性可加可列性,A,A:)5(21. )BA(PBAP1ii1ii 2. 性質性質; 1)(0:) 1 ( BAP有界性有界性0)B|(PBP 1,)(2)規(guī)范性規(guī)范性一、條件概率例例2 某種動物由出生算起活某種動物由出生算起活20歲以上的概率為歲以上的概率為0.8, 活到活到25歲以上的概率為歲以上的概率為0.4, 如果現在有一個如果現在有一個20歲的這種動物歲的這種動物, 問它能活到問它能活到25歲以上的概率是歲以上的概率是多少多少? 設設 A 表示表示“ 能活能活

4、20 歲以上歲以上 ” 的事件的事件; B 表表示示 “ 能活能活 25 歲以上歲以上”的事件的事件,則有則有, 8 . 0)( AP因為因為.)()()(APABPABP , 4 . 0)( BP),()(BPABP .218 . 04 . 0 )()()(APABPABP 所以所以解解一、條件概率一、條件概率例例3 3 一盒中混有一盒中混有100100只新、舊乒乓球，各有紅、白只新、舊乒乓球，各有紅、白兩色，分類如下表。從盒中隨機取出一球，若取兩色，分類如下表。從盒中隨機取出一球，若取得的是一只紅球，試求該紅球是新球的概率。得的是一只紅球，試求該紅球是新球的概率。紅紅白白新新4030舊舊2

5、010設設A-A-從盒中隨機取到一只紅球從盒中隨機取到一只紅球. . B- B-從盒中隨機取到一只新球從盒中隨機取到一只新球. . 60An40ABn32)|(AABnnABP一、條件概率小結：求條件概率的方法小結：求條件概率的方法（1 1）縮小樣本空間：在樣本空間）縮小樣本空間：在樣本空間S S縮小的縮小的樣本空間樣本空間SASA中考察事件中考察事件B B發(fā)生的概率。發(fā)生的概率。（2 2）用條件概率的定義計算公式。）用條件概率的定義計算公式。)()()|(APABPABP 二、乘法公式例例4 4 在空戰(zhàn)中，甲機先向乙機開火，擊落乙在空戰(zhàn)中，甲機先向乙機開火，擊落乙機的概率為機的概率為0.20

6、.2；若乙機未被擊落，就進行還；若乙機未被擊落，就進行還擊，擊落甲機的概率為擊，擊落甲機的概率為0.30.3，在上述回合中，在上述回合中，甲機被擊落的概率為多少？甲機被擊落的概率為多少？ 啟示啟示：從此例可以看出，直接求兩個事：從此例可以看出，直接求兩個事件積的概率不易獲得，但可以通過將條件積的概率不易獲得，但可以通過將條件概率的計算式變形來求得。件概率的計算式變形來求得。二、乘法公式定理定理1 1 設設P(A)P(A)0,0,則有則有)|()()(ABPAPABP （2）同理對同理對P(B)P(B)0,0,有有 )|()()(BAPBPABP （3）二、乘法公式定理定理2 2 設設nAAA,

7、21為為n n個事件個事件(n2),(n2),且且 0)(121 nAAAP則)|()|()()(12112121 nnnAAAAPAAPAPAAAP（4）例例3 3 合中有合中有3 3個紅球，個紅球，2 2個白球，每次從袋中任取一個白球，每次從袋中任取一只，觀察其顏色后放回，并再放入一只與所取之球顏只，觀察其顏色后放回，并再放入一只與所取之球顏色相同的球，若從合中連續(xù)取球色相同的球，若從合中連續(xù)取球4 4次次, ,試求第試求第1 1、2 2次取次取得白球、第得白球、第3 3、4 4次取得紅球的概率。次取得紅球的概率。解：設解：設A Ai i為第為第i i次取球時取到白球，則次取球時取到白球，

8、則)|()|()|()()(32142131214321AAAAPAAAPAAPAPAAAAP52)(1AP63)|(12AAP73)|(213AAAP84)|(3214AAAAP二、乘法公式例例4 甲、乙兩廠共同生產甲、乙兩廠共同生產1000個零件，其中個零件，其中300件是乙件是乙廠生產的廠生產的. 而在這而在這300個零件中，有個零件中，有189個是標準件，現個是標準件，現從這從這1000個零件中任取一個，問個零件中任取一個，問這個零件是乙廠生產的這個零件是乙廠生產的標準件標準件的概率是多少？的概率是多少？所求為所求為P(AB).甲、乙共生產甲、乙共生產1000 個個189個是個是標準件

9、標準件300個個乙廠生產乙廠生產300個個乙廠生產乙廠生產設設B=零件是乙廠生產零件是乙廠生產A=是標準件是標準件注意注意P(AB)與與P(A | B)的區(qū)別！的區(qū)別！二、乘法公式若改為若改為“發(fā)現它是乙廠生產的發(fā)現它是乙廠生產的,問它是標準件的概率是多少問它是標準件的概率是多少?”求的是求的是 P(A|B) .B發(fā)生發(fā)生,在在P(AB)中作為結果中作為結果;在在P(A|B)中作為條件中作為條件.甲、乙共生產甲、乙共生產1000 個個189個個是是標準件標準件300個個乙廠生產乙廠生產二、乘法公式條件概率條件概率P(A|B)與與P(A)的區(qū)別的區(qū)別 每一個隨機試驗都是在一定條件下進行的，設每一

10、個隨機試驗都是在一定條件下進行的，設A是隨機試驗的一個事件，則是隨機試驗的一個事件，則P(A)是在該試驗條件下是在該試驗條件下事件事件A發(fā)生的可能性大小發(fā)生的可能性大小.P(A)與與P(A |B)的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同,它們是它們是兩個不同的概念兩個不同的概念,在數值上一般也不同在數值上一般也不同. 而條件概率而條件概率P(A|B)是在原條件下又添加是在原條件下又添加“B發(fā)發(fā)生生”這個條件時這個條件時A發(fā)生的可能性大小，即發(fā)生的可能性大小，即P(A|B)仍是仍是概率概率.二、乘法公式三、全概率公式啟示啟示：對于某些復雜的結果事件，如果其復雜：對于某些復雜的結果

11、事件，如果其復雜性是由造成這個結果的原因不確定性引起的，性是由造成這個結果的原因不確定性引起的，可以通過將該事件分解到所有可能的原因上，可以通過將該事件分解到所有可能的原因上，再利用已有的知識來解決。這實際上就是全概再利用已有的知識來解決。這實際上就是全概率公式的率公式的基本思想基本思想。 抓鬮問題抓鬮問題例例1 1 五個鬮五個鬮, 其中兩個鬮內寫著其中兩個鬮內寫著“有有”字，字， 三個鬮內不寫字三個鬮內不寫字 ，五人依次抓取，五人依次抓取,問第二個問第二個人抓到人抓到“有有”字鬮的概率字鬮的概率?三、全概率公式劃分的定義劃分的定義njijiAAji, 2 , 1,1 SAAAn 212nAA

12、A,21定義定義2 2 設設S S為試驗為試驗E E的樣本空間，的樣本空間， 為為E E的一組事件。若的一組事件。若則稱則稱nAAA,21為樣本空間為樣本空間S S的一個劃的一個劃分。分。 樣 本樣 本空間空間S S三、全概率公式nAAA,21 ), 2 , 1( 0)(niAPi )()|()()|()()|()(2211nnAPABPAPABPAPABPBP 定理定理3 3 設試驗設試驗E E的樣本空間為的樣本空間為S,BS,B為為E E的事件的事件, , 為為S S的一個劃分的一個劃分, ,且且 ，則，則全概率公式全概率公式說明說明 (2)(2)適當構造一組劃分事件適當構造一組劃分事件

13、，簡化計算；，簡化計算； iA(1)(1) 的發(fā)生總是伴隨某個的發(fā)生總是伴隨某個 同時發(fā)生；同時發(fā)生；iAB(3)(3)由由“原因原因”推推“結果結果”事件發(fā)生的可能性。事件發(fā)生的可能性。 例例5 5 有一批同一型號的產品有一批同一型號的產品,已知其中由一廠生產已知其中由一廠生產的占的占 30% , 二廠生產的占二廠生產的占 50% , 三廠生產的占三廠生產的占 20%, 又知這三個廠的產品次品率分別為又知這三個廠的產品次品率分別為2% , 1%, 1%,問問從這批產品中任取一件是次品的概率是多少從這批產品中任取一件是次品的概率是多少?設事件設事件 A 為為“任取一件為次品任取一件為次品”,.

14、 3 , 2 , 1, iiBi廠廠的的產產品品任任取取一一件件為為為為事事件件123,BBB 解解. 3 , 2 , 1, jiBBji由全概率公式得由全概率公式得, 2 . 0)(, 5 . 0)(, 3 . 0)(321 BPBPBP30%20%50%2%1%1%112233( )() ()() ()() ().P AP B P ABP B P ABP B P AB.013. 02 . 001. 05 . 001. 03 . 002. 0 ,01. 0)(,01. 0)(,02. 0)(321 BAPBAPBAP112233( )() ()() ()() ()P AP B P ABP B

15、 P ABP B P AB故故稱此為稱此為貝葉斯公式貝葉斯公式. . 四、四、 貝葉斯公式貝葉斯公式., 2 , 1,)()|()()|()|(), 2 , 1(0)(, 0)(,121niAPABPAPABPBAPniAPBPAAAEBEnjjjiiiin則則且且的的一一個個劃劃分分為為的的事事件件為為的的樣樣本本空空間間為為試試驗驗設設定定義義;,)1(.,05. 080. 015. 003. 001. 002. 0321:.概率概率求它是次品的求它是次品的元件元件在倉庫中隨機地取一只在倉庫中隨機地取一只無區(qū)別的標志無區(qū)別的標志且且倉庫中是均勻混合的倉庫中是均勻混合的設這三家工廠的產品在設

16、這三家工廠的產品在提供元件的份額提供元件的份額次品率次品率元件制造廠元件制造廠的數據的數據根據以往的記錄有以下根據以往的記錄有以下件制造廠提供的件制造廠提供的的元件是由三家元的元件是由三家元某電子設備制造廠所用某電子設備制造廠所用例例6 6.,)2(別是多少別是多少三家工廠生產的概率分三家工廠生產的概率分求此次品出由求此次品出由為分析此次品出自何廠為分析此次品出自何廠次品次品若已知取到的是若已知取到的是元件元件在倉庫中隨機地取一只在倉庫中隨機地取一只解解,取到的是一只次品取到的是一只次品表示表示設設 A.家工廠提供的家工廠提供的所取到的產品是由第所取到的產品是由第表示表示i)3 , 2 , 1

17、( iBi,的的一一個個劃劃分分是是樣樣本本空空間間則則321BBB,05. 0)(,80. 0)(,15. 0)(321 BPBPBP且且.03. 0)(,01. 0)(,02. 0)(321 BAPBAPBAP(1) 由由全概率公式得全概率公式得)()()()()()()(332211BPBAPBPBAPBPBAPAP .0125. 0 (2) 由由貝葉斯公式得貝葉斯公式得)()()()(111APBPBAPABP 0125. 015. 002. 0 .24. 0 ,64. 0)()()()(222 APBPBAPABP.12. 0)()()()(333 APBPBAPABP.2 家家工工

18、廠廠的的可可能能性性最最大大故故這這只只次次品品來來自自第第).(,005. 0)(,005. 0,.95. 0)(,95. 0)(,:,ACPCPCAPCAPCA試求試求即即的概率為的概率為設被試驗的人患有癌癥設被試驗的人患有癌癥進行普查進行普查現在對自然人群現在對自然人群有有則則被診斷者患有癌癥被診斷者患有癌癥表示事件表示事件以以為陽性為陽性試驗反應試驗反應表示事件表示事件若以若以驗具有如下的效果驗具有如下的效果某種診斷癌癥的試某種診斷癌癥的試根據以往的臨床記錄根據以往的臨床記錄 解解,05. 0)(1)(,95. 0)( CAPCAPCAP因為因為,995. 0)(,005. 0)( C

19、PCP例例7 7由由貝葉斯公式得所求概率為貝葉斯公式得所求概率為( ) ()()( ) ()( ) ()P C P A CP C AP C P A CP C P A C.087. 0 即平均即平均1000個具有陽性反應的人中大約只有個具有陽性反應的人中大約只有87人人患有癌癥患有癌癥.?,.95,.55,98,概概率率是是多多少少機機器器調調整整得得良良好好的的時時早早上上第第一一件件產產品品是是合合格格試試求求已已知知某某日日機機器器調調整整良良好好的的概概率率為為時時每每天天早早上上機機器器開開動動其其合合格格率率為為種種故故障障時時而而當當機機器器發(fā)發(fā)生生某某產產品品的的合合格格率率為為

20、良良好好時時當當機機器器調調整整得得明明對對以以往往數數據據分分析析結結果果表表%解解.產品合格產品合格為事件為事件設設 A.機器調整良好機器調整良好為事件為事件B則有則有,55. 0)(,98. 0)( BAPBAP例例8,05. 0)(,95. 0)( BPBP 由由貝葉斯公式得所求概率為貝葉斯公式得所求概率為)()()()()()()(BPBAPBPBAPBPBAPABP 05. 055. 095. 098. 095. 098. 0 .97. 0 .97. 0,整良好的概率為整良好的概率為此時機器調此時機器調是合格品時是合格品時即當生產出第一件產品即當生產出第一件產品上題中概率上題中概率

21、 0.95 是由以往的數據分析得到的是由以往的數據分析得到的, 叫叫做做先驗概率先驗概率.而在得到信息之后再重新加以修正的概率而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97叫做叫做后驗概率后驗概率.先驗概率與后驗概率先驗概率與后驗概率 例例9 一輛出租車涉及一起夜間肇事逃逸事故。在這一輛出租車涉及一起夜間肇事逃逸事故。在這個城市里，有綠色個城市里，有綠色”和和“蘭色蘭色”兩家出租汽車公司兩家出租汽車公司(A) 85%的是的是“綠色綠色”,15%是是“蘭色蘭色”。(B)一位目擊者認定這輛出租車是一位目擊者認定這輛出租車是“蘭色蘭色”，假設，假設目擊者是如實陳述的。法庭在與出事當夜相同的環(huán)目擊者是

22、如實陳述的。法庭在與出事當夜相同的環(huán)境下測試了目擊者的可信度，得出結論，在境下測試了目擊者的可信度，得出結論，在80%的的時間里，目擊者能正確識別兩種顏色中的每一種，時間里，目擊者能正確識別兩種顏色中的每一種，在在20%的時間里不能。的時間里不能。 與該事故有牽連的出租車是與該事故有牽連的出租車是“蘭色蘭色”而不是而不是綠色綠色”的概率是多少的概率是多少?例例1010（敏感問題調查）（敏感問題調查）有時需要精確地測定持有時需要精確地測定持有某種信念或經常介入某種具體行為（比如酗有某種信念或經常介入某種具體行為（比如酗酒成癮）的人所占的百分比。酒成癮）的人所占的百分比。19651965年年Sta

23、nley L.WarnerStanley L.Warner發(fā)明了一種能消除人發(fā)明了一種能消除人們抵觸情緒的們抵觸情緒的”隨機化應答隨機化應答”方法。調查方案方法。調查方案如下。該方案的核心是如下兩個問題：如下。該方案的核心是如下兩個問題： 問題問題A A：你的生日是否在：你的生日是否在7 7月月1 1日之前日之前( (一般來說，一般來說，生日在生日在7 7月月1 1日以前的概率為日以前的概率為0.5)0.5)？ 問題問題B B：你是否有酗酒成癮？：你是否有酗酒成癮？被調查者事先從一個裝有黑球和白球的箱子中被調查者事先從一個裝有黑球和白球的箱子中隨機抽取一個球，看過顏色后又放回。若抽出隨機抽取一

24、個球，看過顏色后又放回。若抽出白球則回答問題白球則回答問題A A；若抽出黑球則回答問題；若抽出黑球則回答問題B B。箱中黑球比率箱中黑球比率已知。已知。被調查者無論回答被調查者無論回答A題或題或B，都只需，都只需 選擇選擇“是是”或或“否否” ” ，上述過程都在無人的房間內進行，上述過程都在無人的房間內進行，任何人都不知道被調查者抽到什么顏色的球以任何人都不知道被調查者抽到什么顏色的球以及在答卷中如何選擇，這樣就不會泄露個人秘及在答卷中如何選擇，這樣就不會泄露個人秘密，從而保證了答卷的真實可靠性。密，從而保證了答卷的真實可靠性。問題：問題：如何根據開箱統計結果計算如何根據開箱統計結果計算 P

25、P 答答“是是”| |抽黑球抽黑球 計算積事計算積事件的概率件的概率古典概率計算方法古典概率計算方法乘法公式乘法公式計算復雜計算復雜結果事件結果事件的概率的概率執(zhí)執(zhí)因因求求果果全全概概率率公公式式計算后驗計算后驗概率概率執(zhí)執(zhí)果果尋尋因因貝貝葉葉斯斯公公式式條條件件概概率率實實際際問問題題小小 結結例例1 設袋中有設袋中有4只白球只白球, 2只紅球只紅球 , (1) 無放回隨機無放回隨機地抽取兩次地抽取兩次, 每次取一球每次取一球, 求在兩次抽取中至多抽求在兩次抽取中至多抽到一個紅球的概率到一個紅球的概率? (2) 若無放回的抽取若無放回的抽取 3次次, 每每次抽取一球次抽取一球, 求求 (a)

26、 第一次是白球的情況下第一次是白球的情況下, 第二第二次與第三次均是白球的概率次與第三次均是白球的概率? (b) 第一次與第二第一次與第二次均是白球的情況下次均是白球的情況下 , 第三次是白球的概率第三次是白球的概率?課堂練習課堂練習解解.)1(21二二次次抽抽取取到到紅紅球球第第為為第第一一次次抽抽取取到到紅紅球球為為事事件件紅紅球球個個兩兩次次抽抽取取中中至至多多抽抽到到一一為為事事件件設設AAA.1514546252645364 )()()()(212121AAPAAPAAPAP )()()()()()(121121121AAPAPAAPAPAAPAP 則有則有,212121AAAAAA

27、A . 3 , 2 , 1,)2( iiAi次取出的是白球次取出的是白球第第為為設事件設事件)()(132AAAPa,)()(1321APAAAP .1033251)()()(1321132 APAAAPAAAP所以所以,513634)(,3264)(3211 AAAPAP因為因為,522624)(21 AAP因為因為.215251)()()(21321213 AAPAAAPAAAP所以所以,)()()()(21321213AAPAAAPAAAPb ,513634)(321 AAAP例例2 擲兩顆骰子擲兩顆骰子, 已知兩顆骰子點數之和為已知兩顆骰子點數之和為7, 求其中有一顆為求其中有一顆為1

28、點的概率點的概率.解解設事件設事件A 為為“ 兩顆點數之和為兩顆點數之和為 7 ”, 事件事件 B為為 “ 一顆點數為一顆點數為1 ”.故所求概率為故所求概率為.31 P擲骰子試驗擲骰子試驗 兩顆點數之和為兩顆點數之和為 7 的種數為的種數為 3,其中有一顆為其中有一顆為 1 點的種數為點的種數為 1,例例3 設一倉庫中有設一倉庫中有10 箱同種規(guī)格的產品箱同種規(guī)格的產品, 其中其中由甲、乙、丙三廠生產的分別有由甲、乙、丙三廠生產的分別有5箱箱 , 3箱箱, 2 箱箱,三廠產品的廢品率依次為三廠產品的廢品率依次為 0.1, 0.2, 0.3 從這從這 10箱產品中任取一箱箱產品中任取一箱 ,

29、再從這箱中任取一件產品再從這箱中任取一件產品,求取得的正品概率求取得的正品概率. 設設 A 為事件為事件“取得的產品為正品取得的產品為正品”, 分別表示分別表示“任取一件產品是甲、乙、丙生產的任取一件產品是甲、乙、丙生產的”,321BBB由題設知由題設知.102)(,103)(,105)(321 BPBPBP解解, 7 . 0)(, 8 . 0)(, 9 . 0)(321 BAPBAPBAP故故)()()(31iiiBAPBPAP 107102108103109105 .82. 0 內內 容容 回回 顧顧實實際際問問題題 計算積計算積事件的事件的概率概率 古典概率計算方法古典概率計算方法 乘法

30、公式乘法公式 計算復雜結果計算復雜結果事件的概率事件的概率 執(zhí)執(zhí)因因求求果果 全全概概率率公公式式 條條件件概概率率 計 算計 算后 驗后 驗概率概率 貝貝葉葉斯斯公公式式 執(zhí)執(zhí)果果尋尋因因 1A2AnA例例1 設袋中有設袋中有4只白球只白球, 2只紅球只紅球 , (1) 無放回隨機無放回隨機地抽取兩次地抽取兩次, 每次取一球每次取一球, 求在兩次抽取中至多抽求在兩次抽取中至多抽到一個紅球的概率到一個紅球的概率? (2) 若無放回的抽取若無放回的抽取 3次次, 每每次抽取一球次抽取一球, 求求 (a) 第一次是白球的情況下第一次是白球的情況下, 第二第二次與第三次均是白球的概率次與第三次均是白

31、球的概率? (b) 第一次與第二第一次與第二次均是白球的情況下次均是白球的情況下 , 第三次是白球的概率第三次是白球的概率?解解.)1(21二二次次抽抽取取到到紅紅球球第第為為第第一一次次抽抽取取到到紅紅球球為為事事件件紅紅球球個個兩兩次次抽抽取取中中至至多多抽抽到到一一為為事事件件設設AAA.1514546252645364 )()()()(212121AAPAAPAAPAP )()()()()()(121121121AAPAPAAPAPAAPAP 則有則有,212121AAAAAAA . 3 , 2 , 1,)2( iiAi次取出的是白球次取出的是白球第第為為設事件設事件)()(132AA

32、APa,)()(1321APAAAP .1033251)()()(1321132 APAAAPAAAP所以所以,513634)(,3264)(3211 AAAPAP因為因為,522624)(21 AAP因為因為.215251)()()(21321213 AAPAAAPAAAP所以所以,)()()()(21321213AAPAAAPAAAPb ,513634)(321 AAAP?,.95,.55,98,概概率率是是多多少少機機器器調調整整得得良良好好的的時時早早上上第第一一件件產產品品是是合合格格試試求求已已知知某某日日機機器器調調整整良良好好的的概概率率為為時時每每天天早早上上機機器器開開動動

33、其其合合格格率率為為種種故故障障時時而而當當機機器器發(fā)發(fā)生生某某產產品品的的合合格格率率為為良良好好時時當當機機器器調調整整得得明明對對以以往往數數據據分分析析結結果果表表%解解.產品合格產品合格為事件為事件設設 A.機器調整良好機器調整良好為事件為事件B則有則有,55. 0)(,98. 0)( BAPBAP例例2,05. 0)(,95. 0)( BPBP 由由貝葉斯公式得所求概率為貝葉斯公式得所求概率為)()()()()()()(BPBAPBPBAPBPBAPABP 05. 055. 095. 098. 095. 098. 0 .97. 0 .97. 0,整良好的概率為整良好的概率為此時機器

34、調此時機器調是合格品時是合格品時即當生產出第一件產品即當生產出第一件產品上題中概率上題中概率 0.95 是由以往的數據分析得到的是由以往的數據分析得到的, 叫叫做做先驗概率先驗概率.而在得到信息之后再重新加以修正的概率而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97叫做叫做后驗概率后驗概率.先驗概率與后驗概率先驗概率與后驗概率 例例3 一輛出租車涉及一起夜間肇事逃逸事故。在這一輛出租車涉及一起夜間肇事逃逸事故。在這個城市里，有綠色個城市里，有綠色”和和“蘭色蘭色”兩家出租汽車公司兩家出租汽車公司(A) 85%的是的是“綠色綠色”,15%是是“蘭色蘭色”。(B)一位目擊者認定這輛出租車是一位目擊者

35、認定這輛出租車是“蘭色蘭色”，假設，假設目擊者是如實陳述的。法庭在與出事當夜相同的環(huán)目擊者是如實陳述的。法庭在與出事當夜相同的環(huán)境下測試了目擊者的可信度，得出結論，在境下測試了目擊者的可信度，得出結論，在80%的的時間里，目擊者能正確識別兩種顏色中的每一種，時間里，目擊者能正確識別兩種顏色中的每一種，在在20%的時間里不能。的時間里不能。 與該事故有牽連的出租車是與該事故有牽連的出租車是“蘭色蘭色”而不是而不是綠色綠色”的概率是多少的概率是多少?例例4 4（敏感問題調查）（敏感問題調查）有時需要精確地測定持有有時需要精確地測定持有某種信念或經常介入某種具體行為（比如酗酒某種信念或經常介入某種具

36、體行為（比如酗酒成癮）的人所占的百分比。成癮）的人所占的百分比。19651965年年Stanley L.WarnerStanley L.Warner發(fā)明了一種能消除人發(fā)明了一種能消除人們抵觸情緒的們抵觸情緒的”隨機化應答隨機化應答”方法。調查方案方法。調查方案如下。該方案的核心是如下兩個問題：如下。該方案的核心是如下兩個問題： 問題問題A A：你的生日是否在：你的生日是否在7 7月月1 1日之前日之前( (一般來說，一般來說，生日在生日在7 7月月1 1日以前的概率為日以前的概率為0.5)0.5)？ 問題問題B B：你是否有酗酒成癮？：你是否有酗酒成癮？被調查者事先從一個裝有黑球和白球的箱子中

37、被調查者事先從一個裝有黑球和白球的箱子中隨機抽取一個球，看過顏色后又放回。若抽出隨機抽取一個球，看過顏色后又放回。若抽出白球則回答問題白球則回答問題A A；若抽出黑球則回答問題；若抽出黑球則回答問題B B。箱中黑球比率箱中黑球比率已知。已知。被調查者無論回答被調查者無論回答A題或題或B，都只需，都只需 選擇選擇“是是”或或“否否” ” ，上述過程都在無人的房間內進行，上述過程都在無人的房間內進行，任何人都不知道被調查者抽到什么顏色的球以任何人都不知道被調查者抽到什么顏色的球以及在答卷中如何選擇，這樣就不會泄露個人秘及在答卷中如何選擇，這樣就不會泄露個人秘密，從而保證了答卷的真實可靠性。密，從而

38、保證了答卷的真實可靠性。問題：問題：如何根據開箱統計結果計算如何根據開箱統計結果計算 P P 答答“是是”| |抽黑球抽黑球 (一一) 兩個事件的獨立性兩個事件的獨立性由條件概率，知由條件概率，知)()()(BPABPBAP 一般地，一般地，)()(APBAP 這意味著：事件這意味著：事件B的發(fā)生對事件的發(fā)生對事件A發(fā)生的概發(fā)生的概率有影響率有影響.然而，在有些情形下又會出現：然而，在有些情形下又會出現：)()(APBAP 第四節(jié)第四節(jié) 事件的獨立性事件的獨立性,.,),23(5取取到到綠綠球球第第二二次次抽抽取取取取到到綠綠球球第第一一次次抽抽取取記記有有放放回回地地取取兩兩次次每每次次取取

39、出出一一個個紅紅綠綠個個球球盒盒中中有有 BA則有則有 )(ABP.發(fā)發(fā)生生的的可可能能性性大大小小的的發(fā)發(fā)生生并并不不影影響響它它表表示示BA)()(BPABP )()()(BPAPABP 53)(BP 1.引例引例，則，則若若0)( AP.,)()()(,獨獨立立簡簡稱稱相相互互獨獨立立則則稱稱事事件件如如果果滿滿足足等等式式是是兩兩事事件件設設BABABPAPABPBA 2. 定義定義1.9注注. 1則則若若, 0)( AP)()(BPABP )()()(BPAPABP 說明說明 事件事件 A 與與 B 相互獨立相互獨立,是指事件是指事件 A 的的發(fā)生與事件發(fā)生與事件 B 發(fā)生的概率無關

40、發(fā)生的概率無關.2 獨立與互斥的關系獨立與互斥的關系兩事件相互獨立兩事件相互獨立)()()(BPAPABP 兩事件互斥兩事件互斥 AB,21)(,21)( BPAP若若).()()(BPAPABP 則則例如例如二者之間沒二者之間沒有必然聯系有必然聯系獨立是事獨立是事件間的概件間的概率屬性率屬性互斥是事互斥是事件間本身件間本身的關系的關系11ABAB由此可見由此可見兩事件兩事件相互獨立相互獨立但兩事件但兩事件不互斥不互斥.兩事件兩事件相互獨立相互獨立兩事件兩事件互斥互斥.AB)(21)(,21)(如圖如圖若若 BPAP)()()(BPAPABP 故故由此可見由此可見兩事件兩事件互斥互斥但但不獨立

41、不獨立., 0)( ABP則則,41)()( BPAP又如：又如：兩事件兩事件相互獨立相互獨立.兩事件兩事件互斥互斥3.性質性質(1) 必然事件必然事件 及不可能事件及不可能事件與任何事件與任何事件A相互獨立相互獨立.證證 A=A, P( )=1 P( A) = P(A)=1 P(A)= P( ) P(A)即即 與與A獨立獨立. A=, P()=0 P(A) = P()=0= P() P(A)即即 與與A獨立獨立.(2) 若事件若事件A與與B相互獨立相互獨立, 則以下三對事件則以下三對事件也相互獨立也相互獨立.；與與 BA；與與 BA.BA 與與證證 BAABBBAAA )()()()(BAP

42、ABPAP )()()(ABPAPBAP 注注 稱此為二事件的獨立性稱此為二事件的獨立性 關于逆運算封閉關于逆運算封閉.又又 A與與B相互獨立相互獨立)()()(ABPAPBAP )()()(BPAPAP )(1)(BPAP )()(BPAP )(對偶律對偶律BABA )()(BAPBAP )(1BAP )(1BAP )()()(1ABPBPAP )()()()(1BPAPBPAP )(1)()(1 APBPAP )(1 )(1 BPAP ).()(BPAP 甲甲, 乙兩人乙兩人同時同時向敵人炮擊向敵人炮擊,已知甲擊中已知甲擊中敵機的概率為敵機的概率為0.6, 乙擊中敵機的概率為乙擊中敵機的概

43、率為0.5, 求敵機被擊中的概率求敵機被擊中的概率.解解設設 A= 甲擊中敵機甲擊中敵機 B= 乙擊中敵機乙擊中敵機 C=敵機被擊中敵機被擊中 .BAC 則則依題設依題設,5 . 0)(, 6 . 0)( BPAP例例1由于由于 甲，乙甲，乙同時同時射擊，甲擊中敵機并不影射擊，甲擊中敵機并不影響乙擊中敵機的可能性，所以響乙擊中敵機的可能性，所以 A與與B獨立獨立,進而進而.獨獨立立與與 BABAC BA )(1)(CPCP )()(1BPAP )(1)(11BPAP )5 . 01)(6 . 01(1 = 0.81. 三事件三事件兩兩兩兩相互獨立的概念相互獨立的概念(二二) 多個事件的獨立性多

44、個事件的獨立性定義定義.,),()()(),()()(),()()(,兩兩相互獨立兩兩相互獨立則稱事件則稱事件如果滿足等式如果滿足等式是三個事件是三個事件設設CBACPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA 2. 三事件相互獨立的概念三事件相互獨立的概念定義定義1.10.,),()()()(),()()(),()()(),()()(,相互獨立相互獨立則稱事件則稱事件如果滿足等式如果滿足等式是三個事件是三個事件設設CBACPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA 設設 A1，A2 ， ，An為為n 個事件個事件，若對于任意若對于任意k(1kn), 及及 1i 1

45、i 2 i kn 3. n 個事件的獨立性個事件的獨立性定義定義 若事件若事件 A1，A2 ， ，An 中任意兩個事件中任意兩個事件相互獨立，即對于一切相互獨立，即對于一切 1 i j n, 有有)()()(jijiAPAPAAP .21兩兩兩兩相相互互獨獨立立，則則稱稱nAAA.12)11(1032個式子個式子共共nCCCCCnnnnnnnn 定義定義1.11)()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP 有有.21相相互互獨獨立立，則則稱稱nAAA注注. 相相互互獨獨立立nAAA,21兩兩兩兩相相互互獨獨立立nAAA,21設一個口袋里裝有四張形狀相同的卡設一個口袋里裝有四張形

46、狀相同的卡片片.在這四張卡片上依次標有下列各組在這四張卡片上依次標有下列各組數字：數字：110，101，011，000 從袋中任從袋中任取一張卡片，記取一張卡片，記1位上的數字為位上的數字為取到的卡片第取到的卡片第iAi 證明：證明：;,)1(321兩兩兩兩相相互互獨獨立立AAA.,)2(321不不相相互互獨獨立立AAA例例23 , 2 , 1i證證 (1)()(2142)(321APAPAP 41)(21 AAP)()(21APAP 41)(31 AAP)()(31APAP 41)(32 AAP)()(32APAP ;,321兩兩兩兩相相互互獨獨立立AAA )()2(321AAAP040 8

47、1)()()(321 APAPAP.,321不不相相互互獨獨立立AAA110，101，011，000.)2(,)2(,. 121個事件也是相互獨立個事件也是相互獨立其中任意其中任意則則相互獨立相互獨立若事件若事件nkknAAAn )( . ,)(,.運運算算封封閉閉獨獨立立性性關關于于個個事事件件仍仍相相互互獨獨立立所所得得的的立立事事件件們們的的對對中中任任意意多多個個事事件件換換成成它它則則將將相相互互獨獨立立個個事事件件若若nAAAnAAAnnn212122 兩個結論兩個結論n 個獨立事件和的概率公式個獨立事件和的概率公式:nAAA,21設設事件事件 相互獨立相互獨立, ,則則）nAAA

48、P211( )(121nAAAP )()()(nAPAPAP211也相互獨立也相互獨立nAAA,21即即 n個獨立事件至少有一個發(fā)生的概率等于個獨立事件至少有一個發(fā)生的概率等于1減去各自對立事件概率的乘積減去各自對立事件概率的乘積.)(nAAAP21結論的應用結論的應用若每個人血清中含有肝炎病毒的概率為若每個人血清中含有肝炎病毒的概率為0.4%, 假設每個人血清中是否含有肝炎假設每個人血清中是否含有肝炎病毒相互獨立，混合病毒相互獨立，混合100個人的血清，個人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率求此血清中含有肝炎病毒的概率.解解毒毒個個人人的的血血清清含含有有肝肝炎炎病病第第記記iAi 則則0

49、04. 0)( iAP10021AAAB 例例3100肝肝炎炎病病毒毒個個人人的的混混合合血血清清中中含含有有 B100, 2 , 1i依題設，依題設，相相互互獨獨立立10021,AAA)()(10021AAAPBP )(110021AAAP )(110021AAAP )()()(110021APAPAP 1001)(11AP 100)004. 01(1 100)996. 0(1 33. 0 事件的獨立性在事件的獨立性在可靠性理論可靠性理論中的應用：中的應用：一個元件的可靠性一個元件的可靠性：該元件正常工作的概率該元件正常工作的概率.一個系統的可靠性一個系統的可靠性：由元件組成的系統正常由元件

50、組成的系統正常工作的概率工作的概率.設一個系統由設一個系統由3 個元件組成，每個元件的個元件組成，每個元件的可靠性均為可靠性均為 r，且各元件能否正常工作是，且各元件能否正常工作是相互獨立的相互獨立的.求下列兩個系統求下列兩個系統和和的可靠性；的可靠性；書例書例6第五節(jié)第五節(jié) 重復獨立試驗重復獨立試驗 二項概率公式二項概率公式1. 定義定義1.12 (獨立試驗序列獨立試驗序列) 設設Ei (i=1,2,)是一列隨機試驗是一列隨機試驗,Ei的樣本空的樣本空間為間為 i ,設設Ak 是是Ek 中的任一事件中的任一事件,Ak k , 若若Ak出出現現的概率都不依賴于其它各次試驗的概率都不依賴于其它各

51、次試驗Ei (i k)的結果的結果, 則稱則稱Ei 是是相互獨立相互獨立的隨機試驗序列試驗序列,簡稱簡稱獨立試獨立試驗驗序列序列.則稱這則稱這n次重復試驗為次重復試驗為n重貝努里試驗，簡稱為重貝努里試驗，簡稱為貝努里概型貝努里概型.若若n 次重復試驗具有下列次重復試驗具有下列特點：特點：2. n 重貝重貝努利努利(Bernoulli)試驗試驗1) 每次試驗的可能結果只有兩個每次試驗的可能結果只有兩個A 或或,ApAPpAP 1)(,)(且且2) 各次試驗的結果相互獨立，各次試驗的結果相互獨立，( 在各次試驗中在各次試驗中p是常數，保持不變）是常數，保持不變）實例實例1 拋一枚硬幣觀察得到正面或

52、反面拋一枚硬幣觀察得到正面或反面. 若將若將 硬幣拋硬幣拋 n 次次,就是就是n重伯努利試驗重伯努利試驗.實例實例2 拋一顆骰子拋一顆骰子n次次,觀察是否觀察是否 “出現出現 1 點點”, 就就是是 n重伯努利試驗重伯努利試驗.一般地，一般地，對于對于貝努里概型貝努里概型，有如下公式：，有如下公式：定理定理 如果在貝努里試驗中，事件如果在貝努里試驗中，事件A出現的出現的概率為概率為p (0p1), 則在則在n次試驗中，次試驗中，A恰好出現恰好出現 k 次的概率為：次的概率為：knkknnppCkP )1()()1;, 2, 1 , 0(pqnk knkknqpC . 1)(0 nknkP且且3

53、. 二項概率公式二項概率公式,發(fā)發(fā)生生的的次次數數重重伯伯努努利利試試驗驗中中事事件件表表示示若若AnX所有可能取的值為所有可能取的值為則則 X., 2, 1, 0n推導如下：推導如下：,)0(時時當當nkkX .次次次試驗中發(fā)生了次試驗中發(fā)生了在在即即knA 次次kAAA, 次次knAAA 次次1 kAAAA A 次次1 knAAA次的方式共有次的方式共有次試驗中發(fā)生次試驗中發(fā)生在在得得knA,種種knC且兩兩互不相容且兩兩互不相容.稱上式為稱上式為二項分布二項分布. 記為記為).,(pnBX次次的的概概率率為為次次試試驗驗中中發(fā)發(fā)生生在在因因此此knAknkknppC )1(pq 1記記k

54、nkknqpC 經計算得經計算得.)4 , 3 , 2 , 1 , 0(,4,6,4,10道道題題的的概概率率問問能能碰碰對對試試于于是是隨隨意意填填寫寫道道題題不不會會做做有有道道題題生生僅僅會會做做今今有有一一考考其其中中一一個個為為正正確確答答案案可可供供選選擇擇的的答答案案個個每每道道選選擇擇題題有有道道選選擇擇題題設設某某考考卷卷上上有有 mm則則道題這一事實道題這一事實道題中碰對道題中碰對表示表示設設,4mBm31604341040040.)()()( CBP04804341343343.)()()( CBP例例5解解)4 , 3 , 2 , 1 , 0()43()41()(44

55、mCBPmmmm.3)2( ,3)1(5,5,%20件件次次品品的的概概率率至至多多有有概概率率件件次次品品的的恰恰好好有有件件樣樣品品中中計計算算這這件件樣樣品品共共取取進進行行重重復復抽抽樣樣檢檢查查的的次次品品一一批批產產品品有有則則表表示示至至多多有有件件次次品品件件次次品品件件件件件件有有件件樣樣品品中中恰恰好好分分別別表表示示設設,3,2,1,05,3210AAAAA3533538020 ).().()(CAPiiiiCAPAPAPAPAAAAPAP 5530321032108020).().()()()()()()(例例6解解,概概率率首首次次發(fā)發(fā)生生在在第第需需要要計計算算事事

56、件件在在貝貝努努利利試試驗驗中中，通通常常kA.,1,發(fā)生發(fā)生次次第第發(fā)生發(fā)生次均是次均是前前次次即試驗總共進行了即試驗總共進行了AkAkk ppAPAPAPBPAAAABiAkiABkkkkkkkik111121121 )()()()()(,),(,則則次試驗中發(fā)生次試驗中發(fā)生第第在在記事件記事件以以記這一事件記這一事件若以若以幾何分布幾何分布幾何分布幾何分布例例7.,1,次次打打開開門門的的概概率率求求該該人人在在第第的的概概率率被被選選中中即即每每次次以以開開門門他他隨隨機機地地選選取取一一把把鑰鑰匙匙打打開開這這個個門門其其中中僅僅有有一一把把能能把把鑰鑰匙匙他他共共有有一一個個人人開

57、開門門knn則則次次打打開開門門表表示示第第令令,kBk,)()(211111 knnBPkk解解練習題練習題伯恩斯坦反例伯恩斯坦反例 一個均勻的正四面體一個均勻的正四面體, 其第一面染成紅色其第一面染成紅色,第二面染成白色第二面染成白色 , 第三面染成黑色第三面染成黑色, 而第四面同而第四面同時染上紅、白、黑三種顏色時染上紅、白、黑三種顏色.現以現以 A , B, C 分別分別記投一次四面體出現紅記投一次四面體出現紅, 白白, 黑顏色朝下的事件黑顏色朝下的事件, 問問 A,B,C是否相互獨立是否相互獨立?解解由于在四面體中紅由于在四面體中紅, 白白, 黑分別出現兩面黑分別出現兩面, 因此因此

58、,21)()()( CPBPAP又由題意知又由題意知例例1,41)()()( ACPBCPABP故有故有因此因此 A、B、C 不相互獨立不相互獨立. ,41)()()(,41)()()(,41)()()(CPAPACPCPBPBCPBPAPABP則三事件則三事件 A, B, C 兩兩獨立兩兩獨立.由于由于41)( ABCP),()()(81CPBPAP 設每一名機槍射擊手擊落飛機的概率都是設每一名機槍射擊手擊落飛機的概率都是0.2,若若10名機槍射擊手同時向一架飛機射擊名機槍射擊手同時向一架飛機射擊,問擊問擊落飛機的概率是多少落飛機的概率是多少?射擊問題射擊問題例例2解解,名射手擊落飛機名射手

59、擊落飛機第第為為設事件設事件iAi事件事件 B 為為“擊落飛機擊落飛機”, ,1021AAAB 則則.10, 2 , 1 i)()(1021AAAPBP )(11021AAAP )()()(11021APAPAP .893. 0)8 . 0(110 )(11021AAAP 甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊, 三人三人擊中的概率分別為擊中的概率分別為 0.4, 0.5, 0.7, 飛機被一人擊中飛機被一人擊中而被擊落的概率為而被擊落的概率為0.2 ,被兩人擊中而被擊落的概被兩人擊中而被擊落的概率為率為 0.6 , 若三人都擊中飛機必定被擊落若三人都擊中飛機必定被擊

60、落, 求飛機求飛機被擊落的概率被擊落的概率.解解 ,個個人人擊擊中中敵敵機機表表示示有有設設iAiA, B, C 分別表示甲、乙、丙擊中敵機分別表示甲、乙、丙擊中敵機 , ,1CBACBACBAA 由于由于, 7 . 0)(, 5 . 0)(, 4 . 0)( CPBPAP則則例例3)()()()()()()()()()(1CPBPAPCPBPAPCPBPAPAP 故故得得7 . 05 . 06 . 03 . 05 . 06 . 03 . 05 . 04 . 0 .36. 0 ,2BCACBACABA 因為因為)()()()()()()()()(CPBPAPCPBPAPCPBPAP .41.