西安交大西工大 考研備考期末復(fù)習(xí) 線性代數(shù)練習(xí)題

1、線性代數(shù)模擬題一一 單項(xiàng)選擇題（每題3分，共18分） 1已知矩陣，且，則 a. 當(dāng)時(shí)，必有秩； b. 當(dāng)時(shí)，必有秩；c. 當(dāng)時(shí)，必有秩； d. 當(dāng)時(shí)，必有秩。2 已知 為3維列向量組，行列式 ，則行列式 a. 6； b. 6； c. 18； d. 18。3. 設(shè)線性空間中向量組線性無關(guān)，則的下列生成子空間中，維數(shù)為3的生成子空間是 a. L； b. L；c. L； d. L。4設(shè)為維列向量組，矩陣，下列選項(xiàng)中正確的是 a. 若線性相關(guān)，則線性無關(guān)；b. 若線性相關(guān)，則線性相關(guān)；c. 若線性無關(guān)，則線性無關(guān)；d. 若線性無關(guān)，則線性相關(guān)。5. 設(shè)為非零實(shí)矩陣，是行列式 中元素的代數(shù)余子式，則矩陣

2、必為 a. 不可逆矩陣； b. 對(duì)稱矩陣； c. 正交矩陣； d. 正定矩陣。6設(shè)為階非奇異矩陣，為的伴隨矩陣，則 a. ； b. ； c. ； d. 。 二 填空題（每題3分，共18分）1. 設(shè)3階方陣有特征值，則的相似對(duì)角陣為 ；2. 設(shè),，其中是非齊次線性方程組的解,為矩陣,且, 則線性方程組 的通解為 ；3. 設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣滿足，則二次型 經(jīng)正交變換 可化為標(biāo)準(zhǔn)形 ；4已知矩陣滿足，且，則行列式 ；5設(shè)4階矩陣滿足行列式，則其伴隨矩陣必有一個(gè)特征值為 ；6 已知4階矩陣 的秩 ，則齊次線性方程組 的基礎(chǔ)解系含 個(gè)線性無關(guān)的解向量。二 計(jì)算題（每題8分，共48分）1已知階矩陣且滿足方程 ，

3、其中，求矩陣。2. 已知非齊次線性方程組 ，其系數(shù)矩陣的秩試求：常數(shù)的值，以及該方程組的通解。3. 求正交變換,將實(shí)二次型 化為標(biāo)準(zhǔn)型,并寫出正交變換。4. 設(shè)為4階方陣，其中是4維列向量，且線性無關(guān)，。已知向量，試求線性方程組的通解。5. 已知 是3維線性空間的一個(gè)基，且 ， ， 。 （1）求由基 到基的過渡矩陣；（2）設(shè)向量 ，求 在基 下的坐標(biāo)6. 設(shè)列向量 是矩陣 的對(duì)應(yīng)特征值的一個(gè)特征向量. （1）求常數(shù) ； （2）試問：矩陣能否相似于對(duì)角矩陣？ 為什么？四 證明題（每題8分，共16分）1. 已知矩陣為階正定矩陣,證明:（1） 矩陣的特征值都大于零； （2）若，則為正定矩陣。2設(shè)階方

4、陣,其中是維列向量,證明：（1）的充要條件為； （2）當(dāng)時(shí)，矩陣不可逆。模擬題一答案一 選擇題 B A A C D二 填空題1. ； 2.；3.；4.； 5.三 計(jì)算題1； 2(1) (2) ， 3無解， 唯一解，通解為 ；4(1) 特征值 ；特征向量； (2) ，。5；6. (1)；(2)；(3), A。四 證明題1(1) ，故。 (2) ，且可由線性表示,故向量組與等價(jià)。 (1) 若不，則對(duì)任意， 線性相關(guān)，線性無關(guān),故由線性表示，矛盾。2(1) 因?yàn)?且所以。(2) 因?yàn)?，特征值的取值為，線性無關(guān)特征向量有個(gè)線性無關(guān)特征向量有個(gè)所以有個(gè)線性無關(guān)的特征向量，能相似于對(duì)角陣。(3) 的特征值

5、為344和549，所以，其中為特征值3的重?cái)?shù)。線性代數(shù)模擬題二一、單項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分）1. 向量組線性無關(guān)，且可由向量組線性表示，則以下結(jié)論中不能成立的是 (A) 向量組線性無關(guān)；(B) 對(duì)任一個(gè)，向量組線性相關(guān)；(C) 存在一個(gè)，向量組線性無關(guān)；(D) 向量組與向量組等價(jià)。2. 設(shè)三階矩陣 ，已知伴隨矩陣的秩為1，則必有 (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。 3. 設(shè)是維非零實(shí)列向量,矩陣,，則_(A) 至少有1個(gè)特征值為1； (B) 只有1個(gè)特征值為1；(C) 恰有個(gè)特征值為1； (D) 沒有1個(gè)特征值為1。4. (A) ； (B) ；(C) ； (D) 。5. 設(shè)為

6、實(shí)矩陣，則 (A) 必合同于階單位矩陣； (B) 必等價(jià)于階單位矩陣；(C) 必相似于階單位矩陣；(D) 是階單位矩陣。二、填空題（每題3分，共15分）1已知為階方陣，不是的特征值，且，則 。2. 若三階方陣有特征值 ，則行列式 。3已知實(shí)二次型正定,則常數(shù)的取值范圍為_。 4. 已知為階方陣，是的列向量組，行列式，其伴隨矩陣，則齊次線性方程組的通解為 。5. 設(shè)為階實(shí)矩陣，且，則行列式 。三、計(jì)算題(每題9分,共54分)1 線性方程組為 ，問,各取何值時(shí)，線性方程組無解，有唯一解，有無窮多解？在有無窮多解時(shí)求出其通解。2. 設(shè)3階方陣滿足方程 ，試求矩陣，其中， 。3計(jì)算行列式，其中， 4.

7、 已知實(shí)二次型 =，求正交變換,化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出正交變換 5. 已知為三階實(shí)對(duì)稱矩陣，秩,是對(duì)應(yīng)特征值的特征向量，試求：（1）的另一個(gè)特征值及其特征向量； （2） 矩陣，矩陣。6. 設(shè)的兩個(gè)基，；， （1） 求由基 的過渡矩陣； （2） 已知向量，求向量在基 下的坐標(biāo)；(3) 求在基下有相同坐標(biāo)的所有向量。四、證明題(每題8分,共16分)1 設(shè)為矩陣，證明：存在非零矩陣，使的充分必要條件為秩。2. 設(shè)是階實(shí)矩陣,的特征值互異。證明:矩陣的充分必要條件為的特征向量都是的特征向量。模擬題二答案一、選擇題1.(B) 2.(B) 3.(C) 4.(D) 5.(A) 二、填空題1. ； 2. ； 3. ；4. 是的極大線性無關(guān)組；5. 三、計(jì)算題1. 當(dāng)2時(shí)，方程組有唯一解 當(dāng)2，1時(shí)，方程組無解 當(dāng)2，1時(shí)，2 < 3，方程組有無窮多組解,其通解為 ，為任意常數(shù)。2. ， 3. ， ，。4.的矩陣，有特征值 A對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量與單位正交特征向量，；， 于是正交變換即 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 。5（1） 因?yàn)?，所以；設(shè)，由正交， 得 （2） 設(shè)，則 。6. (1) 設(shè) , (2) ，坐標(biāo) （3） 設(shè) 則 解得，故。四、證明題1設(shè)，則都是線性方程組的解。故方程組有非零解。2 必要性： 設(shè)，則當(dāng)時(shí)，由，知 都是對(duì)應(yīng)特征