數(shù)列上下極限的不同定義方式及相關性質

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上目 錄數(shù)列上下極限的不同定義方式及相關性質摘要.01一、數(shù)列的上極限、下極限的定義.011. 用“數(shù)列的聚點”來定義.012. 用“數(shù)列的確界”來定義.023. 數(shù)列上、下極限定義的等價性.02二、數(shù)列的上、下極限的性質及定理. 04參考文獻. 14英文摘要.15數(shù)列上下極限的不同定義方式及相關性質摘 要：數(shù)列的上、下極限的概念是極限概念的延伸，由于它們在正項級數(shù)斂散性的判別法中的重要作用，又成為數(shù)學分析中重要的理論部分.本文主要討論了數(shù)列的上下極限的兩種定義方式及其等價證明和一些相關定理.關鍵詞：數(shù)列、上極限、下極限、聚點、函數(shù)一、數(shù)列的上極限、下極限的定義關于數(shù)列

2、的上極限、下極限的定義常見的有如下兩種形式：1. 用“數(shù)列的聚點”來定義定義 1 若在數(shù)a的任一鄰域內(nèi)都含有數(shù)列的無限多項，則稱為數(shù)列的一個聚點.例1 數(shù)列有聚點與； 數(shù)列有和五個聚點； 數(shù)列只有一個聚點； 常數(shù)列只有一個聚點.定義 2 有界數(shù)列的最大聚點與最小聚點分別稱為數(shù)列的上極限和下極限，記作;.例2 2. 用“數(shù)列的確界”來定義定義3 任給數(shù)列，定義 ; （1）分別稱為數(shù)列的上極限和下極限.若定義1中的可允許是非正常點或，則：任一點列至少有一個聚點，且存在最大聚點與最小聚點.不難證明：正上（下）界點列的最大（小）聚點為.于是，無上（下）界點列有非正常上（下）極限.例3 3. 數(shù)列上、下

3、極限定義的等價性下面我們來證明一下數(shù)列上、下極限定義的等價性，即；.證明：如果，由于關于單調(diào)遞減，所以，.于是，可?。ㄗ匀粩?shù)）,又可取 所以，得到數(shù)列的子列.這就證明了為數(shù)列的聚點，且為最大聚點.由此可得;如果，則或實數(shù).設數(shù)列的任一聚點，則必有的子列，. ,所以，數(shù)列的最大聚點滿足.另一方面， 易見，中最多含有數(shù)列中的有限多項.因此，當時，有，從而，當時，有由此可得.令，推出.綜合上述，有.類似的可證明或應用上式于可證得.如果，由于關于單調(diào)遞減，所以，對.于是，可取自然數(shù)使得,又可取自然數(shù) 使得所以，得到數(shù)列的子列.這就證明了為數(shù)列的聚點，且為最小聚點.由此可得;如果，則或實數(shù).設數(shù)列的任一

4、聚點，則必有的子列，.任意的n是自然數(shù)所以，數(shù)列的最小聚點滿足.另一方面，對任意的y易見，（-中最多含有數(shù)列中的有限多項.因此，存在N是自然數(shù)當時，有，從而，當時，有，由此可得.令y，推出.綜合上述，有.下面進一步給出和數(shù)列上，下極限定義有關的性質及定理.二、數(shù)列的上、下極限的性質及定理設有數(shù)列與數(shù)列，則數(shù)列的上、下極限有以下性質性質 1 ； （2） 性質 2 例4 用上下極限理論證明：若是有界發(fā)散數(shù)列，則存在的兩個子列收斂于兩個不同的極限.證明：因為數(shù)列發(fā)散的充要條件是，于是存在的兩個子列，使，即存在的兩個子列收斂于不同的極限.性質 3 （保不等式性質）設有界數(shù)列，滿足：存在,當時有，則 ;

5、 ;特別，若為常數(shù)，又存在，當時有，則性質 4 設，則 （3） （4）例5 證明：若收斂，則對任意，有證明：分三種情況討論1、 若，則中有無窮多項大于零，作新序列 則，且，對應用（4）有因收斂，所以 ，故上式表明 但 所以 2、 若，在限制條件下，因此充分大時有，這時等式明顯成立.3、 若，可取充分大的正常數(shù),使得，如此應用1、的結果， 再根據(jù)（3），此即 從而 ，證畢.性質 5 在不發(fā)生情況下，有如下不等式成立：1、2、3、事實上，這里的等號可以不發(fā)生，如對；，這時例6 證明：若收斂，則對任意，有證：我們已有注意收斂，因此，所以上式即為 即成立.例7 證明：（1） （2） 證： 先證： （1

6、） 設，則依上極限定義，數(shù)列中至多只有項大于，而有窮項小于，即對，至多有項小于，而有窮項大于，所以依下極限定義，有 ，即. 設 ，用反證法，設，依下極限定義，,當時，有不妨設 ，則當時， 又有 ，依下極限定義，則當時，當 時，由此推出矛盾，故，即，又令，則.于是，由于 ，所以 （2） 以及分別代替題（1）中的與，有，由 得 ，即 ，當；時，題（1）（2）中僅不等號成立.性質 6 ; ; 性質 7 若 ，則 ; （7）例7 證：若且，則數(shù)列收斂. 證明：若，則子列，于是有，這與相矛盾，這樣應當有，然后用上下極限等價定義來證明.性質8 當 ，且，則下式右端有意義（不是型）時，有 ; . 證明：以第

7、二式為例給出證明首先設 ，其中為有限數(shù)或.令 則 ; .由得，即，也就是，代回到就得到.其次設 （為有限數(shù)）只要用代替（其中），就可得證.最后 ，這時即，且（否則出現(xiàn)型），顯然.下面定理指出，對一切數(shù)列的上、下極限必存在（包括）.定理 1（1）有界數(shù)列至少有一個聚點,存在最大聚點與最小聚點,且這兩個聚點都為實數(shù),它們分別為上極限與下極限;（2）如果數(shù)列無上界,則,此時為數(shù)列的最大聚點;如果數(shù)列有上界 若中含有數(shù)列的有限項,則,此時; 若中含有數(shù)列的無限項,則數(shù)列以實數(shù)為最大聚點,它就是;（3） 如果數(shù)列無下界,則,此時為數(shù)列的最小聚點;如果數(shù)列有下界 若中含有數(shù)列的有限項,則,此時; 若中含有

8、數(shù)列的無限項,則數(shù)列以實數(shù)為最小聚點,它就是.證明: (1) 因數(shù)列有界,令將兩等分,則必有一等分含數(shù)列的無限多項,記此區(qū)間為,則,且 ；再將兩等分, 則必有一等分含數(shù)列的無限多項,記此區(qū)間為,則,且；如此下去得到一個遞降閉區(qū)間套:；，且每個閉區(qū)間都含有數(shù)列的無限多項.由閉區(qū)間套定理知，對的任何開領域， ，則，當時，從而中含有數(shù)列的無限多項，所以為數(shù)列的聚點.至于最大聚點的存在性，只需在上述證明過程中，當每次將區(qū)間等分為兩個區(qū)間時，若右邊一個含數(shù)列的無限多項，將它取為；若右邊一個含數(shù)列的有限項，則取左邊的子區(qū)間為.于是，所選都含有數(shù)列的無限多項，同時在的右邊都至多含有數(shù)列的有限項，其中 再根據(jù)

9、閉區(qū)間套定理知，.下證為數(shù)列的最大聚點.（反證） 若不然，設另有數(shù)列的聚點令則有 內(nèi)都含有數(shù)列的無限多項，但當充分大時，完全落在的右邊，這與上述的右邊都至多含有數(shù)列的有限項矛盾.類似可證最小聚點的存在性，或用代替.（2） 如果數(shù)列無上界,則必有子列,因此, 為數(shù)列的最大聚點,從而.如果數(shù)列有上界 若中含有數(shù)列的有限項,則根據(jù)極限為的定義可知, ； 若中含有數(shù)列的無限項,由(1)的結果, 數(shù)列有最大聚點,顯然它也是數(shù)列的最大聚點,即為； (3) 類似(2)可證明,或用代替.定理 2 .證明： 設，則對的任一鄰域，當時， ，從而為數(shù)列的一個聚點.， 則存在的開鄰域，的開鄰域， . 由于，故，當時，

10、所以，從而中至多含有數(shù)列的有限項（如）因此，不為數(shù)列的聚點.綜上可知，為數(shù)列的唯一聚點，所以.或者，因，故的任何子列也必有.因此，數(shù)列有唯一的聚點，從而. 設，則數(shù)列只有一個聚點，因此，對的任一開鄰域，在外只含有數(shù)列的有限多項（否則數(shù)列在外還有異于的聚點，這與數(shù)列只有一個聚點相矛盾）.于是，當時，有，這就證明了.定理 3 設為有界數(shù)列，則下列結論等價：(1) 為數(shù)列的上極限；(2) 當時,有;且存在子列, ；(3) 數(shù)列中大于的項至多有限個; 數(shù)列中大于的項有無限多個.證明：:因為數(shù)列的聚點,故在內(nèi)含有數(shù)列的無限多項，則有.又因為數(shù)列的最大聚點，故在的右邊至多只含有數(shù)列的有限多項（否則必有數(shù)列

11、的聚點，這與為數(shù)列的最大聚點相矛盾）.設此有限項的最大指標為，則當時，有.: 令，由（2）知，當時，有 .故數(shù)列中大于的項至多有限個.，令，由（2）知，存在數(shù)列的子列， ，故數(shù)列中大于的項有無限多個.:設為的任一開鄰域，則由于，根據(jù)（3），中大于有無限多項.因此 中含有數(shù)列的無限項，從而中含有數(shù)列的無限項，這就證明了為數(shù)列的一個聚點.另一方面，記.由（3）知，數(shù)列中大于的項至多有限個.故不為數(shù)列的一個聚點，這就證明了為數(shù)列的最大聚點，即為數(shù)列的上極限.定理 4 設為有界數(shù)列，則下列結論等價：(1) 為數(shù)列的下極限；(2) 當時,有;且存在子列, ；(3) ， 數(shù)列中小于的項至多有限個;， 數(shù)列

12、中小于的項有無限多個.證明：類似定理3證明,或用代替.從一些性質和定理的證明可以看出有些步驟用到數(shù)列上，下極限定義方面的證明過程.此外，關于不同對象的上、下極限的定義，本質上都起源于數(shù)列的上、下極限定義，比如，集合列的上，下限極等，在此就不做介紹了.參考文獻:1 華東師范大學數(shù)學系編.數(shù)學分析（上冊）.北京:高等教育出版社，2001 2 復旦大學數(shù)學系陳傳璋等編.數(shù)學分析（下冊）.北京:高等教育出版，1979 3 李成章,黃玉民編. 數(shù)學分析（上冊）.科學出版社，1998 4 程其蘘.實變函數(shù)與泛函分析基礎M .2版.北京：高等教育出版社，2003 5 朱成熹.近世實分析基礎M.天津:南開大學

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14、jiao 2007 grades of mathematics,science college mathematics and the applied mathematics professions 1 classAbstract：Sequence on, under the limit concept is limit concept extending,because they collect in the divergence distinction law in the seriesof positive terms the vital role, also becomes the theory which in themathematical analysis has no alternative but to say to be