大學(xué)物理課件考研備考期末復(fù)習(xí) 角動量 角動量守恒定律

1、一、力矩一、力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律二、轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算二、轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算：轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算：點(diǎn)點(diǎn)線線面面體體 物理方法物理方法模型法模型法類比法類比法FrM JM dmrJ2 iiirmJ2復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí) 三、轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用三、轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用貓習(xí)慣于在陽臺上睡覺，因而從陽臺上掉下來的事情時有發(fā)生。長期貓習(xí)慣于在陽臺上睡覺，因而從陽臺上掉下來的事情時有發(fā)生。長期的觀察表明貓從高層樓房的陽臺掉到樓外的人行道上時，受傷的程度的觀察表明貓從高層樓房的陽臺掉到樓外的人行道上時，受傷的程度將隨高度的增加而減少，為什么會這樣呢？將隨高度的增加而減少，為什么會這樣呢？ 力矩的時間累積效應(yīng)力矩的時間累積效

2、應(yīng) 沖量矩、角動量、角動量定理沖量矩、角動量、角動量定理. .ipjp0, 0p一一 質(zhì)點(diǎn)的角動量定理和角動量守恒定律質(zhì)點(diǎn)的角動量定理和角動量守恒定律 22kvvmEmp 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動狀態(tài)的描述運(yùn)動狀態(tài)的描述22kJEJL剛體剛體定軸轉(zhuǎn)動運(yùn)動狀態(tài)的描述定軸轉(zhuǎn)動運(yùn)動狀態(tài)的描述0, 0p力的時間累積效應(yīng)力的時間累積效應(yīng) 沖量、動量、動量定理沖量、動量、動量定理. . v1 1 質(zhì)點(diǎn)的角動量質(zhì)點(diǎn)的角動量vmrprLvrLLrpmo 質(zhì)點(diǎn)以角速度質(zhì)點(diǎn)以角速度 作半徑作半徑為為 的圓周運(yùn)動，相對圓心的圓周運(yùn)動，相對圓心的角動量的角動量rJmrL2Lrxyzom 質(zhì)量為質(zhì)量為 的質(zhì)點(diǎn)以速度的質(zhì)點(diǎn)以速度 在

3、空間運(yùn)動，某時刻相對原點(diǎn)在空間運(yùn)動，某時刻相對原點(diǎn) O 的位矢為的位矢為 ，質(zhì)點(diǎn)相對于原，質(zhì)點(diǎn)相對于原點(diǎn)的角動量點(diǎn)的角動量mrvsinvrmL 大小大小 的方向符合右手法則的方向符合右手法則.L?dd,ddtLFtpvmtrtmrvmrttLdddvd)(ddddtLMdd 作用于質(zhì)點(diǎn)的合力對參考點(diǎn)作用于質(zhì)點(diǎn)的合力對參考點(diǎn) O 的力矩的力矩 ，等于質(zhì)點(diǎn)對該點(diǎn)，等于質(zhì)點(diǎn)對該點(diǎn) O 的角的角動量隨時間的變化率動量隨時間的變化率.FrtprtLdddd0,ddvmtrvv2 2 質(zhì)點(diǎn)的角動量定理質(zhì)點(diǎn)的角動量定理prLtLMdd2 2 質(zhì)點(diǎn)的角動量定理質(zhì)點(diǎn)的角動量定理沖量矩沖量矩tMttd2112d2

4、1LLtMtt 質(zhì)點(diǎn)所受對參考點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)所受對參考點(diǎn) O 的合力矩為零時，質(zhì)點(diǎn)對該的合力矩為零時，質(zhì)點(diǎn)對該參考點(diǎn)參考點(diǎn) O 的角動量為一恒矢量的角動量為一恒矢量. LM,0 恒矢量恒矢量 質(zhì)點(diǎn)的角動量定理：對同一參考點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)的角動量定理：對同一參考點(diǎn) O ，質(zhì)點(diǎn)所，質(zhì)點(diǎn)所受的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)角動量的增量受的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)角動量的增量.3 3 質(zhì)點(diǎn)的角動量守恒定律質(zhì)點(diǎn)的角動量守恒定律例例 例例1 一半徑為一半徑為 R 的光滑圓環(huán)置于豎直平面內(nèi)的光滑圓環(huán)置于豎直平面內(nèi).一質(zhì)一質(zhì)量為量為 m 的小球穿在圓環(huán)上的小球穿在圓環(huán)上, 并可在圓環(huán)上滑動并可在圓環(huán)上滑動. 小球開始小球開始時靜止于圓環(huán)上的點(diǎn)時靜止于圓

5、環(huán)上的點(diǎn) A (該點(diǎn)在通過環(huán)心該點(diǎn)在通過環(huán)心 O 的水平面上的水平面上),然后從然后從 A 點(diǎn)開始下滑點(diǎn)開始下滑.設(shè)小球與圓環(huán)間的摩擦略去不計(jì)設(shè)小球與圓環(huán)間的摩擦略去不計(jì).求求小球滑到點(diǎn)小球滑到點(diǎn) B 時對環(huán)心時對環(huán)心 O 的角動量和角速度的角動量和角速度. 解解 小球受重力和支持小球受重力和支持力作用力作用, 支持力的力矩為零支持力的力矩為零,重力矩垂直紙面向里重力矩垂直紙面向里由質(zhì)點(diǎn)的角動量定理由質(zhì)點(diǎn)的角動量定理cosmgRM tLmgRddcostLmgRddcostmgRLdcosd考慮到考慮到2,ddmRmRLtvdcosd32gRmLL得得由題設(shè)條件積分上式由題設(shè)條件積分上式032

6、0dcosdgRmLLL2123)sin2(gmRL 21)sin2(Rg2mRL 剛體剛體二二 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律1 1 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量iiiiiiirmrmL)(2v2 2 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理1221dJJtMttOirimivtJtLMd)(dddJL z剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理1221dJJtMtt 角動量守恒定律是自然界的一個基本定律角動量守恒定律是自然界的一個基本定律. 內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的角動量內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的角動量. 自己證明自己證明 守

7、守 恒條件恒條件0M若若 不變，不變， 不變；若不變；若 變，變， 也變，但也變，但 不變不變.JJLJ剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理1221dJJtMtt3 3 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律0M常量JL，則，則若若討論討論exinMM 在在沖擊沖擊等問題中等問題中L常量常量 有許多現(xiàn)象都可以有許多現(xiàn)象都可以用角動量守恒來說明用角動量守恒來說明.自然界中存在多種守恒定律自然界中存在多種守恒定律2 動量守恒定律動量守恒定律2能量守恒定律能量守恒定律2角動量守恒定律角動量守恒定律2電荷守恒定律電荷守恒定律2質(zhì)量守恒定律質(zhì)量守恒定律2宇稱守恒定律等宇稱守

8、恒定律等花樣滑冰花樣滑冰跳水運(yùn)動員跳水跳水運(yùn)動員跳水你能解釋四季的變化嗎你能解釋四季的變化嗎?例例4 4 應(yīng)用應(yīng)用 例例2 質(zhì)量很小長度為質(zhì)量很小長度為l 的均勻細(xì)桿的均勻細(xì)桿,可繞過其中心可繞過其中心 O并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動.當(dāng)細(xì)桿靜止于水平當(dāng)細(xì)桿靜止于水平位置時位置時, 有一只小蟲以速率有一只小蟲以速率 垂直落在距點(diǎn)垂直落在距點(diǎn)O為 l/4 處處, 并并背離點(diǎn)背離點(diǎn)O 向細(xì)桿的端點(diǎn)向細(xì)桿的端點(diǎn)A 爬行爬行.設(shè)小蟲與細(xì)桿的質(zhì)量均為設(shè)小蟲與細(xì)桿的質(zhì)量均為m.問問:欲使細(xì)桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動欲使細(xì)桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動, 小蟲應(yīng)以多大速率小蟲應(yīng)以多大速率

9、向細(xì)桿端點(diǎn)爬行向細(xì)桿端點(diǎn)爬行?0v220)4(1214lmmllmvl0712 v 解解 小蟲與細(xì)桿的碰撞視為完全非彈性碰撞，碰撞小蟲與細(xì)桿的碰撞視為完全非彈性碰撞，碰撞前后系統(tǒng)角動量守恒前后系統(tǒng)角動量守恒l0712 v由角動量定理由角動量定理tJtJtLMddd)(dddtrmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22即即考慮到考慮到t)712cos(247cos2dd00tltgtrvvlg 例例3 一雜技演員一雜技演員 M 由距水平蹺板高為由距水平蹺板高為 h 處自由下處自由下落到蹺板的一端落到蹺板的一端A,并把蹺板另一端的演員并把蹺板另一端的演員N 彈了起來彈了起來.設(shè)設(shè)蹺板是勻

10、質(zhì)的蹺板是勻質(zhì)的,長度為長度為l,質(zhì)量為質(zhì)量為 ,蹺板可繞中部支撐點(diǎn)蹺板可繞中部支撐點(diǎn)C 在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動,演員的質(zhì)量均為演員的質(zhì)量均為m.假定演員假定演員M落在蹺落在蹺板上板上,與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞.問演員問演員N可彈起多可彈起多高高?ll/2CABMNh 解解 碰撞前碰撞前 M 落在落在 A點(diǎn)的速度點(diǎn)的速度21M)2( ghv 碰撞后的瞬間碰撞后的瞬間, M、N具有相同的線速度具有相同的線速度2lu m 把把M、N和蹺板作為和蹺板作為一個系統(tǒng)一個系統(tǒng), 角動量守恒角動量守恒21M)(2gh v2lu 22M21121222mllmlmuJ

11、lmvlmmghmmllmlm)6()2(621222122Mv解得解得演員演員 N 以以 u 起起跳跳, 達(dá)到的高度達(dá)到的高度hmmmglguh2222)63(82ll/2CABMNh1、角動量、角動量小小 結(jié)結(jié) vrmPrL (1)(1)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn): :(2)(2)剛體剛體: : JL2、角動量定理、角動量定理(1)(1)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn): :dtvmrddtLdM)( 2112ttLLdtM)( JdtddtLdM 2112ttJJdtM 3、角動量守恒、角動量守恒(2)(2)剛體剛體: :2、角動量定理、角動量定理(1)(1)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn): :(2)(2)剛體剛體: :恒恒量量時時外外 JLM,0恒

12、恒量量 vmrLM, 0題目類型題目類型已知兩個物理量，求另一個：已知兩個物理量，求另一個：1.已知已知J和和M，求，求 2.已知已知J和和 ，求，求M3.已知已知M和和 ，求，求J解題步驟解題步驟1.確定研究對象；確定研究對象；2.受力分析；受力分析；3.選擇參考系與坐標(biāo)系；選擇參考系與坐標(biāo)系；4.列運(yùn)動方程；列運(yùn)動方程；5.解方程；解方程；6.討論。討論。注意幾點(diǎn)注意幾點(diǎn)：1.力矩與轉(zhuǎn)動慣量必須對同一轉(zhuǎn)軸而言的；力矩與轉(zhuǎn)動慣量必須對同一轉(zhuǎn)軸而言的；2.要選定轉(zhuǎn)軸的正方向，以便確定已知力矩或角加速度、角要選定轉(zhuǎn)軸的正方向，以便確定已知力矩或角加速度、角速度的正負(fù)；速度的正負(fù)；3. 系統(tǒng)中有轉(zhuǎn)

13、動和平動，系統(tǒng)中有轉(zhuǎn)動和平動，轉(zhuǎn)動物體轉(zhuǎn)動物體轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律平動物體平動物體牛頓定律牛頓定律 勻質(zhì)圓盤的質(zhì)量為勻質(zhì)圓盤的質(zhì)量為m，半徑為，半徑為R，在水平桌面，在水平桌面上繞其中心旋轉(zhuǎn)，如圖所示。設(shè)圓盤與桌面之間的上繞其中心旋轉(zhuǎn)，如圖所示。設(shè)圓盤與桌面之間的摩擦系數(shù)為摩擦系數(shù)為，求圓盤從以角速度，求圓盤從以角速度0旋轉(zhuǎn)到靜止需要旋轉(zhuǎn)到靜止需要多少時間？多少時間？ 解：以圓盤為研究對象，受重力、桌面的支持力和摩擦力解：以圓盤為研究對象，受重力、桌面的支持力和摩擦力在圓盤上任取一個細(xì)圓環(huán)，整個圓環(huán)所受摩擦力矩等于在圓盤上任取一個細(xì)圓環(huán)，整個圓環(huán)所受摩擦力矩等于圓環(huán)上各質(zhì)點(diǎn)所受摩擦力矩之和。若取圓環(huán)上各質(zhì)點(diǎn)所受摩擦力矩之和。若取0的方向?yàn)檎降姆较驗(yàn)檎较?，則整個圓環(huán)所受的力矩為：向，則整個圓環(huán)所受的力矩為： grdmdM rdrRmdSdm 22 drRrmgdM222 R22Rmrdr 整個圓盤所受的力矩為整個圓盤所受的力矩為 mgRdrRrmgMR 322022 根據(jù)轉(zhuǎn)動定律，得根據(jù)轉(zhuǎn)動定律，得 RgmRmgRJM3421322 角加速度為常量，且與角加速度為常量，且與0的方向相反，的方向相反，表明圓盤作勻減速轉(zhuǎn)動表明圓盤作勻減速轉(zhuǎn)動t 0當(dāng)圓盤停止轉(zhuǎn)動時，當(dāng)圓盤停止轉(zhuǎn)動時，=0，則得，則得 gRt 4300 一個質(zhì)量為一個質(zhì)量為M、半徑為、半徑為R 的定滑輪的定滑輪上面繞有細(xì)