全國高中數(shù)學競賽專題-不等式

1、全國高中數(shù)學競賽專題-不等式證明不等式就是對不等式的左右兩邊或條件與結論進行代數(shù)變形和化歸，而變形的依據(jù)是不等式的性質，不等式的性質分類羅列如下：不等式的性質：這是不等式的定義，也是比擬法的依據(jù).對一個不等式進行變形的性質：1對稱性2加法保序性34對兩個以上不等式進行運算的性質.1傳遞性.這是放縮法的依據(jù).234含絕對值不等式的性質：123三角不等式.4證明不等式的常用方法有：比擬法、放縮法、變量代換法、反證法、數(shù)學歸納法、構造函數(shù)方法等.當然在證題過程中，?？伞坝梢驅Ч颉皥?zhí)果索因.前者我們稱之為綜合法；后者稱為分析法.綜合法和分析法是解決一切數(shù)學問題的常用策略，分析問題時，我們往往用分析法

2、，而整理結果時多用綜合法，這兩者并非證明不等式的特有方法，只是在不等式證明中使用得更為突出而已.此外，具體地證明一個不等式時，可能交替使用多種方法.因此，要熟練掌握不等式的證明技巧，必須從學習這些根本的常用方法開始。1比擬法比擬法可分為差值比擬法和商值比擬法。1差值比擬法原理：A B0AB例1 設a, b, cR+，試證：對任意實數(shù)x, y, z, 有x2+y2+z2證明：左邊-右邊= x2+y2+z2所以左邊右邊，不等式成立。2商值比擬法原理：假設>1，且B>0，那么A>B。例2 假設a<x<1，比擬大?。簗loga(1-x)|與|loga(1+x)|.解：因為

3、1-x1，所以loga(1-x)0, =|log(1-x)(1+x)|=-log(1-x)(1+x)=log(1-x)>log(1-x)(1-x)=1因為0<1-x2<1，所以>1-x>0, 0<1-x<1.所以|loga(1+x)|>|loga(1-x)|.2分析法即從欲證不等式出發(fā)，層層推出使之成立的充分條件，直到為止，表達方式為：要證，只需證。例3 a, b, cR+，求證：a+b+c-3a+b證明：要證a+b+ca+b只需證，因為，所以原不等式成立。例4 實數(shù)a, b, c滿足0<abc，求證：證明：因為0<abc，由二次函數(shù)

4、性質可證a(1-a) b(1-b) c(1-c)，所以，所以，所以只需證明，也就是證，只需證b(a-b) a(a-b)，即(a-b)20，顯然成立。所以命題成立。3綜合法例5 假設a,b,c>0，求證：abc(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)。證明:(a+b-c)+(b+c-a)=2b0, (b+c-a)+(c+a-b)=2c0,(c+a-b)+(a+b-c)=2a0,a+b-c,b+c-a,c+a-b中至多有一個數(shù)非正.(1) 當a+b-c,b+c-a,c+a-b中有且僅有一個數(shù)為非正時,原不等式顯然成立.(2) a+b-c,b+c-a,c+a-b均為正時,那么同理三式相乘得a

5、bc(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)例6 ABC的外接圓半徑R=1，SABC=，a,b,c是ABC的三邊長，令S=，t=。求證：t>S。解：由三角形面積公式:.正弦定理：a/sinA=2R.可得abc=1.所以2t=2bc+2ac+2ab.由因為a.b.c均大于0。所以2t>=2a+2b +2c=2+2+2=2(+)=2s.所以t>s。4反證法例7 設實數(shù)a0, a1,an滿足a0=an=0，且a0-2a1+a20, a1-2a2+a30, an-2-2an-1+an0，求證ak0(k=1, 2, n-1).證明：假設ak(k=1, 2,n-1) 中至少有一個正數(shù)，

6、不妨設ar是a1, a2, an-1中第一個出現(xiàn)的正數(shù)，那么a10, a20, ar-10, ar>0. 于是ar-ar-1>0，依題設ak+1-akak-ak-1(k=1, 2, , n-1)。所以從k=r起有an-ak-1an-1-an-2 ar-ar-1>0.因為anak-1ar+1ar >0與an=0矛盾。故命題獲證。5數(shù)學歸納法例8 對任意正整數(shù)n(3)，求證：nn+1>(n+1)n.證明：1當n=3時，因為34=81>64=43，所以命題成立。2設n=k時有kk+1>(k+1)k，當n=k+1時，只需證(k+1)k+2>(k+2)k+

7、1，即>1. 因為，所以只需證，即證(k+1)2k+2>k(k+2)k+1，只需證(k+1)2>k(k+2)，即證k2+2k+1>k2+2k. 顯然成立。所以由數(shù)學歸納法，命題成立。6.分類討論法例9 x, y, zR+，求證：證明：不妨設xy, xz.xyz，那么，x2y2z2，由排序原理可得，原不等式成立。xzy，那么，x2z2y2，由排序原理可得，原不等式成立。7.放縮法即要證A>B，可證A>C1, C1C2,Cn-1Cn, Cn>B(nN+).例10 a, b, c是ABC的三條邊長，m>0，求證：證明：因為a+b>c，得證。8.引

8、入?yún)⒆兞糠ɡ?1 x, yR+, l, a, b為待定正數(shù)，求f(x, y)=的最小值。解： 設，那么，f(x,y)=(a3+b3+3a2b+3ab2)=，等號當且僅當時成立。所以f(x, y)min=例12 設x1x2x3x42, x2+x3+x4x1，求證：(x1+x2+x3+x4)24x1x2x3x4.證明：設x1=k(x2+x3+x4)，依題設有k1, x3x44，原不等式等價于(1+k)2(x2+x3+x4)24kx2x3x4(x2+x3+x4)，即(x2+x3+x4) x2x3x4，因為f(k)=k+在上遞減，所以(x2+x3+x4)=(x2+x3+x4)·3x2=4x2

9、x2x3x4.所以原不等式成立。9.局部不等式例13 x, y, zR+，且x2+y2+z2=1，求證：證明：先證因為x(1-x2)=,所以同理，所以例14 0a, b, c1，求證：2。證明：先證 即a+b+c2bc+2.即證(b-1)(c-1)+1+bca.因為0a, b, c1，所以式成立。同理三個不等式相加即得原不等式成立。10.利用函數(shù)的思想例15 非負實數(shù)a, b, c滿足ab+bc+ca=1，求f(a, b, c)=的最小值。解：當a, b, c中有一個為0，另兩個為1時，f(a, b, c)=，以下證明f(a, b, c) . 不妨設abc，那么0c, f(a, b, c)=因

10、為1=(a+b)c+ab+(a+b)c，解關于a+b的不等式得a+b2(-c).考慮函數(shù)g(t)=, g(t)在上單調遞增。又因為0c，所以3c21. 所以c2+a4c2. 所以2所以f(a, b, c)=下證0 c2+6c+99c2+90 因為，所以式成立。所以f(a, b, c) ，所以f(a, b, c)min=11.構造法例16 證明：。提示：構造出x，0到兩定點的距離之差，并利用數(shù)形結合的方法得知兩邊差小于第三邊且三點共線時取最大值，從而結論得證。12.運用著名不等式1平均值不等式：設a1, a2,anR+，記Hn=, Gn=, An=那么HnGnAnQn. 即調和平均幾何平均算術平

11、均平方平均。其中等號成立的條件均為a1=a2=an.當n=2時，平均值不等式就是已學過的根本不等式及其變式,所以根本不等式實際上是均值不等式的特例證明：由柯西不等式得AnQn，再由GnAn可得HnGn，以下僅證GnAn. 1當n=2時，顯然成立；2設n=k時有GkAk，當n=k+1時，記=Gk+1.因為a1+a2+ak+ak+1+(k-1)Gk+12kGk+1, 所以a1+a2+ak+1(k+1)Gk+1，即Ak+1Gk+1.所以由數(shù)學歸納法，結論成立。例17 利用根本不等式證明【思路分析】左邊三項直接用根本不等式顯然不行，考察到不等式的對稱性，可用輪換的方法.【略解】；三式相加再除以2即得證

12、.【評述】1利用根本不等式時，除了此題的輪換外，一般還須掌握添項、連用等技巧.如，可在不等式兩邊同時加上再如證時，可連續(xù)使用根本不等式. 2根本不等式有各種變式 如等.但其本質特征不等式兩邊的次數(shù)及系數(shù)是相等的.如上式左右兩邊次數(shù)均為2，系數(shù)和為1.例18 求證：【思路分析】不等式左邊是、的4次式，右邊為常數(shù)，如何也轉化為、的4次式呢.【略解】要證即證2柯西Cavchy不等式：設、，是任意實數(shù)，那么等號當且僅當為常數(shù)，時成立.證明：不妨設不全為0，也不全為0因為或全為0時，不等式顯然成立. 記A=，B=.且令那么原不等式化為即.它等價于其中等號成立的充要條件是從而原不等式成立，且等號成立的充要

13、條件是變式1：假設aiR, biR, i=1, 2, , n，那么等號成立條件為ai=bi,(i=1, 2, , n)。變式2：設ai, bi同號且不為0(i=1, 2, , n)，那么等號成立當且僅當b1=b2=bn.例19 設，求證：【思路分析】 注意到式子中的倒數(shù)關系，考慮應用柯西不等式來證之.【評述】注意到式子中的倒數(shù)關系，考慮應用柯西不等式來證之.【詳解】 ，故由柯西不等式，得 ，【評述】這是高中數(shù)學聯(lián)賽題，還可用均值不等式、數(shù)學歸納法、比擬法及別離系數(shù)法和構造函數(shù)法等來證之.3排序不等式：又稱排序原理設有兩個有序數(shù)組及 那么同序和亂序和 逆序和其中是1，2，n的任一排列.當且僅當或

14、時等號對任一排列成立. 證明：不妨設在亂序和S中時假設，那么考慮，且在和S中含有項那么 事實上，左右=由此可知，當時，調換中與位置其余不動，所得新和調整好及后，接著再仿上調整與，又得如此至多經(jīng)次調整得順序和 這就證得“順序和不小于亂序和.顯然，當或時中等號成立.反之，假設它們不全相等，那么必存在及k，使這時中不等號成立.因而對這個排列中不等號成立. 類似地可證“亂序和不小于逆序和.例20 【思路分析】中間式子中每項均為兩個式子的和，將它們拆開，再用排序不等式證明.【略解】不妨設，那么亂序和逆序和，同理亂序和逆序和兩式相加再除以2，即得原式中第一個不等式.再考慮數(shù)組，仿上可證第二個不等式.例21 設，且各不相同，求證：【思路分析】不等式右邊各項；可理解為兩數(shù)之積，嘗試用排序不等式.【略解】設的重新排列，滿足，又所以.由于是互不相同的正整數(shù)，故從而，原式得證.【評述】排序不等式應用廣泛，例如可證我們熟悉的根本不等式，例22 在ABC中，試證：【思路分析】 可構造ABC的邊和角的序列，應用排序不等式來證明之.【詳解】 不妨設，于是由排序不等式，得 相加，得，得 又由有得 由、得原不等式成立.例23 設是正數(shù)的一個排列，求證【思路分析】 應注意到【略證】 不妨設，因為都大于0. 所以有，又的任意一個排列，于是得到例24 設正數(shù)的乘