集合中的題型歸類解析

1、集合中的題型歸類解析江蘇 李洪洋集合問題為每年必考題型之一，特別是近幾年高考試卷中出現(xiàn)了一些以集合為背景的試題，這些試題涉及的知識面廣，靈活性較強(qiáng).實際上，這方面問題的本質(zhì)是以集合為載體，將一些數(shù)學(xué)問題的已知條件“嵌入”集合之中，只不過是在語言形式方面做了些變通罷了，而解決問題的理論依據(jù)、方法等仍類似于其他問題的求解.因此，在集合題型上應(yīng)引起我們的足夠重視.集合中的題型題型1：集合相等問題集合相等問題，主要是利用集合中元素的互異性，集合中元素的互異性是集合的重要屬性，在解題中集合中元素的互異性常常被我們忽略，從而導(dǎo)致解題的失敗，所以在解題中應(yīng)引起足夠的重視.例1已知集合，若，求的值分析：要解決

2、的求值問題，關(guān)鍵是要有方程的數(shù)學(xué)思想，此題應(yīng)根據(jù)相等的各個集合的元素完全相同，及集合中元素的確定性、互異性、無序性建立關(guān)系式解：根據(jù)題意，分兩種情況進(jìn)行討論：（1）若，消去，得當(dāng)時，集合中的三個元素均為零，與元素的互異性相矛盾，故，即，此時中的三個元素又相同，此時無解.（2）若消去，得，即又，評注：（1）解決集合相等的問題易產(chǎn)生與互異性相矛盾的增解，這需要解題后進(jìn)行檢驗和修正.（2）有些數(shù)學(xué)問題很難從整體著手解決，需從分解入手，把整體科學(xué)合理地劃分為若干個局部獨立的問題，通過逐一判斷來解決這些問題，從而達(dá)到整體問題的解決，這種重要的數(shù)學(xué)方法 就是分類討論的方法 ，要學(xué)會這種思維方法.題型2：證

3、明、判斷兩集合的關(guān)系集合與集合之間的關(guān)系問題，是我們解答數(shù)學(xué)問題過程中經(jīng)常遇到，并且必須解決的問題，因此要予以重視。反映集合與集合關(guān)系的一系列概念，都是用元素與集合的關(guān)系來定義的。因此，在證明（判斷）兩集合的關(guān)系時，應(yīng)回到元素與集合的關(guān)系中去.例2設(shè)集合Z，集合Z，試判斷集合、的關(guān)系。分析：先判斷元素與集合的關(guān)系，再判斷集合與集合的關(guān)系解：任設(shè)，則Z，Z，Z.故.又任設(shè)，則Z.Z，Z.故.綜上可知.評注：在說明，或的過程中，關(guān)鍵是先要變（或湊）出形式，然后再推理.題型3：集合中的參數(shù)問題所謂集合中的參數(shù)問題，是指集合適合的條件中“適合的條件”里面含有參數(shù)的問題，解答這類問題類似于其他含有參數(shù)的

4、問題，靈活性極強(qiáng)，難度也很大.因此，解決此為問題要注意思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.例3已知集合，滿足，則實數(shù)的取值范圍為 . 解：(1)當(dāng)時，得，滿足.(2)當(dāng)時，解得.綜合(1)、(2)得的取值范圍是.評注：有關(guān)子集問題討論中不要忽視了對空集的討論，特別不能認(rèn)為子集是由原來集合中的部分元素所組成的集合.在中，含有這種可能，應(yīng)注意.在集合單元中含有豐富的分類討論內(nèi)容，所以要注意增強(qiáng)運用分類討論的思想和方法解決問題的意識，掌握分類方法，培養(yǎng)周密的思維品質(zhì).題型4：利用韋恩圖或數(shù)軸求交集、并集、補(bǔ)集有的集合問題比較抽象，解題時若借助韋恩圖進(jìn)行數(shù)形分析或利用數(shù)軸、圖象，采用數(shù)形結(jié)合思想方法，往往可使問題直觀化、形

5、象化，進(jìn)而能使問題簡捷、準(zhǔn)確地獲解.例4設(shè)全集，.21。(1)求及；(2)求及.解：(1)如圖，利用數(shù)軸可直觀地得到結(jié)果：；.(2) ，或；.評注：有關(guān)用不等式表示的集合的并、交、補(bǔ)運算，常常借助于數(shù)學(xué)軸的幾何直觀來幫助思考.題型5：開放、定義型問題近幾年在高考試題的幫助帶動下，一大批以集合為背景的開放型試題不斷出現(xiàn).在用描述法表示的集合中，集合的形式被表示為所適合的條件，其中的代表元素“的任意性”和“所適合的條件的靈活性”決定了這類題目具有涉及的知識面廣、靈活性強(qiáng)等特點.例5設(shè)，定義與的差集為，且，則解：由所給的新定義：差集，且，得，從而.評注：差集中的“差”與我們平時所接觸的“差”的意義是

6、不同的.我們可能會犯這樣的錯誤：.例6已知Z，Z，問是否存在實數(shù)，使得(1)，(2)同時成立.分析：假設(shè)存在使得(1)成立，得到與的關(guān)系后與聯(lián)立，然后討論聯(lián)立的不等式組.解：假設(shè)存在實數(shù)，使得，同時成立，則集合Z與集合Z分別對應(yīng)集合Z與Z，與對應(yīng)的直線與拋物線至少有一個公共點，所以方程組有解，即方程必有解.因此，又 由相加，得，即.將代入得，再將代入得，因此，將，代入方程得，解得Z.所以不存在實數(shù)，使得(1)，(2)同時成立.評注：對于存在性探索性問題，首先要假設(shè)這樣的問題存在，以此出發(fā)，依據(jù)已知條件、公理、定理進(jìn)行推理論證，推出一個較為明顯的結(jié)論，最后根據(jù)這樣的結(jié)論有無矛盾，得出問題的結(jié)論.

7、高三文科數(shù)學(xué)（集合） A組1（2007年高考廣東文科卷）已知集合M=，N=，則 （ ）A B C D2（2008年高考廣東文科卷）第二十九屆夏季奧林匹克運動會將于2008年8月8日在北京舉行，若集合參加北京奧運會比賽的運動員，集合加北京奧運會比賽的男運動員，集合加北京奧運會比賽的女運動員，則下列關(guān)系正確的是（ ）A.B. C. D. 3已知集合，且，則的值為（ ）A1B1 C1或1 D1或1或04（2009年高考廣東文科卷）已知全集U=R，則正確表示集合M=1，0，1和N=關(guān)系的韋恩（Venn）圖是（ ）5如圖，U是全集，M、P、S是U的3個子集，則陰影部分所表示的集合是 （ ）A、 B、 C

8、、 D、 6已知集合A=1，2，3，4，那么A的真子集的個數(shù)是 7已知全集U=，若A=，求實數(shù)的a ,b值答案(1)-(5) DBCDA(6)2 (7) 一、集合部分1準(zhǔn)確理解集合元素的兩個性質(zhì)集合是一個原始的，不定義的概念，集合中的元素具有確定性和互異性確定性是對某一集合來說，任一對象或者是該集合的元素，或者不是該集合的元素，二者必居其一；互異性是指集合中的元素互不相同在進(jìn)行集合的交、并運算時，根據(jù)元素的互異性，同一個元素在集合中是不能重復(fù)出現(xiàn)的而當(dāng)把一個對象用集合來表示時，也必須以此為依據(jù)進(jìn)行考慮比如，方程的解集，若用列舉法來表示，只能寫成而不能寫成2準(zhǔn)確把握各種不同的表示方法集合的表示方法通常有列舉法和描述法兩種 列舉法是將給定集合的元素一一列出寫在“ ”中用列舉法表示集合時，首先要注意集合元素具有怎樣的形式例如，把方程組的解集寫成或都是錯誤的這是因為的元素是兩個數(shù)，的元素是兩個方程，而方程組的解是一個點，因此其解集應(yīng)為其次，用列舉法表示由許多元素或無限多個元素組成的集合時，若元素間具有明顯的規(guī)律性，則可在大括號內(nèi)列舉出部分元素，而其余的元素用省略號表示用描述法表示集合時，注意不要把集合二字連同元素一起放在花括號內(nèi)造成錯誤，如把“所有正方形組成的集合”寫成所有正方形組成的集合，而應(yīng)寫為正方形對有限集，在元素不太多的情況下，宜采用列舉法；對無限