量子力學(xué)復(fù)習(xí)

1、思考題1、以下說(shuō)法是否正確：（1）量子力學(xué)適用于微觀體系，而經(jīng)典力學(xué)適用于宏觀體系；（2）量子力學(xué)適用于h不能忽略的體系，而經(jīng)典力學(xué)適用于h可以忽略的體系。答：（1）量子力學(xué)是比經(jīng)典力學(xué)更為普遍的理論體系，它可以包容整個(gè)經(jīng)典力學(xué)體系。（2）對(duì)于宏觀體系或h可以忽略的體系，并非量子力學(xué)不能適用，而是量子力學(xué)實(shí)際上已經(jīng)過(guò)渡到經(jīng)典力學(xué)，二者相吻合了。2、微觀粒子的狀態(tài)用波函數(shù)完全描述，這里“完全”的含義是什么？答：按照波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋?zhuān)ê瘮?shù)統(tǒng)計(jì)性的描述了體系的量子態(tài)。如已知單粒子（不考慮自旋）波函數(shù)y(r)，則不僅可以確定粒子的位置概率分布，而且如粒子的動(dòng)量、能量等其他力學(xué)量的概率分布也均可通過(guò)y

2、(r)而完全確定。由于量子理論和經(jīng)典理論不同，它一般只能預(yù)言測(cè)量的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，而只要已知體系的波函數(shù)，便可由它獲得該體系的一切可能物理信息。從這個(gè)意義上說(shuō)，有關(guān)體系的全部信息顯然已包含在波函數(shù)中，所以說(shuō)微觀粒子的狀態(tài)用波函數(shù)完全描述，并把波函數(shù)稱(chēng)為態(tài)函數(shù)。4vv3、以微觀粒子的雙縫干涉實(shí)驗(yàn)為例，說(shuō)明態(tài)的疊加原理。答：設(shè)y1和y2是分別打開(kāi)左邊和右邊狹縫時(shí)的波函數(shù)，當(dāng)兩個(gè)縫同時(shí)打開(kāi)時(shí)，實(shí)驗(yàn)說(shuō)明到達(dá)屏上粒子的波函數(shù)由y1和y2的線(xiàn)性疊加y=c1y1+c2y2來(lái)表示。可見(jiàn)態(tài)的疊加不是概率相加，而是波函數(shù)的疊加，屏上粒子位置的概率分布由2=c+c222Rec*1y12y2確定，中出現(xiàn)有y1和y2的干涉項(xiàng)

3、1c2y*1y2，對(duì)相位對(duì)概率分布具有重要作用。6c1和c2的模對(duì)相4、（1）波函數(shù)y與ky、eiay是否描述同一態(tài)？（2）下列波函數(shù)在什么情況下才是描述同一態(tài)？y1+y2;c1y1+c2y2;c1eiay1+c2eiay2 12這里c1,c2是復(fù)常數(shù)，a1,a2是實(shí)常數(shù)。答：（1）y與ky、eiay描述的相對(duì)概率分布完全相同，如對(duì)空間x1和x2兩點(diǎn)的相對(duì)概率(x1)(x2)22=ky(x1)ky(x2)22=ey(x1)eiay(x2)ia2ia，故y與ky、ey均描述同一態(tài)。 2（2）由于任意復(fù)數(shù)c=ceiq， 以及 * c1y1±c2y2=c1y1+c2y2±c1c2

4、y1y2+c1c2y1*y2 222顯然，只有當(dāng)復(fù)數(shù)c1=c2=c，即c1=c2=c，且eia=eia=eia時(shí)， 12 y1+y2,c1y1+c2y2=c(y1+y2),c1eia1y1+c2eia2y2=c(y1+y2)eia均描述同一態(tài)。 85、量子力學(xué)為什么要用算符表示力學(xué)量？表示力學(xué)量的算符為什么必須是線(xiàn)性厄密的？答：用算符表示力學(xué)量，是量子體系所固有的波粒二象性所要求的，這正是量子力學(xué)處理方法上的基本特點(diǎn)之一。我們知道，表示量子態(tài)的波函數(shù)是一種概率波，因此，即是在一確定的量子態(tài)中，也并非各力學(xué)量都有完全確定值，而是一般的表現(xiàn)為不同數(shù)值的統(tǒng)計(jì)分布，這就注定了經(jīng)典力學(xué)量的表示方法（可由

5、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)完全決定）不再使用，因此需要尋求新的表示方法。下面從力學(xué)量的平均值的表示式出發(fā)，說(shuō)明引入算符的必要性。 如果體系處于y(x)中，則它的位置平均值為x=ò(x)xdx類(lèi)似地，它的動(dòng)量的平均值也可表示為p=ò(x)pdx若要求出上述積分，必須將p表示為x的函數(shù)，然而這是做不到的，因?yàn)榘床淮_定關(guān)系p(x)的表示是無(wú)意義的，因此不能直接在坐標(biāo)表象中用上式求動(dòng)量平均值。我們可先在動(dòng)量表象中求出動(dòng)量平均值，然后再轉(zhuǎn)換到坐標(biāo)表象中去。 p=òj(p)pdp利用j(p)=1y(x)e-ipx/hdx有 1/2ò(2ph)222p=作代換pe-ipx/h=ih1i

6、px¢/h*-ipx/h¢ey(x)py(x)edx¢dxdp 2phòòò¶-ipx/h，并對(duì)p,x¢積分得（推廣到三維） e¶xvv p=òy*(r)(-ihÑ)y(r)dt可見(jiàn)，要在坐標(biāo)表象中計(jì)算動(dòng)量平均值，那么動(dòng)量矢量恰與算符-ihÑ相當(dāng)。實(shí)際上，任何一個(gè)力學(xué)量在非自身表象中計(jì)算平均值時(shí)，都與相應(yīng)的算符相當(dāng)，自然會(huì)引入算符表示力學(xué)量的概念。用算符表示力學(xué)量問(wèn)題還可以從另一個(gè)角度來(lái)說(shuō)明。我們知道，在量子力學(xué)中，力學(xué)量之間的關(guān)系從其數(shù)值是否能同時(shí)確定來(lái)考慮，有相互對(duì)易與不

7、對(duì)易兩種，而經(jīng)典力學(xué)量之間都是對(duì)易的，因此經(jīng)典力學(xué)量的表示方法不能適用于量子力學(xué)，然而數(shù)學(xué)運(yùn)算中算符與算符之間一般并不滿(mǎn)足交換律，也就是存在不對(duì)易情況，因此用算符表示力學(xué)量是適當(dāng)?shù)?。力學(xué)量必須用線(xiàn)性厄密算符表示，這是由量子態(tài)疊加原理所要求的；任何力學(xué)量的實(shí)際測(cè)量值必須是實(shí)數(shù)，因此它的本征值也必為實(shí)數(shù)，這就決定了力學(xué)量必須由厄密算符來(lái)表示。6、力學(xué)量之間的對(duì)易關(guān)系有何物理意義？答：力學(xué)量之間的對(duì)易關(guān)系，是量子力學(xué)中極為重要的關(guān)系。它相當(dāng)于舊量子論中的量子化條件，具有深刻的物理含義。對(duì)易關(guān)系表明，經(jīng)典因果性不是普遍成立的，并指出各類(lèi)力學(xué)量能夠同時(shí)確定的條件（相互對(duì)易），體現(xiàn)了量子力學(xué)的基本特點(diǎn)。與

8、不確定原理一樣，力學(xué)量之間的對(duì)易關(guān)系也是來(lái)源于物質(zhì)的波粒二象性。 從純理論的角度說(shuō)，它也可以作為量子力學(xué)的基本出發(fā)點(diǎn)。此外，對(duì)于有的力學(xué)量，對(duì)易關(guān)系反映了它的基本特征，如La,Lb=iheabgLg，就可作為角動(dòng)量的定義。7、什么是力學(xué)量的完全集？它有何特征？答：設(shè)有一組彼此獨(dú)立而又相互對(duì)易的力學(xué)量（F1,F2,L），它們的共同本征函數(shù)系為(jn,jn,L)，如果給定一組量子數(shù)(n1,n2,L)就可以確定體系的一個(gè)可能態(tài)，那么，12就稱(chēng)（F1,F2,L）為體系的一個(gè)力學(xué)量完全集。它的特點(diǎn)是：（1）力學(xué)量完全集的共同本征函數(shù)系構(gòu)成一個(gè)希爾伯特空間；（2）力學(xué)量完全集所包含力學(xué)量的數(shù)目等于量子數(shù)組

9、(n1,n2,L)所包含的量子數(shù)數(shù)目，即體系的自由度數(shù)；（3）力學(xué)量完全集中所有力學(xué)量是可以同時(shí)測(cè)量的。8、何謂定態(tài)? 它有何特征？答：定態(tài)就是概率密度和概率流密度不隨時(shí)間而變化的狀態(tài)。若勢(shì)場(chǎng)恒定則體系可以處于定態(tài)。定態(tài)具有以下特征:（1）定態(tài)波函數(shù)時(shí)空坐標(biāo)可以分離，y(r,t)=y(r)e-iEt/h，其中y(r)是哈密頓量H的本征函數(shù)，而E為相應(yīng)的本征值；（2）不顯含時(shí)間t的任何力學(xué)量，對(duì)于定態(tài)的平均值不隨時(shí)間而變化，各種可能值出現(xiàn)的概率分布也不隨時(shí)間而變化。注意，通常用y(r)表示定態(tài)只是一種簡(jiǎn)寫(xiě)，定態(tài)是含時(shí)態(tài)，任何描寫(xiě)粒子狀態(tài)的波函數(shù)都是含時(shí)的。17¶V=0，¶tv

10、vvv9、不確定關(guān)系如何體現(xiàn)微觀粒子的普遍本質(zhì)波粒二象性？答：對(duì)于微觀粒子使用“波粒二象性”的術(shù)語(yǔ)，這本身既反映了經(jīng)典物理概念的局限性，又反映了我們語(yǔ)言的局限性。我們可以認(rèn)為，物質(zhì)兼具粒子性和波動(dòng)性，但確切地說(shuō)，它們既不是經(jīng)典波，也不是經(jīng)典粒子，經(jīng)典物理中粒子和波的概念只有經(jīng)過(guò)修正才能被量子理論借用，不確定性關(guān)系就反映了這種修正，它給出了這兩個(gè)概念能夠被有效借用的限度，如Dx×Dp³給出了用粒子圖像描述物質(zhì)的局限性。19h210、如何用矩陣表示量子態(tài)與力學(xué)量，并說(shuō)明理由。答: 矩陣表示一般用于本征值為分立譜的表象（相應(yīng)希爾伯特空間的維數(shù)是可數(shù)的）。具體說(shuō)，如果力學(xué)量A的本征

11、函數(shù)為j1,j2,Ljn，相應(yīng)本征值為A1,A2,LAn。任意態(tài)矢y可展開(kāi)為y=åanynn態(tài)矢y在A表象的表示為展開(kāi)系數(shù)an組成的一列矩陣æa1öç÷a2÷ y=ççM÷ç÷ça÷ènø其意義是：在y態(tài)中，力學(xué)量A取值A(chǔ)n的幾率為an，與坐標(biāo)表象波函數(shù)的意義相類(lèi)似。力學(xué)量用厄密矩陣表示æA11çA21 A=ççMççAèn1A12LA1nö÷A22LA2n

12、÷ Aij=(ji,Ajj) ÷MMM÷An2LAnn÷ø2可見(jiàn)列矩陣與方陣維數(shù)與希爾伯特空間維數(shù)相同。用矩陣表示力學(xué)量，理由如下：（1）可以反映力學(xué)量作用一個(gè)量子態(tài)而得到另一個(gè)量子態(tài)的事實(shí)。設(shè)j(x)=Ay(x)，則æb1öæA11ç÷çb2÷çA21 ççM÷=çMç÷ççb÷çAènøèn1A12LA1nöæa1

13、ö÷ç÷A22LA2n÷ça2÷ 簡(jiǎn)記為b=Aa； ç÷÷MMMM÷ç÷ç÷An2LAnn÷øèanø（2）矩陣乘法一般不滿(mǎn)足交換律，這恰好能滿(mǎn)足兩個(gè)力學(xué)量一般不對(duì)易的要求；（3）厄密矩陣的性質(zhì)能體現(xiàn)力學(xué)量算符的厄密性。11、算符（力學(xué)量）在其自身表象中如何表示？其本征矢是什么?答：力學(xué)量本征值是分立譜時(shí)，它在其自身表象中的表示是對(duì)角化的，對(duì)角元素就是它的本征值本征矢為單一元素列矩陣23æ

14、1;A1 A=ç0ççMçè0æç1ö=ç0÷ç÷1 çM÷ç÷è0÷ø0L0öA2L0÷÷MMM÷ 0LA÷n÷øæç0ö÷ j2=ç1ç÷M÷ ççè0÷÷ø j12、狄拉克符號(hào)中，引入了右矢&g

15、t;，為什么又引入左矢<，右矢和左矢能夠相加嗎？答：在量子力學(xué)中，態(tài)空間是具有內(nèi)積的矢量空間，類(lèi)似于希爾伯特空間波函數(shù)j和y的內(nèi)積(j,y)=òj*ydt，|j>和|y>的內(nèi)積記為<j|y>，<j|是對(duì)應(yīng)于|j>的左矢，屬于伴隨空間的一個(gè)矢量。由于左矢和右矢是分屬于25不同空間的矢量，它們不能相加。13、（1）(AB|y>)=<y|BA +ÙÙÙ+Ù+（2）|ly>=l|y>（3）如>是F的本征矢，則<y|F=F¢<y|（4）算符Pn=|n>&l

16、t;n|的物理意義是什么？公式å|n.<n|=1成立的條件是什么？nÙÙ答：算符Pn=|n><n|的物理意義在于，它作用于任何態(tài)矢上得到該態(tài)矢在基矢|n>方向的投影矢量，Pn|A>=|n><n|A>=An|n>；且Pn2=|n><n|n><n|=|n><n|=Pn，故Pn=|n><n|稱(chēng)為投影算符，An=<n|A>是投影數(shù)值。 公式å|n.<n|=1成立的條件是基矢集|n>組成正交、歸一、完備系，任意態(tài)n矢均可按|n>唯一展

17、開(kāi)|A>=åAn|n>=å|n><n|A>，由于|A>為任意態(tài)矢，故得nn到åPn=å|n><n|=1，此式可作為完全集的定義式，稱(chēng)為封閉性關(guān)系。 nn14、簡(jiǎn)述定態(tài)微擾論的基本思想。答：量子力學(xué)體系的哈密頓算符H不是時(shí)間的顯函數(shù)時(shí)，通過(guò)求解定態(tài)薛定諤方程，討論定態(tài)波函數(shù)。除少數(shù)特例外，定態(tài)薛定諤方程一般很難嚴(yán)格求解。求解定態(tài)薛定諤方程Hy=Ey時(shí)，若可以把不顯函時(shí)間的H分為大、小兩部分H=HÙÙÙÙÙÙ(0)+H¢ Ù|H(0

18、)|>>|H¢|，其中 HÙÙ(0)y(0)n=Ey(0)n(0)n，即HÙ(0)的本征值En(0)和本征函數(shù)yn(0)是可以精確求解的，或已有確定的結(jié)果。，將微擾寫(xiě)成 lH¢， 滿(mǎn)足上述條件的基礎(chǔ)上，常引入一個(gè)很小參數(shù)l（0<l<1）以逐步近似的精神求解薛定諤方程。將能級(jí)和波函數(shù)以l的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)(0)(1)(2)ìEn=En+lEn+l2En+L í (0)(1)2(2)=+LyylylynnnînÙE(0)n與y稱(chēng)為零級(jí)近似能量和零級(jí)近似波函數(shù)，是未受微擾時(shí)H(0)nÙ

19、;(0)的本征能量和本征函數(shù)，也是我們求解微擾問(wèn)題的必備基本條件，后面各項(xiàng)按l的冪次稱(chēng)為一級(jí)修正、二級(jí)修正、。15、非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾論的適用條件是什么？答：(0)(0)¢|<<|En 非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾論的適用條件為|Hmn一是要求微擾本身應(yīng)很小，-Em|，(0)|較大。 二是要求能級(jí)間隔|En(0)-Em16、簡(jiǎn)并態(tài)微擾與非簡(jiǎn)并態(tài)微擾的主要區(qū)別是什么？什么條件下，簡(jiǎn)并能級(jí)情況可用非簡(jiǎn)并態(tài)微擾處理？答：簡(jiǎn)并態(tài)微擾與非簡(jiǎn)并態(tài)微擾的主要區(qū)別是零級(jí)近似能量給定后，對(duì)應(yīng)的零級(jí)近似波函數(shù)一般說(shuō)來(lái)是不能完全確定的。0) 對(duì)于f度簡(jiǎn)并能級(jí)Ek(0),如選擇的f個(gè)獨(dú)立的yk(a已使H¢

20、;對(duì)角化，即)0)0)0)¢¢dab，此時(shí)Ek(1對(duì)應(yīng)的零級(jí)近似波函數(shù)為yk(a，雖然能級(jí)Ek(0)<yk(a>=Hab|H¢|yk(ba=Haa，是簡(jiǎn)并的，仍可用非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾論處理一級(jí)近似問(wèn)題。17、自旋可在坐標(biāo)空間中表示嗎？它與軌道角動(dòng)量性質(zhì)上有何差異？答：（1）自旋是內(nèi)稟角動(dòng)量，它不能在坐標(biāo)空間中表示出來(lái)。（2）軌道角動(dòng)量是微觀粒子的外部空間角動(dòng)量，它可在坐標(biāo)表象中表示出來(lái)，量子數(shù)為整數(shù)，本征態(tài)為球諧函數(shù)；自旋是內(nèi)稟角動(dòng)量，量子數(shù)為整數(shù)或半奇整數(shù)，自旋函數(shù)需用多分量波函數(shù)表示。此外，二者的旋磁比不同。18、電子Sz的本征態(tài)常被寫(xiě)為a=ç÷，b=ç÷；它們的含義是什么？ ç0÷ç1