3圓錐曲線常用結(jié)論

1、圓錐曲線常用結(jié)論（選擇）一、橢圓1.點 P 處的切線 PT 平分PF1F2 在點P 處的外角.2.PT 平分PF1F2 在點P 處的外角，則焦點在直線 PT 上的射影 H 點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.3.4.以焦點弦 PQ 為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相離.以焦點半徑 PF1 為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切.x2y2x xy y+ = 1上，則過 P0 的橢圓的切線方 0 + 0 = 1.若 P0 (x0 , y0 ) 在橢圓5.a2b2a2b2x2y2+ = 1外 ，則過 Po 作橢圓的兩條切線切點為 P1、P2，則切點b2若 P0 (x0 , y0 ) 在橢圓 a26.x

2、0 x + y0 y = 1.弦 P P1 2 的直線方a2b2x2y2橢圓+= 1 (ab0)的左右焦點分別為 F1 ，F(xiàn) 2 ，點 P 為橢圓上任意一點7.a2b2= b2 tan g2ÐF PF= g ，則橢圓的焦點角形的面積為 S.12DF1PF2x2y2+ = 1（ab0）的焦半徑公式：8.橢圓a2b2| MF1 |= a + ex0 , | MF2 |= a - ex0 ( F1 (-c, 0) , F2 (c, 0) M (x0 , y0 ) ).設(shè)過橢圓焦點 F 作直線與橢圓相交 P、Q 兩點，A 為橢圓長軸上一個頂點，連結(jié) AP 和9.AQ 分別交相應(yīng)于焦點 F 的

3、橢圓準(zhǔn)線于 M、N 兩點，則 MFNF.10.過橢圓一個焦點 F 的直線與橢圓交于兩點 P、Q, A1、A2 為橢圓長軸上的頂點，A1P 和A2Q交于點 M，A2P 和A1Q 交于點 N，則MFNF.x2y2AB 是橢圓+= 1 的不平行于對稱軸的弦， M (x , y ) 為 AB 的中點，則a2b20011.b2kOM × kAB= -，a2b2 x即 K= -0 。ABa 2 y0x2y2若 P0 (x0 , y0 ) 在橢圓 a2 + b2 = 1 內(nèi)，則被 Po 所 平 分 的 中 點 弦 的 方12.x 2y 2x xy y 0 + 0 = 0 + 0 .a2b2a2b2

4、x2y2若 P0 (x0 , y0 ) 在橢圓 a2 + b2 = 1 內(nèi) ， 則 過 Po 的 弦 中 點 的 軌 跡 方13.第1頁，共8頁x2y2x xy y+= 0 + 0 .a2b2a2b2二、雙曲線點 P 處的切線 PT 平分PF1F2 在點P 處的內(nèi)角.PT 平分PF1F2 在點P 處的內(nèi)角，則焦點在直線 PT 上的射影 H 點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.以焦點弦 PQ 為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相交.以焦點半徑 PF1 為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切.（內(nèi)切：P 在右支；外切：1.2.3.4.P 在）x2y2- = 1（a0,b0）上，則過 P 的雙曲線的切線

5、方程b20若 P0 (x0 , y0 ) 在雙曲線 a25.x xy y是 0 - 0= 1.a2b2x2y2若 P0 (x0 , y0 ) 在雙曲線 a2 - b2 = 1（a0,b0）外 ，則過Po 作雙曲線的兩條切6.x0 x - y0 y = 1.線切點為 P 、P ，則切點弦 P P的直線方121 2a2b2x2y2- = 1（a0,bo）的左右焦點分別為 F1，F(xiàn) 2，點 P 為雙曲線上任意7.雙曲線a2b2= b2co t g .一點ÐF PF = g ，則雙曲線的焦點角形的面積為 S12DF1PF22F2 (c, 0)x2y2雙曲線-= 1（a0,bo）的焦半徑公式：

6、( F (-c, 0) ,a2b21當(dāng) M (x0 , y0 ) 在右支上時， | MF1 |= ex0 + a , | MF2 |= ex0 - a .8.時， | MF1 |= -ex0 + a , | MF2 |= -ex0 - a當(dāng) M (x0 , y0 ) 在9.設(shè)過雙曲線焦點 F 作直線與雙曲線相交 P、Q 兩點，A 為雙曲線長軸上一個頂點，連結(jié) AP 和 AQ 分別交相應(yīng)于焦點 F 的雙曲線準(zhǔn)線于 M、N 兩點，則 MFNF.10.過雙曲線一個焦點 F 的直線與雙曲線交于兩點 P、Q, A1、A2 為雙曲線實軸上的頂點，A1P 和 A2Q 交于點 M，A2P 和 A1Q 交于點

7、N，則MFNF.x2y2AB 是雙曲線-= 1（a0,b0）的不平行于對稱軸的弦，M (x , y ) 為 ABa2b20011.b 2 xb 2 x的中點，則 K× K=0 ，即 K=0 。OMABABa 2 ya 2 y00x2y2若 P0 (x0 , y0 ) 在雙曲線 a2 - b2 = 1（a0,b0）內(nèi)，則被 Po 所平分的中點弦的12.x 2y 2x xy y 0 - 0 = 0 - 0 .方a2b2a2b2第2頁，共8頁x2y2若 P0 (x0 , y0 ) 在雙曲線 a2 - b2 = 1（a0,b0）內(nèi)，則過 Po 的弦中點的軌跡方13.x2y2x xy y-=

8、0 - 0 .a2b2a2b2橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)-（會推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論）橢圓x2y2橢圓+= 1（abo）的兩個頂點為 A (-a, 0), A (a, 0) ，與 y 軸平行的直a2b2121.x2y2-= 1.線交橢圓于 P1、P2 時 A1P1 與A2P2 交點的軌跡方a2b2x2y2過橢圓+= 1 (a0, b0)上任一點 A(x , y ) 任意作兩條傾斜角互補的直a2b200b2 x2.線交橢圓于 B,C 兩點，則直線 BC 有定向且k=0 （常數(shù)）.BCa2 y0x2y2若 P 為橢圓+= 1（ab0）上異于長軸端點的任一點,F1, F 2 是焦點,3.a2b2abÐ

9、PF F = a , ÐPF F = b ，則 a - c = tanco t.221 22 1a + cx2y2設(shè)橢圓+= 1（ab0）的兩個焦點為 F1、F2,P（異于長軸端點）為橢圓上4.a2b2任意一點，在PF1F2 中，記ÐF1PF2 = a ,ÐPF1F2 = b, ÐF1F2P = g ，則有sinac= e .sin b + sin gax2y2若橢圓+= 1（ab0）的左、右焦點分別為 F1、F2，左準(zhǔn)線為 L，則當(dāng) 05.a2b2e 2 -1時，可在橢圓上求一點 P，使得 PF1 是P 到對應(yīng)準(zhǔn)線距離 d 與PF2 的比例中項.x2y

10、2P 為橢圓+= 1（ab0）上任一點,F1,F2 為二焦點，A6.為橢圓內(nèi)一定點，a2b2則 2a- | AF2 |£| PA | + | PF1 |£ 2a+ | AF1 | ,當(dāng)且僅當(dāng) A, F2 , P 三點共線時，等號成立.(x - x( y - y)2)2橢圓0+0= 1 與直線 Ax + By + C = 0 有公共點的充要條件是7.a2b2A2a2 + B2b2 ³ (Ax + By + C)2 .00第3頁，共8頁x2y2已知橢圓+= 1（ab0），O 為坐標(biāo)原點，P、Q 為橢圓上兩動點，且OP OQ .8.a2b24a2b21111+=+;（2

11、）|OP|2+|OQ|2 的最大值為;（3）S（1）DOPQa2 + b2| OP |2| OQ |2a2b2a2b2的最小值是.a2 + b2x2y2過橢圓+= 1（ab0）的右焦點 F 作直線交該橢圓右支于 M,N 兩點，弦9.a2b2MN 的垂直平分線交 x 軸于 P，則| PF |e=.| MN |2x2y2已知橢圓+= 1（ ab0） ,A、B、是橢圓上的兩點，線段 AB 的垂直平分10.a2b2線與 x 軸相交于點 P(x0 , 0) , 則-a2 - b2a2 - b2< x0 <.aax2y2設(shè) P 點是橢圓+= 1（ ab0）上異于長軸端點的任一點,F1、F2 為

12、其焦點11.a2b2g2b2F1PF2 = q ，則(1) | PF1 | PF2 |= 1+ cosq .(2)記Ð= b tan.22SDPF F1 2 x2y2設(shè) A、B 是橢圓+= 1（ ab0）的長軸兩端點，P 是橢圓上的一點，12.a2b2ÐPAB = a , ÐPBA = b , ÐBPA = g ，c、e 分別是橢圓的半焦距離心率，則有2ab2 | cosa |2a2b2(1) | PA |=- c co s g .(2) tan a tan b = 1- e .(3)a222=- a cot g .b222SDPABx2y2已知橢圓+=

13、 1（ ab0）的右準(zhǔn)線l 與 x 軸相交于點 E ，過橢圓右焦點 F13.a2b2的直線與橢圓相交于 A、B 兩點,點C 在右準(zhǔn)線l 上，且 BC x 軸，則直線 AC 經(jīng)過線段 EF 的中點.14.過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直.15.過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.16.橢圓焦三角形中,內(nèi)點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)第4頁，共8頁e(離心率).（注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點.）17.橢圓焦三角形中,內(nèi)點與非

14、焦頂點連線段分成定比 e.18.橢圓焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點到橢圓中心的比例中項.雙曲線x2y2雙曲線-= 1（a0,b0）的兩個頂點為 A (-a, 0), A (a, 0) ，與 y 軸a2b2121.x2y2+= 1.平行的直線交雙曲線于 P1、P2 時 A1P1 與A2P2 交點的軌跡方a2b2x2y2過雙曲線-= 1（a0,bo）上任一點 A(x , y ) 任意作兩條傾斜角互a2b2002.b2 x補的直線交雙曲線于 B,C 兩點，則直線 BC 有定向且 k=-（常數(shù)）.0BCa2 y0x2y2若 P 為雙曲線-= 1（a0,b0）右（或3.除頂點外的任一點,F1,a2b2c

15、 - aab，則=ÐPF F = a, ÐPF F = btanco t（或 22F是焦點,21 22 1c + abac - a= tanco t）.c + a22x2y2設(shè)雙曲線-= 1（a0,b0）的兩個焦點為 F1、F2,P（異于長軸端點）4.a2b2為 雙 曲 線 上 任 意 一 點 ， 在 PF1F2 中 ， 記 ÐF1PF2 = a , sinacÐPF F = b , ÐF F P = g ，則有= e .1 212±(sin g - sin b )ax2y2若雙曲線-= 1（a0,b0）的左、右焦點分別為 F1、F2

16、，左準(zhǔn)線為 L，5.a2b22 +1時，可在雙曲線上求一點 P，使得 PF1 是P 到對應(yīng)準(zhǔn)線距離則當(dāng) 1ed 與PF2 的比例中項.x2y2P 為雙曲線-= 1（a0,b0）上任一點,F1,F2 為二焦點，A 為雙曲線6.a2b2內(nèi)一定點，則| AF2 | -2a £| PA | + | PF1 | ,當(dāng)且僅當(dāng) A, F2 , P 三點共線且 P 和第5頁，共8頁A, F2 在 y 軸同側(cè)時，等號成立.x2y27. 雙曲線-= 1（a0,b0）與直線 Ax + By + C = 0 有公共點的充要條a2b2件是 A2a2 - B2b2 £ C2 .x2y28. 已知雙曲線

17、-= 1（ba 0），O 為坐標(biāo)原點，P、Q 為雙曲線上兩動點，a2b2且OP OQ .4a2b21111+=-;（2）|OP|2+|OQ|2 的最小值為;（3）S（1）DOPQ| OP |2| OQ |2a2b2b2 - a2a2b2的最小值是.b2 - a2x2y2過雙曲線-= 1（a0,b0）的右焦點 F 作直線交該雙曲線的右支于9.a2b2M,N 兩點，弦 MN 的垂直平分線交 x 軸于 P，則| PF |e=.| MN |2x2y2已知雙曲線-= 1（a0,b0）,A、B 是雙曲線上的兩點，線段 AB 的10.a2b2垂直平分線與 x 軸相交于點 P(x0 , 0) , 則 x0 &

18、#179;a2 + b2a2 + b2或 x0 £- .aax2y2設(shè) P 點是雙曲線-= 1（a0,b0）上異于實軸端點的任一點,F1、F211.a2b22b2為 其 焦 點 記 ÐF1PF2 = q， 則 (1) | PF1 | PF2 |= 1- cosq.(2)g= b cot.22SDPF F1 2 x2y2設(shè) A、B 是雙曲線-= 1（a0,b0）的長軸兩端點，P 是雙曲線上的12.a2b2一點， ÐPAB = a , ÐPBA = b , ÐBPA = g ，c、e 分別是雙曲線的半焦距2ab2 | cosa | a2 - c2co s2 g |離心率，則有(1) | PA |=.2a2b2(2) tan a tan b = 1- e .(3)=+ a cot g .b222SDPABx2y2已知雙曲線-= 1（a0,b0）的右準(zhǔn)線l 與 x 軸相交于點 E ，過雙曲13.a2b2線右焦點 F 的直線與雙曲線相交于 A、B 兩點,點C 在右準(zhǔn)線l 上，且 BC x軸，則直線 AC 經(jīng)過線段 EF 的中點.14.過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直.第6頁，共8頁15. 過雙曲線焦半徑