高數B補考復習提綱微分學

1、多元函數微分學1、多元函數的概念1）多元函數的定義域：使其表達式有意義的點的全體，是平面上的區(qū)域。例1：求函數定義域解：。2）多元函數表達式：變量一致。例2：（A卷填空題1）設，則（ ） A）； B）； C）； D） 解：設，則，代入原式，得于是，所以應選B。3）多元函數的極限與連續(xù)：多元初等函數在定義區(qū)域內為連續(xù)函數，此時有。例3：求解：由于為二元初等函數，點（1，2）在其定義區(qū)域內，因此在點（1，2）處連續(xù)，于是。2、 多元函數的偏導數與全微分1） 偏導數：設，則（此時把看成常數）；（此時把看成常數）；2） 全微分：設，則。3）例1：設 ，求。解： ，所以。例2：求三元函數的偏導數及全微分

2、解：。3）多元函數連續(xù)，偏導存在，偏導連續(xù)和函數連續(xù)之間有如下關系：偏導數存在連續(xù)函數可微；反之不一定。例3：（A卷選擇題2）設函數在點處兩個偏導數存在，是在該點連續(xù)的（ ）A）充分條件而非必要條件； B）必要條件而非充分條件；C）充分必要條件； D）既非充分又非必要條件。解：應選D。4）二階偏導數：；如果在區(qū)域D內連續(xù)，則。例4：（A卷計算題1）設，求。解：，所以;,。3、多元復合函數的微分法1）設，則；例1：設，求。解：，。例2：設具有一階連續(xù)偏導數，求。解：， 。2）如 ，則全導數。例3：設，求解：4隱函數的求導1）設，則有2）設，則有。 例1：設，求。（是常數）解：，則所以。5、多元函

3、數微分學的幾何應用1）空間曲線 在時對應的點處l 切線方程：l 法平面方程：2）曲面上一點處l 切平面方程：l 法線方程：例1：（A卷選擇題3）：在曲線的所有切線中，與平面平行的切線（ ）A）只有一條； B）只有兩條； C）至少有三條； D）不存在。解：已知切線方向向量與平面法向量垂直，于是，所以只有兩條切線。應選B。6、多元函數極值1）多元函數極值存在的必要條件設函數在點的鄰域內有定義且存在一階偏導數，如果是極值點，則必有2）多元函數極值存在的充分條件設函數在點的鄰域內連續(xù)，且存在一階及二階連續(xù)偏導數，而是駐點，令若1）時有極值，并且； 2）時沒有極值； 3）時無法判定。3）求具有二階連續(xù)偏

4、導數的函數極值（無條件極值）的步驟如下：l 求出的點（駐點）；l 對每一個駐點，求出l 確定的符號， 有極值，沒有極值；4）條件極值求條件極值的步驟：l 構造拉格朗日函數；其中：是目標函數，是已知條件，是待定常數。l 求解，從中可求得所得到的點即是在條件下的極值點。例1：試用拉格朗日乘數法討論，欲建造一容積為的矩形水池（有蓋），問如何設計，才能使建筑材料最??？解：設矩形小池的長、寬、高為，由已知，構造拉格朗日函數， ,由實際問題極值的唯一性，可知，當矩形水池的長、寬、高分別為時，表面積最小，使用的建筑材料最省。7、方向導數與梯度（了解）1) 方向導數l 函數在點沿著方向的方向導數為： l 函數在點沿著方向的方向導數為： 。例1：函數在點處沿點指向點方向的方向導數。解：這里為的方向，向量的方向余弦為又，