高等數(shù)學(xué)考研知識點總結(jié)10

1、 第十講 常微分方程一、 考試要求1、了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念。 2、掌握變量可分離的微分方程、齊次微分方程和一階線性微分方程的解法。會解伯努力方程和全微分方程，會用簡單的變量代換解某些微分方程。會用降階法解下列形式的微分方程：y(n)=f(x),y/=f(x,y/)和y/=f(y,y/).3、掌握(會解)二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程。4、理解(了解)線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理，會解自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 。5、了解差分與差分方程及其通解與特解等

2、概念。 6、掌握一階常系數(shù)線性差分方程的解法。 7、會用微分方程和差分方程求解簡單的經(jīng)濟應(yīng)用問題。 8、會解歐拉方程。9、會用微分方程解決一些簡單的應(yīng)用問題。 二、內(nèi)容提要 （一）、一階微分方程 1 可分離變量微分方程 或 直接積分： 2 齊次方程 , 3 一階線性微分方程 或 4 貝努里方程 , 5 全微分方程 6 可用簡單變量代換求解的微分方程 （二）、可降階的高階微分方程 1 , 連續(xù)積分n次 2 , 3 , （三）、高階線性微分方程 1、 (1) (2) 解的性質(zhì)、結(jié)構(gòu) 2、常系數(shù)線性齊次方程 (1) 特征方程，特征根三種情況： (2) 3、二階常系數(shù)線性非齊次方程 (1) , 特解：

3、 (2) , 特解： (3) , 特解：4、 歐拉方程 令 5、 微分方程組 ，一般化為二階常系數(shù)線性微分方程求解.三、 典型題型與例題 題型一、一階微分方程的求解 解題步驟： (1) 判斷方程的類型； (2) 注意； (3) 若不能確定類型，考慮用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q.例1、 (98 1) 已知函數(shù)y=y(x)在任意點x處的增量, 且當(dāng)時，a是的高階無窮小量，, 則y(1)= . 例2、求。例3、求的通解。例4、（99）設(shè)有微分方程，其中,試求在內(nèi)連續(xù)的函數(shù)y=y(x)，使之在和內(nèi)都滿足所給方程且y(0)=0.例5、 求微分方程的一個解y=y(x)，使得由曲線y=y(x)與直線x=1,x=2以及x

4、軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積最小.例6、解微分方程 ; 例7、; 例8、例9、解1、A 用曲線積分法: B 用全微分運算:C 用偏積分法:原方程的通解為注：全微分方程的解法：則存在1、曲線積分法：2、全微分的運算。3、偏積分法 ，則，題型二、可降階的高階微分方程例10、(001) 微分方程的通解為_,例11、 (99 1) 設(shè)函數(shù)y(x)(x³0)二階可導(dǎo)且 過曲線y=y(x)上任意一點P(x,y)作該曲線的切線及x軸的垂線，上述兩直線與x軸所圍成的三角形的面積記為S1, 區(qū)間0,x上以y=y(x)為曲線的曲邊梯形面積記為S2. 并設(shè),求此曲線的方程. 例12、題型三、高階常系數(shù)線性微分方程的求解1、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解2、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解方法：1）求特征方程的根 2）寫出齊次方程的通解 3）求出非齊次方程的一個特解 4）寫出非齊次的通解例13、例14、例15、例16、 (002)具有特解的3階常系數(shù)齊次線性微分方程是_, 例17 （10123）3階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解為. 例18、 設(shè)都是某二階常系數(shù)線性微分方程的解，則此二階常系數(shù)齊次