高考數學二輪復習不等式選講

1、第2講不等式選講年份卷別考查內容及考題位置命題分析2018卷絕對值不等式的解法、不等式的恒成立問題·T231.不等式選講是高考的選考內容之一，考查的重點是不等式的證明、絕對值不等式的解法等，命題的熱點是絕對值不等式的求解，以及絕對值不等式與函數的綜合問題的求解2此部分命題形式單一、穩(wěn)定，難度中等，備考本部分內容時應注意分類討論思想的應用.卷絕對值不等式的解法、不等式的恒成立問題·T23卷含絕對值函數圖象的畫法、不等式的恒成立問題·T232017卷含絕對值不等式的解法、求參數的取值范圍·T23卷基本不等式的應用、一些常用的變形及證明不等式的方法·

2、T23卷含絕對值不等式的解法、函數最值的求解·T232016卷含絕對值函數圖象的畫法、含絕對值不等式的解法·T24卷含絕對值不等式的解法、比較法證明不等式·T24卷含絕對值不等式的解法、絕對值不等式的性質·T24絕對值不等式的解法(綜合型)含有絕對值的不等式的解法(1)|f(x)|>a(a>0)f(x)>a或f(x)<a；(2)|f(x)|<a(a>0)a<f(x)<a；(3)對形如|xa|xb|c，|xa|xb|c的不等式，可利用絕對值不等式的幾何意義求解 典型例題 (2018·太原模擬)已知函

3、數f(x)|xm|2x1|.(1)當m1時，求不等式f(x)2的解集；(2)若f(x)|2x1|的解集包含，求m的取值范圍【解】(1)當m1時，f(x)|x1|2x1|，當x1時，f(x)3x22，所以1x；當<x<1時，f(x)x2，所以<x<1；當x時，f(x)23x2，所以0x，綜上可得原不等式f(x)2的解集為.(2)由題意可知f(x)|2x1|在上恒成立，當x時，f(x)|xm|2x1|xm|2x1|2x1|2x1，所以|xm|2，即2xm2，則2xm2x，且(2x)max，(2x)min0，因此m的取值范圍為.|xa|xb|c(或c)(c>0)，|xa

4、|xb|c(或c)(c>0)型不等式的解法可通過零點分區(qū)間法或利用絕對值的幾何意義進行求解(1)零點分區(qū)間法的一般步驟令每個絕對值符號的代數式為零，并求出相應的根將這些根按從小到大排列，把實數集分為若干個區(qū)間由所分區(qū)間去掉絕對值符號得若干個不等式，解這些不等式，求出解集取各個不等式解集的并集就是原不等式的解集(2)利用絕對值的幾何意義由于|xa|xb|與|xa|xb|分別表示數軸上與x對應的點到a，b對應的點的距離之和與距離之差，因此對形如|xa|xb|c(或c)(c>0)或|xa|xb|c(或c)(c>0)的不等式，利用絕對值的幾何意義求解更直觀 對點訓練(2018

5、3;合肥第一次質量檢測)已知函數f(x)|2x1|.(1)解關于x的不等式f(x)f(x1)1；(2)若關于x的不等式f(x)<mf(x1)的解集不是空集，求m的取值范圍解：(1)f(x)f(x1)1|2x1|2x1|1，則或或解得x或x<，即x，所以原不等式的解集為.(2)由條件知，不等式|2x1|2x1|<m有解，則m>(|2x1|2x1|)min即可由于|2x1|2x1|12x|2x1|12x2x1|2，當且僅當(12x)(2x1)0，即x時等號成立，故m>2.所以m的取值范圍是(2，)不等式的證明(綜合型) 含有絕對值的不等式的性質|a|b|a±

6、b|a|b|. 算術幾何平均不等式定理1：設a，bR，則a2b22ab，當且僅當ab時，等號成立定理2：如果a，b為正數，則，當且僅當ab時，等號成立定理3：如果a，b，c為正數，則，當且僅當abc時，等號成立定理4：(一般形式的算術幾何平均不等式)如果a1，a2，an為n個正數，則，當且僅當a1a2an時，等號成立 典型例題 (2018·長春質量檢測(一)設不等式|x1|x1|<2的解集為A.(1)求集合A；(2)若a，b，cA，求證：>1.【解】(1)由已知，令f(x)|x1|x1|由|f(x)|<2得1<x<1，即Ax|1<x<1(2)

7、證明：要證>1，只需證|1abc|>|abc|，只需證1a2b2c2>a2b2c2，只需證1a2b2>c2(1a2b2)，只需證(1a2b2)(1c2)>0，由a，b，cA，得a2b2<1，c2<1，所以(1a2b2)(1c2)>0恒成立綜上，>1.證明不等式的方法和技巧(1)如果已知條件與待證明的結論直接聯系不明顯，可考慮用分析法；如果待證的命題以“至少”“至多”等方式給出或是否定性命題、唯一性命題，則考慮用反證法(2)在必要的情況下，可能還需要使用換元法、構造法等技巧簡化對問題的表述和證明尤其是對含絕對值不等式的解法或證明，其簡化的基本

8、思路是化去絕對值符號，轉化為常見的不等式(組)求解多以絕對值的幾何意義或“找零點、分區(qū)間、逐個解、并起來”為簡化策略，而絕對值三角不等式，往往作為不等式放縮的依據對點訓練(2018·陜西教學質量檢測(一)已知函數f(x)|2x1|x1|.(1)解不等式f(x)3；(2)記函數g(x)f(x)|x1|的值域為M，若tM，證明t213t.解：(1)依題意，得f(x)所以f(x)3或或解得1x1，即不等式f(x)3的解集為x|1x1(2)證明：g(x)f(x)|x1|2x1|2x2|2x12x2|3，當且僅當(2x1)(2x2)0時取等號，所以M3，)t213t，因為tM，所以t30，t2

9、1>0，所以0，所以t213t.含絕對值不等式的恒成立問題(綜合型)典型例題 (2018·鄭州第一次質量預測)設函數f(x)|x3|，g(x)|2x1|.(1)解不等式f(x)<g(x)；(2)若2f(x)g(x)>ax4對任意的實數x恒成立，求a的取值范圍【解】(1)由已知，可得|x3|<|2x1|，即|x3|2<|2x1|2，所以3x210x8>0，解得x<或x>4.故所求不等式的解集為(4，)(2)由已知，設h(x)2f(x)g(x)2|x3|2x1|當x3時，只需4x5>ax4恒成立，即ax<4x9恒成立，因為x3&

10、lt;0，所以a>4恒成立，所以a>，所以a>1；當3<x<時，只需7>ax4恒成立，即ax3<0恒成立，只需所以所以1a6；當x時，只需4x5>ax4恒成立，即ax<4x1恒成立因為x>0，所以a<4恒成立因為4>4，且x時，44，所以a4.綜上，a的取值范圍是(1，4絕對值不等式的成立問題的求解模型(1)分離參數：根據不等式將參數分離化為af(x)或af(x)形式(2)轉化最值：f(x)>a恒成立f(x)min>a；f(x)<a恒成立f(x)max<a；f(x)>a有解f(x)max>

11、;a；f(x)<a有解f(x)min<a；f(x)>a無解f(x)maxa；f(x)<a無解f(x)mina.(3)求最值：利用基本不等式或絕對值不等式求最值(4)得結論 對點訓練1(2018·高考全國卷)已知f(x)|x1|ax1|.(1)當a1時，求不等式f(x)1的解集；(2)若x(0，1)時不等式f(x)x成立，求a的取值范圍解：(1)當a1時，f(x)|x1|x1|，即f(x)故不等式f(x)>1的解集為x|x>(2)當x(0，1)時|x1|ax1|>x成立等價于當x(0，1)時|ax1|<1成立若a0，則當x(0，1)時|a

12、x1|1；若a>0，|ax1|<1的解集為0<x<，所以1，故0<a2.綜上，a的取值范圍為(0，22(2018·洛陽第一次聯考)已知函數f(x)|x12a|xa2|，aR，g(x)x22x4.(1)若f(2a21)>4|a1|，求實數a的取值范圍；(2)若存在實數x，y，使f(x)g(y)0，求實數a的取值范圍解：(1)因為f(2a21)>4|a1|，所以|2a22a|a21|>4|a1|，所以|a1|(2|a|a1|4)>0，所以|2a|a1|>4且a1.若a1，則2aa1>4，所以a<；若1<a<

13、;0，則2aa1>4，所以a<3，此時無解；若a0且a1，則2aa1>4，所以a>1.綜上所述，a的取值范圍為(1，)(2)因為g(x)(x1)25251，顯然可取等號，所以g(x)min1.于是，若存在實數x，y，使f(x)g(y)0，只需f(x)min1.又f(x)|x12a|xa2|(x12a)(xa2)|(a1)2，所以(a1)21，所以1a11，所以0a2，即a0，21(2018·高考全國卷)設函數f(x)5|xa|x2|.(1)當a1時，求不等式f(x)0的解集；(2)若f(x)1，求a的取值范圍解：(1)當a1時，f(x)可得f(x)0的解集為x

14、|2x3(2)f(x)1等價于|xa|x2|4.而|xa|x2|a2|，且當x2時等號成立故f(x)1等價于|a2|4.由|a2|4可得a6或a2.所以a的取值范圍是(，62，)2(2018·開封模擬)已知函數f(x)|xm|，m<0.(1)當m1時，求解不等式f(x)f(x)2x；(2)若不等式f(x)f(2x)<1的解集非空，求m的取值范圍解：(1)設F(x)|x1|x1|由F(x)G(x)解得x|x2或x0(2)f(x)f(2x)|xm|2xm|，m<0.設g(x)f(x)f(2x)，當xm時，g(x)mxm2x2m3x，則g(x)m；當m<x<時

15、，g(x)xmm2xx，則<g(x)<m；當x時，g(x)xm2xm3x2m，則g(x).則g(x)的值域為，不等式f(x)f(2x)<1的解集非空，即1>，解得m>2，由于m<0，則m的取值范圍是(2，0)3(2018·石家莊質量檢測(一)已知函數f(x)|ax1|(a2)x.(1)當a3時，求不等式f(x)>0的解集；(2)若函數f(x)的圖象與x軸沒有交點，求實數a的取值范圍解：(1)當a3時，不等式可化為|3x1|x>0，即|3x1|>x，所以3x1<x或3x1>x，即x<或x>，所以不等式f(x)

16、>0的解集為.(2)當a>0時，f(x)要使函數f(x)的圖象與x軸無交點，只需即1a<2；當a0時，f(x)2x1，函數f(x)的圖象與x軸有交點，不合題意；當a<0時，f(x)要使函數f(x)的圖象與x軸無交點，只需此時無解綜上可知，若函數f(x)的圖象與x軸無交點，則實數a的取值范圍為1，2)4(2018·高考全國卷)設函數f(x)|2x1|x1|.(1)畫出yf(x)的圖象；(2)當x0，)時，f(x)axb，求ab的最小值解：(1)f(x)yf(x)的圖象如圖所示(2)由(1)知，yf(x)的圖象與y軸交點的縱坐標為2，且各部分所在直線斜率的最大值為

17、3，故當且僅當a3且b2時，f(x)axb在0，)成立，因此ab的最小值為5.5(2018·石家莊質量檢測(二)已知函數f(x)|2xa|2x1|.(1)當a1時，求f(x)2的解集；(2)若g(x)4x2ax3.當a>1且x時，f(x)g(x)，求實數a的取值范圍解：(1)當a1時，f(x).當x<時，f(x)2無解；當x時，f(x)2的解集為；當x>時，f(x)2無解綜上所述，f(x)2的解集為.(2)當x時，f(x)(a2x)(2x1)a1，所以f(x)g(x)可化為a1g(x)又g(x)4x2ax3在上的最大值必為g、g之一，則，即，即a2.又a>1，

18、所以1<a2，所以a的取值范圍為(1，26(2018·南昌模擬)已知函數f(x)|2x3a2|.(1)當a0時，求不等式f(x)|x2|3的解集；(2)若對于任意函數x，不等式|2x1|f(x)<2a恒成立，求實數a的取值范圍解：(1)當a0時，不等式可化為|2x|x2|3，得或或，解得x或x1，所以當a0時，不等式f(x)|x2|3的解集為1，)(2)對于任意實數x，不等式|2x1|f(x)<2a恒成立，即|2x1|2x3a2|<2a恒成立因為|2x1|2x3a2|2x12x3a2|3a21|，所以要使原不等式恒成立，只需|3a21|<2a.當a<0時，無解；當0a時，13a2<2a，解得<a；當a>時，3a21<2a，解得<a<1.所以實數a的取值范圍是.7(2018·福州模擬)已知函數f(x)x2|x|1.(1)求不等式f(x)2x的解集；(2)若關于x的不等式f(x)在0，)上恒成立，求實數a的取值范圍解：(1)不等式f(x)2x等價于x2|x|2x10，當x0時，式化為x23x10，解得x或0x；當x<0時，式化為x