高等等離子體物理

1、高等等離子體物理（一）線性理論（研究生教材）王曉鋼北京大學(xué) 物理學(xué)院2009年2月等離子體的流體理論1. 等離子體的流體描述 1.1 等離子體的雙流體模型1.2 Hall磁流體（Hall-MHD）模型1.3 電子磁流體（E-MHD）模型1.4 理想磁流體力學(xué)（MHD）方程組1.5 位力定理1.6 變分原理2. 理想磁流體平衡2.1 磁場(chǎng)與磁面2.2 Z-箍縮與q-箍縮2.3 一維平衡與螺旋箍縮2.4 Grad-Shafrano方程3. 等離子體的理想磁流體穩(wěn)定性3.1 能量原理3.2扭曲模與交換模3.3 一維穩(wěn)定性，直柱托卡馬克4. 磁流體力學(xué)波 4.1 線性磁流體（MHD）方程4.2 非磁化

2、等離子體中的磁流體波4.3 磁化等離子體中的磁流體波5. 均勻等離子體中的波（雙流體理論）5.1 雙流體模型5.2 介電張量與色散關(guān)系5.3 靜電波簡(jiǎn)介5.4 準(zhǔn)靜電波與準(zhǔn)電磁波5.4 電磁波簡(jiǎn)介1. 等離子體的流體描述1.1 等離子體的雙流體模型等離子體是由大量帶電粒子組成的物質(zhì)狀態(tài)。一般意義上的等離子體由帶正電的離子和帶負(fù)電的電子組成。由于帶電粒子之間的Coulomb長(zhǎng)程相互作用，等離子體呈整體電中性，即總的正電荷與負(fù)電荷相等。因此，除特殊的非中性（一般是強(qiáng)耦合的）等離子體之外，我們可以用帶負(fù)電的電子流體和帶正電的離子流體組成的“雙流體”模型來(lái)描述等離子體的宏觀行為。這種近似牽涉到等離子體

3、時(shí)空尺度的討論，我們?cè)诤竺鎸⑦M(jìn)一步詳細(xì)論述。基于流體力學(xué)的圖像及其近似，或者從統(tǒng)計(jì)物理的分布函數(shù)及其滿足的方程（如Vlasov方程或者Fokker-Planck方程等，取決與碰撞項(xiàng)的形式，這里用類Markov過(guò)程的碰撞項(xiàng)）出發(fā)，我們得到“雙流體”方程組：連續(xù)性方程（統(tǒng)計(jì)方程的零階矩），(I-01)動(dòng)量方程（力平衡方程，統(tǒng)計(jì)方程的一階矩），(I-02)狀態(tài)方程（對(duì)統(tǒng)計(jì)方程各階矩的“不封閉鏈”（Hierarchy）的一種截?cái)啵?I-03)Coulomb定律（Poisson方程），(I-04)Ampere定律，(I-05)Gaussion定理，(I-06)Fayraday定律；(I-07)這里；對(duì)

4、類粒子來(lái)說(shuō)：是粒子數(shù)密度，是粒子質(zhì)量，是粒子電荷，是流體速度，是理想氣體近似下的分壓強(qiáng)；而是類與類粒子之間的碰撞頻率（當(dāng)時(shí)為自碰撞）。，則分別是電場(chǎng)強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度、和等離子體電流密度。關(guān)于狀態(tài)方程，我們以后會(huì)進(jìn)一步討論。這里我們只是指出：參數(shù)的取值決定等離子體的狀態(tài)，如等溫（isothermal）狀態(tài)對(duì)應(yīng) ；不可壓縮狀態(tài)對(duì)應(yīng)；其它的值對(duì)應(yīng)“絕熱”狀態(tài)。 1.2 Hall磁流體（Hall-MHD）模型一般來(lái)說(shuō)，雙流體模型是描述等離子體宏觀（大于粒子回旋半徑的尺度）運(yùn)動(dòng)的有力工具；在高頻波段也可以應(yīng)用，甚至在回旋半徑的尺度上也可以得到一些有用的結(jié)果。但是，由于電子與離子質(zhì)量之間超過(guò)三個(gè)數(shù)量級(jí)的差

5、別，在具體計(jì)算雙流體模型的時(shí)候，會(huì)遇到所謂“剛性”問(wèn)題：即電子已經(jīng)完全改變了運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，離子還基本沒(méi)有動(dòng)！這使得我們?cè)谟?jì)算離子時(shí)空尺度下的物理問(wèn)題時(shí)，耗費(fèi)大量的計(jì)算機(jī)時(shí)間。而且由于code本身的精度，即使經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間運(yùn)算看到了離子的運(yùn)動(dòng)，其結(jié)果或者是看到了很強(qiáng)的數(shù)值不穩(wěn)定性、或者是很難令人相信。而為了穩(wěn)定code引進(jìn)的數(shù)值耗散，則往往帶來(lái)人為的非物理的效應(yīng)。即使對(duì)純理論的解析推導(dǎo)，不僅過(guò)程繁雜，而且得到的物理圖像也不清晰。所以我們經(jīng)常引進(jìn)進(jìn)一步的近似。因?yàn)殡x子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間尺度遠(yuǎn)遠(yuǎn)長(zhǎng)于電子的時(shí)間尺度（通常在40倍以上，對(duì)于回旋運(yùn)動(dòng)來(lái)說(shuō)則可以大于1840倍），所以我們?cè)谥饕紤]離子運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以認(rèn)為電子響

6、應(yīng)是“瞬時(shí)”的（instantaneously or simultaneously）。這樣，我們可以保持其它方程不變，近似地把（I-02）中電子的質(zhì)量趨于零，得到：，(I-02e)這里是所謂的“Spitzer電阻”。利用在“準(zhǔn)電中性”近似下，是等離子體電流，這個(gè)方程可以寫為：。必須注意到：這里我們還用到了的條件。明顯地，要求電子運(yùn)動(dòng)與離子運(yùn)動(dòng)的分離，即所謂Hall效應(yīng)。所以我們稱這個(gè)近似模型為Hall磁流體模型；這個(gè)方程則稱為Hall 磁流體的廣義歐姆定律（Hall MHD Generalized Ohms Law）。方程中的明顯地就是我們?cè)陔姶艑W(xué)課程里熟知的Hall電場(chǎng)項(xiàng)。1.3 電子磁流體

7、（E-MHD）模型而另一方面，我們?cè)谥饕紤]電子運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以認(rèn)為離子響應(yīng)是“無(wú)窮慢”的，或者說(shuō)離子可以看成是保持總體電中性的“背景”?；蛘哒f(shuō)，把離子看成是“穩(wěn)態(tài)”的（，但是可以有）。將的近似帶入離子的方程，得到的是所謂電子磁流體（Electron MHD）模型。這個(gè)模型也是在電子和離子的運(yùn)動(dòng)分離的情況下得到的，適用于比Hall MHD模型更小的空間尺度和更快的時(shí)間尺度的問(wèn)題。1.4 理想磁流體（MHD）方程組如果不僅整體等離子體呈電中性，而且在非常小的局部也呈電中性，我們可以把這個(gè)局部取做流體元，則有。上面（I-04）的右邊等于零，而（I-02）的不同電荷粒子方程相加可以消去小尺度下（即流體元

8、）的電場(chǎng)。這樣可以在很多情況下使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化。這個(gè)圖像，我們稱為磁流體（magnetohydrodynamics, MHD）近似（或稱“磁流體力學(xué)”近似）。在這個(gè)近似下，宏觀的“大尺度”電場(chǎng)滿足的方程可以由（I-02）兩式之差（得到的Ohm定律）來(lái)計(jì)算。這一節(jié)里，我們?cè)敿?xì)討論這一近似。等離子體過(guò)程的時(shí)空尺度研究物理問(wèn)題時(shí)首要的是討論時(shí)空尺度。經(jīng)典的宏觀（大空間尺度）、低速（慢時(shí)間尺度）下的牛頓力學(xué)與相對(duì)論（快時(shí)間尺度）、量子力學(xué)（小空間尺度）的適用范圍就是典型例子。在等離子體中存在著很多的運(yùn)動(dòng)模式，我們無(wú)法、也沒(méi)有必要同時(shí)考慮所有這些運(yùn)動(dòng)模式。那么哪一種（或者幾種）運(yùn)動(dòng)模式是主導(dǎo)的、起著決定作

9、用的？要回答這個(gè)問(wèn)題，就要進(jìn)行時(shí)空尺度分析：我們關(guān)心的是哪個(gè)時(shí)空尺度下的物理問(wèn)題，在這個(gè)時(shí)空尺度下存在哪幾種運(yùn)動(dòng)模式？所以，對(duì)于等離子體這樣的存在大量運(yùn)動(dòng)模式的連續(xù)介質(zhì)來(lái)說(shuō)，時(shí)空尺度分析尤其重要。磁流體（MHD）理論的基本假設(shè)磁流體理論本質(zhì)上來(lái)說(shuō)是一種與流體力學(xué)相類似的連續(xù)介質(zhì)的理論。因?yàn)榭紤]宏觀的大尺度問(wèn)題，其特征長(zhǎng)度（或）一般可以看成是所研究等離子體區(qū)域的大小，比如柱形等離子體的橫截面（的半徑）。而特征時(shí)間尺度（或者特征頻率）則可以用一個(gè)特征信號(hào)穿越這一尺度的時(shí)間來(lái)表征。這等于特征尺度與特征信號(hào)在等離子體這一介質(zhì)中傳播的速度之比。在流體理論里，這顯然是聲速，這里是質(zhì)量密度。但是在磁化等離子

10、體中，對(duì)于大尺度的MHD問(wèn)題來(lái)說(shuō)，這一特征速度是所謂Alfvén速度。當(dāng)然，如果所研究的等離子體可以看成是一個(gè)驅(qū)動(dòng)（driven）系統(tǒng)，那么其特征時(shí)間尺度應(yīng)該由驅(qū)動(dòng)頻率給出。磁流體（MHD）理論基于下列假設(shè)：* 非相對(duì)論假設(shè)： * 流體假設(shè)： 1）局域熱力學(xué)平衡（局域Maxwellian分布）假設(shè)： （要求較高碰撞頻率：壓強(qiáng)是標(biāo)量，）；2）忽略有限Larmor 半徑（FLR）效應(yīng)：，; 3）單流體（準(zhǔn)電中性）假設(shè)（即Debye球內(nèi)有大量粒子，也稱等離子體假設(shè)）：，。我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，局域Maxwellian分布的假設(shè)對(duì)于“無(wú)碰撞”理想（ideal）等離子體（其平均自由時(shí)間）來(lái)說(shuō)的不是一個(gè)好

11、的假設(shè)。我們需要進(jìn)一步討論： 1） 粒子間“碰撞”（collision）和關(guān)聯(lián)（correlation）之間的關(guān)系，以及長(zhǎng)程碰撞的“集體”（collective）效應(yīng)和短程碰撞之間的關(guān)系； 2） 以及導(dǎo)向中心理論的回旋動(dòng)理學(xué)（gyrokinetic）和漂移動(dòng)理學(xué)（drift-kinetic）近似。磁流體（MHD）方程組如果我們利用，定義小的等離子體元的“單流體”物理量：質(zhì)量密度：，流體速度，等離子體壓強(qiáng)，等離子體電流，將（I-01）、（I-02）分別對(duì)不同電荷分量求和得到連續(xù)性方程，(I-08)動(dòng)量方程（并利用Ampere定律）。(I-09)而電子的動(dòng)量方程（I-02）（時(shí)）可以寫成，這里包括

12、了電子自碰撞及電子離子碰撞；或者。這個(gè)方程我們一般稱為廣義Ohm定律，其中為經(jīng)典的等離子體Spitzer電阻率。一般來(lái)說(shuō)電流主要是電子攜帶的，可以忽略最后兩項(xiàng)得到常用的廣義Ohm定律。(I-10)所謂理想磁流體近似，在“無(wú)碰撞”近似下忽略方程右邊的電阻項(xiàng)，在大尺度磁流體近似下忽略方程右邊其它各項(xiàng)（Hall電場(chǎng)項(xiàng)由離子慣性尺度、電子壓強(qiáng)梯度項(xiàng)由“離子聲回旋半徑”尺度、電子慣性項(xiàng)由電子慣性尺度表征），得到理想磁流體的Ohm定律。(I-11)帶入Fayraday定律（I-07）得到；(I-12)加上狀態(tài)方程，(I-13)我們得到完整的理想磁流體（ideal MHD）方程組（I-08-09），（I-1

13、2-13）：共10個(gè)方程確定10個(gè)未知函數(shù)，。這10個(gè)變量是在，這7個(gè)流體變量之外加上磁場(chǎng)。所以稱磁流體（MHD）。磁流體（MHD）方程組的守恒形式流體中物理量的守恒定律可以寫成的形式其中， 而是的“通量”。這個(gè)守恒定律的微觀形式是。則從MHD方程組出發(fā)，對(duì)于數(shù)密度，(I-14)對(duì)于動(dòng)量密度，有， ，(I-15)對(duì)于能量（絕熱狀態(tài)下），有，。(I-16)1.5 位力定理對(duì)于一個(gè)有限系統(tǒng)，如果可以達(dá)到平衡態(tài)，則總的平均動(dòng)能和總的平均“位力”（virial）之間滿足關(guān)系。這個(gè)關(guān)系被稱為“位力定理”。對(duì)多粒子體系（量子的或經(jīng)典的）來(lái)說(shuō)，這里說(shuō)的平衡是總的“力學(xué)平衡”；對(duì)統(tǒng)計(jì)力學(xué)體系來(lái)說(shuō)，這個(gè)平衡指“

14、熱力學(xué)平衡”。這個(gè)定理在經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)里成立，我們這里需要討論這個(gè)定理對(duì)等離子體的應(yīng)用。在磁流體理論中，容易證明， 。則“位力定理”可以寫成。(I-17)這告訴我們保持等離子體平衡（力學(xué)的或熱力學(xué)的）唯一可能就是外加一個(gè)很大的、負(fù)的來(lái)平衡。這對(duì)應(yīng)于：（1）一個(gè)外加的勢(shì)場(chǎng)（勢(shì)阱），比如太陽(yáng)的自身引力場(chǎng)或者約束塵埃等離子體的外加負(fù)電場(chǎng)來(lái)提供；（2）或者外部線圈產(chǎn)生的外加磁場(chǎng)提供一個(gè)邊界（比如各種磁約束位形）；（3）最簡(jiǎn)單的，一個(gè)容器的“硬壁”（hard wall）提供一個(gè)無(wú)窮高勢(shì)壘 。1.6 變分原理經(jīng)典力學(xué)中的變分原理變分原理是物理學(xué)的理論基礎(chǔ)：（1）變分原理是物理規(guī)律更清晰、更普遍的形式，方便幾何方法的應(yīng)用（如Hamiltonian量的結(jié)構(gòu)、對(duì)稱性、度規(guī)等）；（2）變分原理自然保證不變量的全域守恒性質(zhì)；（3）是物理的和