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1、高等等離子體物理(一)線性理論(研究生教材)王曉鋼北京大學(xué) 物理學(xué)院2009年2月等離子體的流體理論1. 等離子體的流體描述 1.1 等離子體的雙流體模型1.2 Hall磁流體(Hall-MHD)模型1.3 電子磁流體(E-MHD)模型1.4 理想磁流體力學(xué)(MHD)方程組1.5 位力定理1.6 變分原理2. 理想磁流體平衡2.1 磁場(chǎng)與磁面2.2 Z-箍縮與q-箍縮2.3 一維平衡與螺旋箍縮2.4 Grad-Shafrano方程3. 等離子體的理想磁流體穩(wěn)定性3.1 能量原理3.2扭曲模與交換模3.3 一維穩(wěn)定性,直柱托卡馬克4. 磁流體力學(xué)波 4.1 線性磁流體(MHD)方程4.2 非磁化

2、等離子體中的磁流體波4.3 磁化等離子體中的磁流體波5. 均勻等離子體中的波(雙流體理論)5.1 雙流體模型5.2 介電張量與色散關(guān)系5.3 靜電波簡(jiǎn)介5.4 準(zhǔn)靜電波與準(zhǔn)電磁波5.4 電磁波簡(jiǎn)介1. 等離子體的流體描述1.1 等離子體的雙流體模型等離子體是由大量帶電粒子組成的物質(zhì)狀態(tài)。一般意義上的等離子體由帶正電的離子和帶負(fù)電的電子組成。由于帶電粒子之間的Coulomb長(zhǎng)程相互作用,等離子體呈整體電中性,即總的正電荷與負(fù)電荷相等。因此,除特殊的非中性(一般是強(qiáng)耦合的)等離子體之外,我們可以用帶負(fù)電的電子流體和帶正電的離子流體組成的“雙流體”模型來(lái)描述等離子體的宏觀行為。這種近似牽涉到等離子體

3、時(shí)空尺度的討論,我們?cè)诤竺鎸⑦M(jìn)一步詳細(xì)論述。基于流體力學(xué)的圖像及其近似,或者從統(tǒng)計(jì)物理的分布函數(shù)及其滿足的方程(如Vlasov方程或者Fokker-Planck方程等,取決與碰撞項(xiàng)的形式,這里用類Markov過(guò)程的碰撞項(xiàng))出發(fā),我們得到“雙流體”方程組:連續(xù)性方程(統(tǒng)計(jì)方程的零階矩),(I-01)動(dòng)量方程(力平衡方程,統(tǒng)計(jì)方程的一階矩),(I-02)狀態(tài)方程(對(duì)統(tǒng)計(jì)方程各階矩的“不封閉鏈”(Hierarchy)的一種截?cái)啵?I-03)Coulomb定律(Poisson方程),(I-04)Ampere定律,(I-05)Gaussion定理,(I-06)Fayraday定律;(I-07)這里;對(duì)

4、類粒子來(lái)說(shuō):是粒子數(shù)密度,是粒子質(zhì)量,是粒子電荷,是流體速度,是理想氣體近似下的分壓強(qiáng);而是類與類粒子之間的碰撞頻率(當(dāng)時(shí)為自碰撞)。,則分別是電場(chǎng)強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度、和等離子體電流密度。關(guān)于狀態(tài)方程,我們以后會(huì)進(jìn)一步討論。這里我們只是指出:參數(shù)的取值決定等離子體的狀態(tài),如等溫(isothermal)狀態(tài)對(duì)應(yīng) ;不可壓縮狀態(tài)對(duì)應(yīng);其它的值對(duì)應(yīng)“絕熱”狀態(tài)。 1.2 Hall磁流體(Hall-MHD)模型一般來(lái)說(shuō),雙流體模型是描述等離子體宏觀(大于粒子回旋半徑的尺度)運(yùn)動(dòng)的有力工具;在高頻波段也可以應(yīng)用,甚至在回旋半徑的尺度上也可以得到一些有用的結(jié)果。但是,由于電子與離子質(zhì)量之間超過(guò)三個(gè)數(shù)量級(jí)的差

5、別,在具體計(jì)算雙流體模型的時(shí)候,會(huì)遇到所謂“剛性”問(wèn)題:即電子已經(jīng)完全改變了運(yùn)動(dòng)狀態(tài),離子還基本沒(méi)有動(dòng)!這使得我們?cè)谟?jì)算離子時(shí)空尺度下的物理問(wèn)題時(shí),耗費(fèi)大量的計(jì)算機(jī)時(shí)間。而且由于code本身的精度,即使經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間運(yùn)算看到了離子的運(yùn)動(dòng),其結(jié)果或者是看到了很強(qiáng)的數(shù)值不穩(wěn)定性、或者是很難令人相信。而為了穩(wěn)定code引進(jìn)的數(shù)值耗散,則往往帶來(lái)人為的非物理的效應(yīng)。即使對(duì)純理論的解析推導(dǎo),不僅過(guò)程繁雜,而且得到的物理圖像也不清晰。所以我們經(jīng)常引進(jìn)進(jìn)一步的近似。因?yàn)殡x子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間尺度遠(yuǎn)遠(yuǎn)長(zhǎng)于電子的時(shí)間尺度(通常在40倍以上,對(duì)于回旋運(yùn)動(dòng)來(lái)說(shuō)則可以大于1840倍),所以我們?cè)谥饕紤]離子運(yùn)動(dòng)時(shí),可以認(rèn)為電子響

6、應(yīng)是“瞬時(shí)”的(instantaneously or simultaneously)。這樣,我們可以保持其它方程不變,近似地把(I-02)中電子的質(zhì)量趨于零,得到:,(I-02e)這里是所謂的“Spitzer電阻”。利用在“準(zhǔn)電中性”近似下,是等離子體電流,這個(gè)方程可以寫為:。必須注意到:這里我們還用到了的條件。明顯地,要求電子運(yùn)動(dòng)與離子運(yùn)動(dòng)的分離,即所謂Hall效應(yīng)。所以我們稱這個(gè)近似模型為Hall磁流體模型;這個(gè)方程則稱為Hall 磁流體的廣義歐姆定律(Hall MHD Generalized Ohms Law)。方程中的明顯地就是我們?cè)陔姶艑W(xué)課程里熟知的Hall電場(chǎng)項(xiàng)。1.3 電子磁流體

7、(E-MHD)模型而另一方面,我們?cè)谥饕紤]電子運(yùn)動(dòng)時(shí),可以認(rèn)為離子響應(yīng)是“無(wú)窮慢”的,或者說(shuō)離子可以看成是保持總體電中性的“背景”?;蛘哒f(shuō),把離子看成是“穩(wěn)態(tài)”的(,但是可以有)。將的近似帶入離子的方程,得到的是所謂電子磁流體(Electron MHD)模型。這個(gè)模型也是在電子和離子的運(yùn)動(dòng)分離的情況下得到的,適用于比Hall MHD模型更小的空間尺度和更快的時(shí)間尺度的問(wèn)題。1.4 理想磁流體(MHD)方程組如果不僅整體等離子體呈電中性,而且在非常小的局部也呈電中性,我們可以把這個(gè)局部取做流體元,則有。上面(I-04)的右邊等于零,而(I-02)的不同電荷粒子方程相加可以消去小尺度下(即流體元

8、)的電場(chǎng)。這樣可以在很多情況下使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化。這個(gè)圖像,我們稱為磁流體(magnetohydrodynamics, MHD)近似(或稱“磁流體力學(xué)”近似)。在這個(gè)近似下,宏觀的“大尺度”電場(chǎng)滿足的方程可以由(I-02)兩式之差(得到的Ohm定律)來(lái)計(jì)算。這一節(jié)里,我們?cè)敿?xì)討論這一近似。等離子體過(guò)程的時(shí)空尺度研究物理問(wèn)題時(shí)首要的是討論時(shí)空尺度。經(jīng)典的宏觀(大空間尺度)、低速(慢時(shí)間尺度)下的牛頓力學(xué)與相對(duì)論(快時(shí)間尺度)、量子力學(xué)(小空間尺度)的適用范圍就是典型例子。在等離子體中存在著很多的運(yùn)動(dòng)模式,我們無(wú)法、也沒(méi)有必要同時(shí)考慮所有這些運(yùn)動(dòng)模式。那么哪一種(或者幾種)運(yùn)動(dòng)模式是主導(dǎo)的、起著決定作

9、用的?要回答這個(gè)問(wèn)題,就要進(jìn)行時(shí)空尺度分析:我們關(guān)心的是哪個(gè)時(shí)空尺度下的物理問(wèn)題,在這個(gè)時(shí)空尺度下存在哪幾種運(yùn)動(dòng)模式?所以,對(duì)于等離子體這樣的存在大量運(yùn)動(dòng)模式的連續(xù)介質(zhì)來(lái)說(shuō),時(shí)空尺度分析尤其重要。磁流體(MHD)理論的基本假設(shè)磁流體理論本質(zhì)上來(lái)說(shuō)是一種與流體力學(xué)相類似的連續(xù)介質(zhì)的理論。因?yàn)榭紤]宏觀的大尺度問(wèn)題,其特征長(zhǎng)度(或)一般可以看成是所研究等離子體區(qū)域的大小,比如柱形等離子體的橫截面(的半徑)。而特征時(shí)間尺度(或者特征頻率)則可以用一個(gè)特征信號(hào)穿越這一尺度的時(shí)間來(lái)表征。這等于特征尺度與特征信號(hào)在等離子體這一介質(zhì)中傳播的速度之比。在流體理論里,這顯然是聲速,這里是質(zhì)量密度。但是在磁化等離子

10、體中,對(duì)于大尺度的MHD問(wèn)題來(lái)說(shuō),這一特征速度是所謂Alfvén速度。當(dāng)然,如果所研究的等離子體可以看成是一個(gè)驅(qū)動(dòng)(driven)系統(tǒng),那么其特征時(shí)間尺度應(yīng)該由驅(qū)動(dòng)頻率給出。磁流體(MHD)理論基于下列假設(shè):* 非相對(duì)論假設(shè): * 流體假設(shè): 1)局域熱力學(xué)平衡(局域Maxwellian分布)假設(shè): (要求較高碰撞頻率:壓強(qiáng)是標(biāo)量,);2)忽略有限Larmor 半徑(FLR)效應(yīng):,; 3)單流體(準(zhǔn)電中性)假設(shè)(即Debye球內(nèi)有大量粒子,也稱等離子體假設(shè)):,。我們會(huì)發(fā)現(xiàn),局域Maxwellian分布的假設(shè)對(duì)于“無(wú)碰撞”理想(ideal)等離子體(其平均自由時(shí)間)來(lái)說(shuō)的不是一個(gè)好

11、的假設(shè)。我們需要進(jìn)一步討論: 1) 粒子間“碰撞”(collision)和關(guān)聯(lián)(correlation)之間的關(guān)系,以及長(zhǎng)程碰撞的“集體”(collective)效應(yīng)和短程碰撞之間的關(guān)系; 2) 以及導(dǎo)向中心理論的回旋動(dòng)理學(xué)(gyrokinetic)和漂移動(dòng)理學(xué)(drift-kinetic)近似。磁流體(MHD)方程組如果我們利用,定義小的等離子體元的“單流體”物理量:質(zhì)量密度:,流體速度,等離子體壓強(qiáng),等離子體電流,將(I-01)、(I-02)分別對(duì)不同電荷分量求和得到連續(xù)性方程,(I-08)動(dòng)量方程(并利用Ampere定律)。(I-09)而電子的動(dòng)量方程(I-02)(時(shí))可以寫成,這里包括

12、了電子自碰撞及電子離子碰撞;或者。這個(gè)方程我們一般稱為廣義Ohm定律,其中為經(jīng)典的等離子體Spitzer電阻率。一般來(lái)說(shuō)電流主要是電子攜帶的,可以忽略最后兩項(xiàng)得到常用的廣義Ohm定律。(I-10)所謂理想磁流體近似,在“無(wú)碰撞”近似下忽略方程右邊的電阻項(xiàng),在大尺度磁流體近似下忽略方程右邊其它各項(xiàng)(Hall電場(chǎng)項(xiàng)由離子慣性尺度、電子壓強(qiáng)梯度項(xiàng)由“離子聲回旋半徑”尺度、電子慣性項(xiàng)由電子慣性尺度表征),得到理想磁流體的Ohm定律。(I-11)帶入Fayraday定律(I-07)得到;(I-12)加上狀態(tài)方程,(I-13)我們得到完整的理想磁流體(ideal MHD)方程組(I-08-09),(I-1

13、2-13):共10個(gè)方程確定10個(gè)未知函數(shù),。這10個(gè)變量是在,這7個(gè)流體變量之外加上磁場(chǎng)。所以稱磁流體(MHD)。磁流體(MHD)方程組的守恒形式流體中物理量的守恒定律可以寫成的形式其中, 而是的“通量”。這個(gè)守恒定律的微觀形式是。則從MHD方程組出發(fā),對(duì)于數(shù)密度,(I-14)對(duì)于動(dòng)量密度,有, ,(I-15)對(duì)于能量(絕熱狀態(tài)下),有,。(I-16)1.5 位力定理對(duì)于一個(gè)有限系統(tǒng),如果可以達(dá)到平衡態(tài),則總的平均動(dòng)能和總的平均“位力”(virial)之間滿足關(guān)系。這個(gè)關(guān)系被稱為“位力定理”。對(duì)多粒子體系(量子的或經(jīng)典的)來(lái)說(shuō),這里說(shuō)的平衡是總的“力學(xué)平衡”;對(duì)統(tǒng)計(jì)力學(xué)體系來(lái)說(shuō),這個(gè)平衡指“

14、熱力學(xué)平衡”。這個(gè)定理在經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)里成立,我們這里需要討論這個(gè)定理對(duì)等離子體的應(yīng)用。在磁流體理論中,容易證明, 。則“位力定理”可以寫成。(I-17)這告訴我們保持等離子體平衡(力學(xué)的或熱力學(xué)的)唯一可能就是外加一個(gè)很大的、負(fù)的來(lái)平衡。這對(duì)應(yīng)于:(1)一個(gè)外加的勢(shì)場(chǎng)(勢(shì)阱),比如太陽(yáng)的自身引力場(chǎng)或者約束塵埃等離子體的外加負(fù)電場(chǎng)來(lái)提供;(2)或者外部線圈產(chǎn)生的外加磁場(chǎng)提供一個(gè)邊界(比如各種磁約束位形);(3)最簡(jiǎn)單的,一個(gè)容器的“硬壁”(hard wall)提供一個(gè)無(wú)窮高勢(shì)壘 。1.6 變分原理經(jīng)典力學(xué)中的變分原理變分原理是物理學(xué)的理論基礎(chǔ):(1)變分原理是物理規(guī)律更清晰、更普遍的形式,方便幾何方法的應(yīng)用(如Hamiltonian量的結(jié)構(gòu)、對(duì)稱性、度規(guī)等);(2)變分原理自然保證不變量的全域守恒性質(zhì);(3)是物理的和

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