高等數(shù)學——微分方程

1、第八章 常微分方程一、本章學習要求與內(nèi)容提要 （一）基本要求 1了解微分方程和微分方程的階、解、通解、初始條件與特解等概念.2掌握可分離變量的微分方程和一階線性微分方程的解法.3了解二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu).4掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法.5會求自由項為或，時的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解.6. 知道特殊的高階微分方程（，）的降階法.7會用微分方程解決一些簡單的實際問題.重點 微分方程的通解與特解等概念，一階微分方程的分離變量法，一階線性微分方程的常數(shù)變易法，二階線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)，二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的待定系數(shù)法。難點 一階微分方程的分離變量法，一階線性微分方程的常數(shù)

2、變易法，二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的待定系數(shù)法，高階微分方程的降階法，用微分方程解決一些簡單的實際問題.（二）內(nèi)容提要 微分方程的基本概念 微分方程的定義凡是含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程，稱為微分方程.未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程，未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程稱為偏微分方程.本書只討論常微分方程，簡稱微分方程. 微分方程的階、解與通解微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，稱為微分方程的階.如果把函數(shù)代入微分方程后，能使方程成為恒等式,則稱該函數(shù)為該微分方程的解.若微分方程的解中含有任意常數(shù)，且獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程的階數(shù)相同，則稱這樣的解為微分方程的通解. 初始條

3、件與特解用未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在某個特定點的值作為確定通解中任意常數(shù)的條件，稱為初始條件.滿足初始條件的微分方程的解稱為該微分方程的特解. 獨立的任意常數(shù)線性相關(guān)與線性無關(guān)設(shè)是定義在區(qū)間內(nèi)的函數(shù)，若存在兩個不全為零的數(shù)，使得對于區(qū)間內(nèi)的任一，恒有成立，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)線性相關(guān)，否則稱為線性無關(guān).顯然，函數(shù)線性相關(guān)的充分必要條件是在區(qū)間內(nèi)恒為常數(shù).如果不恒為常數(shù)，則在區(qū)間內(nèi)線性無關(guān).獨立的任意常數(shù) 在表達式 (,為任意常數(shù)) 中, ,為獨立的任意常數(shù)的充分必要條件為,線性無關(guān).2.可分離變量的微分方程定義 形如 的微分方程，稱為可分離變量的方程.該微分方程的特點是等式右邊可以分解成兩個函數(shù)之積，

4、其中一個僅是的函數(shù)，另一個僅是的函數(shù)，即分別是變量的已知連續(xù)函數(shù).求解方法 可分離變量的微分方程的求解方法,一般有如下兩步:第一步:分離變量 ，第二步:兩邊積分 .3. 線性微分方程 一階線性微分方程定義 形如. 的微分方程，稱為一階線性微分方程，其中都是的已知連續(xù)函數(shù)，“線性”是指未知函數(shù)和它的導(dǎo)數(shù)都是一次的.求解方法 一階線性微分方程的求解方法,一般有如下兩步:第一步：先用分離變量法求一階線性微分方程所對應(yīng)的齊次線性微分方程的通解.第二步：設(shè)為一階線性微分方程的解,代入該方程后,求出待定函數(shù).第三步: 將代入中,得所求一階線性微分方程的通解.注意 只要一階線性微分方程是的標準形式,則將代入

5、一階線性微分方程后,整理化簡后,必有,該結(jié)論可用在一階線性微分方程的求解過程中,以簡化運算過程.一階線性微分方程的求解公式 (其中為任意常數(shù)).二階常系數(shù)齊次線性微分方程定義形如 的微分方程（其中均為已知常數(shù)，稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程. 求解方法 求解二階常系數(shù)齊次線性微分方程,一般分為如下三步:第一步 寫出方程的特征方程 ，第二步 求出特征方程的兩個特征根 ,，第三步 根據(jù)下表給出的三種特征根的不同情形，寫出的通解.有兩個不同特征實根有兩個相同特征實根有一對共軛復(fù)根 i 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程定義形如 的微分方程（其中均為已知常數(shù)），稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程. 求解方法

6、求解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程, 一般分為如下三步:第一步 先求出非齊次線性微分方程所對應(yīng)的齊次線性微分方程方程的通解;第二步 根據(jù)下表設(shè)出非齊次線性微分方程的含待定常數(shù)的特解,并將代入非齊次線性微分方程解出待定常數(shù),進而確定非齊次方程的一個特解; 第三步 寫出非齊次線性微分方程的通解.方程的特解的形式表自由項的形式特解的形式的設(shè)法不是特征根是特征單根是二重特征根或令,構(gòu)造輔助方程=求出輔助方程的特解則是方程特解是方程 特解注: 表中的為已知的次多項式，為待定的次多項式，如 （為待定常數(shù)）.4. 二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)1 二階齊次線性微分方程解的疊加原理如果函數(shù)和是齊次線性微分方程的兩個解

7、，則函數(shù)也是方程的解；且當與線性無關(guān)時， 就是方程的通解（其中是任意常數(shù)）. 非齊次線性微分方程解的疊加原理如果函數(shù)為非齊次線性微分方程的一個特解，為齊次線性微分方程的通解，則為該非齊次線性微分方程的通解. 非齊次線性微分方程解的分離定理如果是方程的解，是方程的解，則是方程 的解.5.高階微分方程的降階法方程的形式引入的形式降階后的方程設(shè)設(shè)則對方程兩邊逐次積分次，即可得到該方程的通解二、主要解題方法1一階微分方程的解法例1 求微分方程 滿足條件的特解.解 這是可以分離變量的微分方程，將方程分離變量，有 ，兩邊積分，得 ，求積分得 ，記 ，得方程的解 .可以驗證 時，它們也是原方程的解，因此，式

8、中的可以為任意常數(shù)，所以原方程的通解為 （為任意常數(shù)）.代入初始條件 得 ，所以特解為 .例2 求微分方程（1），（2） 的通解.（1）解一 原方程可化為 ，令 ，則 ，即 ，兩邊取積分 ，積分得 ，將代入原方程，整理得原方程的通解為 （為任意常數(shù)）.解二 原方程可化為 為一階線性微分方程，用常數(shù)變易法.解原方程所對應(yīng)的齊次方程 ，得其通解為 .設(shè)為原方程的解，代入原方程，化簡得 ，所以原方程的通解為 ，即 （為任意常數(shù)）.（2）解一 原方程對應(yīng)的齊次方程 分離變量，得，兩邊積分，得，用常數(shù)變易法.設(shè)代入原方程，得 ，故原方程的通解為 （為任意常數(shù)）.解二 這里，代入通解的公式得 =（為任意常

9、數(shù)）.小結(jié) 一階微分方程的解法主要有兩種：分離變量法，常數(shù)變易法.常數(shù)變易法主要適用線性的一階微分方程，若方程能化為標準形式 ，也可直接利用公式 ）求通解.2 可降階的高階微分方程例3 求微分方程 的通解.解 方程中不顯含未知函數(shù)，令，代入原方程，得 ，這是關(guān)于未知函數(shù)的一階線性微分方程，代入常數(shù)變易法的通解公式，所以） =）=）=）=，由此 =，=，因此，原方程的通解為 = （為任意常數(shù)）.例4 求微分方程 滿足初始條件，的特解.解 方程不顯含，令 ，則方程可化為 ，當 時 ，于是 .根據(jù) ，知 代入上式，得 ，從而得到 ，積分得 ，再由，求得 ，于是當時，原方程滿足所給初始條件的特解為 ，

10、當時，得(常數(shù))，顯然這個解也滿足方程，這個解可包含在解中.故原方程滿足所給初始條件的特解為，即 .3 二階常系數(shù)線性齊次微分方程的求解方法例5 求微分方程的通解.解 原方程對應(yīng)的特征方程為 ，=，（1） 當，即 或時，特征方程有兩個不相等的實根 ，故原方程的通解為.（2） 當，即或時，特征方程有兩個相等的實根 ，故原方程的通解為 . （3）當，即 時，特征方程有兩個共軛復(fù)根 ，故原方程的通解為.4二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的求解方法例6 求微分方程 滿足初始條件，的特解.解 對應(yīng)齊次方程的特征方程為 ，特征根 故對應(yīng)齊次微分方程的通解為 .因為是特征方程的單根，所以設(shè)特解為 ，代入原方程得

11、 ，比較同類項系數(shù)得 ，從而原方程的特解為 ，故原方程的通解為 ，由初始條件 時，得 從而，.因此滿足初始條件的特解為 .例7 求微分方程 的通解.解 對應(yīng)的齊次微分方程的特征方程 ，特征根 .于是所對應(yīng)的齊次微分方程通解為為了求原方程的一個特解,先求（）的特解.由于是特征方程的單根，且是零次多項式。所以設(shè)特解為 ，代入原方程，化簡得,比較同類項系數(shù)，得 ，.所以，方程（）的特解為=,其虛部即為所求原方程的特解 .因此原方程通解為.小結(jié) 在設(shè)微分方程 的特解時，必須注意把特解設(shè)全.如：，那么 ，而不能設(shè).另外，微分方程的特解都是滿足一定初始條件的解，上面所求的特解一般不會滿足題設(shè)初始條件，因此

12、需要從通解中找出一個滿足該初始條件的特解.5 用微分方程解決實際問題的方法例8 已知某曲線經(jīng)過點，它的切線在縱軸上的截距等于切點的橫坐標，求它的方程.解 設(shè)所求曲線方程為 ，為其上任一點，則過點的曲線的切線方程為 ，由假設(shè)，當時 ，從而上式成為 .因此求曲線的問題，轉(zhuǎn)化為求解微分方程的定解問題 ，的特解.由公式 ，得=，代入得 ，故所求曲線方程為 .例9 一質(zhì)量為的質(zhì)點由靜止開始沉入液體，當下沉時，液體的反作用力與下沉速度成正比，求此質(zhì)點的運動規(guī)律.解 設(shè)質(zhì)點的運動規(guī)律為.由題意，有 （為比例系數(shù)）方程變?yōu)?，齊次方程的特征方程為 ， ，.故原方程所對應(yīng)的齊次方程的通解為 ，因是特征單根，故可

13、設(shè) ，代入原方程，即得 ，故，所以原方程的通解,由初始條件得 ，因此質(zhì)點的運動規(guī)律為 .小結(jié) 用微分方程解決實際問題，包括建立微分方程，確定初始條件和求解方程這幾個主要步驟.由于問題的廣泛性，一般建立微分方程要涉及到許多方面的知識，如幾何、物理等. 三、學法建議1本章重點為微分方程的通解與特解等概念，一階微分方程的分離變量法，一階線性微分方程的常數(shù)變易法，二階線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)，二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的待定系數(shù)法.2 本章中所講的一些微分方程，它們的求解方法和步驟都已規(guī)范化，要掌握這些求解法，讀者首先要善于正確地識別方程的類型，所以必須熟悉本課程中講了哪些標準型，每種標準型有什么特征，以便“