高一數(shù)學(xué)平面向量一李君浩1

1、環(huán) 球 雅 思 教 育 學(xué) 科 教 師 講 義講義編號(hào)： _ 副校長(zhǎng)/組長(zhǎng)簽字： 簽字日期： 學(xué) 員 編 號(hào) ： 年 級(jí) ：高一 課 時(shí) 數(shù) ：3學(xué) 員 姓 名 ：劉程程 輔 導(dǎo) 科 目 ：數(shù)學(xué) 學(xué) 科 教 師 ：李君浩課 題平面向量的概念和線(xiàn)性運(yùn)算授課日期及時(shí)段教 學(xué) 目 的了解向量的實(shí)際背景，理解向量的幾何含義，理解向量的加減，數(shù)乘運(yùn)算，并理解其幾何意義，理解向量共線(xiàn)的含義。重 難 點(diǎn)理解并掌握向量，零向量，單位向量，相等向量，共線(xiàn)向量的幾何含義，平行向量，共線(xiàn)向量，相等向量的聯(lián)系和區(qū)別【考綱說(shuō)明】1. 熟練掌握向量的加法，減法，并理解其幾何意義。2. 掌握向量的數(shù)乘運(yùn)算及其意義，理解兩個(gè)

2、向量共線(xiàn)的意義。3. 理解向量線(xiàn)性運(yùn)算及其幾何意義?！救の舵溄印渴噶浚ㄓ⒄Z(yǔ)：vector）是數(shù)學(xué)、物理學(xué)和工程科學(xué)等多個(gè)自然科學(xué)中的基本概念，指一個(gè)同時(shí)具有大小和方向的幾何對(duì)象，因常常以箭頭符號(hào)標(biāo)示以區(qū)別于其它量而得名。直觀上，矢量通常被標(biāo)示為一個(gè)帶箭頭的線(xiàn)段（如右圖）。線(xiàn)段的長(zhǎng)度可以表示矢量的大小，而矢量的方向也就是箭頭所指的方向。物理學(xué)中的位移、速度、力、動(dòng)量、磁矩、電流密度等，都是矢量。與矢量概念相對(duì)的是只有大小而沒(méi)有方向的標(biāo)量。在數(shù)學(xué)中，矢量也常稱(chēng)為向量，即有方向和大小的量，并采用更為抽象的矢量空間（也稱(chēng)為線(xiàn)性空間）來(lái)定義，而定義具有物理意義上的大小和方向的向量概念則需要引進(jìn)了范數(shù)和內(nèi)

3、積的歐幾里得空間?！局R(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：向量的概念1向量:既有大小又有方向的量叫做向量.2向量的表示方法:(1)字母表示法:如等.(2)幾何表示法:用一條有向線(xiàn)段表示向量.如等. (3)向量的有關(guān)概念 向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用來(lái)表示向量的有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度). 零向量:長(zhǎng)度為零的向量叫零向量. 單位向量:長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量. 相等向量:長(zhǎng)度相等且方向相同的向量. 相反向量: 長(zhǎng)度相等且方向相反的向量. 共線(xiàn)向量:方向相同或相反的非零向量，叫共線(xiàn)向量(共線(xiàn)向量又稱(chēng)為平行向量). 規(guī)定:與任一向量共線(xiàn).要點(diǎn)詮釋?zhuān)?數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大

4、??； 向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小.2零向量的方向是任意的，注意0與0的含義與書(shū)寫(xiě)區(qū)別.3平行向量可以在同一直線(xiàn)上，要區(qū)別于兩平行線(xiàn)的位置關(guān)系；共線(xiàn)向量可以相互平行，要區(qū)別于在 同一直線(xiàn)上的線(xiàn)段的位置關(guān)系.知識(shí)點(diǎn)二：向量的加(減)法運(yùn)算1運(yùn)算法則：三角形法則、平行四邊形法則2運(yùn)算律：交換律：；結(jié)合律：要點(diǎn)詮釋?zhuān)?兩個(gè)向量的和與差仍是一個(gè)向量，可用平行四邊形或三角形法則進(jìn)行運(yùn)算，但要注意向量的起點(diǎn)與 終點(diǎn).2.探討該式中等號(hào)成立的條件，可以解決許多相關(guān)的問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)三：數(shù)乘向量1實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作：(1)；(2)當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同； 當(dāng)時(shí).的方向與的方

5、向相反； 當(dāng)時(shí)，.2運(yùn)算律設(shè)為實(shí)數(shù)結(jié)合律：； 分配律：，3共線(xiàn)向量基本定理 非零向量與向量共線(xiàn)的充要條件是當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)非零實(shí)數(shù)，使.要點(diǎn)詮釋?zhuān)菏桥卸▋蓚€(gè)向量共線(xiàn)的重要依據(jù)，其本質(zhì)是位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的高度統(tǒng)一.三、規(guī)律方法指導(dǎo)1.向量的線(xiàn)性運(yùn)算(1)在正確掌握向量加法減法運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上能結(jié)合圖形進(jìn)行向量的計(jì)算，將數(shù)和形有機(jī)結(jié)合，并能 利用向量運(yùn)算完成簡(jiǎn)單的幾何證明；(2)向量的加法表示兩個(gè)向量可以合成，利用它可以解決有關(guān)平面幾何中的問(wèn)題，減法的三角形法則應(yīng) 記住:連接兩端(兩向量的終點(diǎn))，指向被減(箭頭指向被減數(shù)).記清法則是靈活運(yùn)用的前提.2.共線(xiàn)向量與三點(diǎn)

6、共線(xiàn)問(wèn)題向量共線(xiàn)的充要條件實(shí)質(zhì)上是由實(shí)數(shù)與向量的積得到的.通常用來(lái)判斷三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上或兩直線(xiàn)平行.該定理主要用于證明點(diǎn)共線(xiàn)、求系數(shù)、證直線(xiàn)平行等題型問(wèn)題.類(lèi)型一：向量的基本概念1判斷下列各命題是否正確：(1)若，則；(2)若A、B、C、D是不共線(xiàn)的四點(diǎn)，則是四邊形為平行四邊形的充要條件；(3)若，則(4)兩向量相等的充要條件是且.思路點(diǎn)撥：相等向量即為長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.解析：(1)不正確，兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等，但它們的方向不一定相同，因此由推不出.(2)正確，且.又A、B、C、D是不共線(xiàn)的四點(diǎn)，四邊形是 平行四邊形，則且與方向相同.因此.(3)正確，的長(zhǎng)度相等且方向相同；又的長(zhǎng)度相等

7、且方向相同，的 長(zhǎng)度相等且方向相同.故.(4)不正確，當(dāng)?shù)较蛳喾磿r(shí)，即使，也不能得到，故不是 的充要 條件.總結(jié)升華：我們應(yīng)該清醒的認(rèn)識(shí)到，兩個(gè)非零向量相等的充要條件應(yīng)是長(zhǎng)度相等且方向相同，向量相等是可傳遞的.復(fù)習(xí)向量時(shí)，要注意將向量與實(shí)數(shù)、向量與線(xiàn)段、向量運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算區(qū)別開(kāi)來(lái).舉一反三：【變式1】下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是( )向量，則直線(xiàn)直線(xiàn)兩個(gè)向量當(dāng)且僅當(dāng)它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同時(shí)才相等；向量既是有向線(xiàn)段；在平行四邊形中，一定有.A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)【答案】C類(lèi)型二：向量的線(xiàn)性運(yùn)算2如圖所示，的兩條對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)，且用表示思路點(diǎn)撥：利用三角形法則和數(shù)乘運(yùn)算，用向量法討論

8、幾何問(wèn)題，關(guān)鍵是選取適當(dāng)?shù)幕蛄勘硎酒渌蛄?，本題的基底就是，由它可以“生”成.解析：在中總結(jié)升華：用已知向量來(lái)表示另外一些向量是用向量解題的基本功，除利用向量加、減法、數(shù)乘向量外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理，因此在求向量時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的基本向量或首尾相連的向量，運(yùn)用向量加、減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算來(lái)求解，既充分利用相等向量、相反向量和線(xiàn)段的比例關(guān)系，運(yùn)用加法三角形、平行四邊形法則，運(yùn)用減法三角形法則，充分利用三角形的中位線(xiàn)，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來(lái)求解.舉一反三：【變式1】如圖，中，點(diǎn)是的中點(diǎn)

9、，點(diǎn)在邊上，且，與相交于點(diǎn)，求的值.【答案】解：(如圖)設(shè)則 和分別共線(xiàn)，存在使故 ，而由基本定理得 即 類(lèi)型三：共線(xiàn)向量與三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題3設(shè)兩非零向量和不共線(xiàn)，(1)如果求證三點(diǎn)共線(xiàn).(2)試確定實(shí)數(shù)，使和共線(xiàn).思路點(diǎn)撥：要證明三點(diǎn)共線(xiàn)，須證存在使即可.而若和共線(xiàn)，則一定存在，使.解析：(1)證明 共線(xiàn)，又有公共點(diǎn)， 三點(diǎn)共線(xiàn).(2)解 和 共線(xiàn)，存在，使，則由于 和不共線(xiàn)，只能有 則.總結(jié)升華：本題充分地運(yùn)用了向量共線(xiàn)的充要條件，即共線(xiàn)存在使(正用與逆用)舉一反三：【變式1】設(shè)和是兩個(gè)不共線(xiàn)的非零向量，若向量，試證明：A、C、D三點(diǎn)共線(xiàn).證明： 又與共線(xiàn)，A、C、D三點(diǎn)共線(xiàn).類(lèi)型四：綜合應(yīng)用

10、4在中，分別為三邊上的動(dòng)點(diǎn)，且在時(shí)，分別從A，B，C出發(fā)，各以一定的速度沿各邊向B，C，A移動(dòng)，當(dāng)t=1時(shí)，分別到達(dá)B，C，A，求證：在的任何一時(shí)刻t，的重心為G.解析：設(shè)的重心為G.由已知點(diǎn)D，E，F(xiàn)在邊AB，BC，CA上的速度分別是在任意時(shí)刻時(shí)，有 又為一確定向量. 的重心不變.總結(jié)升華：熟練地進(jìn)行向量的線(xiàn)性運(yùn)算是解決本題的關(guān)鍵，另外中設(shè)重心為G，則應(yīng)該熟練記憶并靈活運(yùn)用.舉一反三：【變式1】如圖，已知點(diǎn)分別是三邊的中點(diǎn)，求證：.【答案】證明：連結(jié).因?yàn)榉謩e是三邊的中點(diǎn)，所以四邊形為平行四邊形.由向量加法的平行四邊形法則，得(1)，同理在平行四邊形中，(2)，在平行四邊形在中，(3)將(1

11、)(2)(3)相加，得.【經(jīng)典例題】1.下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)為( )方向相同 方向相反有相等的模方向相同A.0B.1C.2D.32.在中，已知是邊上一點(diǎn)，則( )A. B. C. D.3.設(shè)是兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，則向量與向量共線(xiàn)的充要條件是( )A.k=0 B.k=1 C.k=2 D.k=4.已知正方形ABCD邊長(zhǎng)為1，則的模等于()A.0 B.3 C. D.5.兩個(gè)非零向量相等是兩個(gè)向量相等的_條件.6.如圖所示，已知一點(diǎn)O到平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的向量為，則=_.7.若非零向量、滿(mǎn)足-=，則( )A.2-2 B.2-2C.22- D.22-8.設(shè)是兩個(gè)不共線(xiàn)向量，則向量與

12、向量共線(xiàn)的充要條件是_.9.一條漁船距對(duì)岸4km，以2km/h速度向垂直于對(duì)岸的方向劃去，到達(dá)對(duì)岸時(shí)，船的實(shí)際航程為8km，求河水的流速.10.如圖，D、E是ABC中AB、AC的中點(diǎn)，M、N分別是DE、BC的中點(diǎn)，已知，試用分別表示.【課堂練習(xí)】下面的幾個(gè)命題：若；長(zhǎng)度不等且方向相反的兩向量不一定是共線(xiàn)向量；若滿(mǎn)足且與同向，則；由于方向不定，故不能與任何向量平行；對(duì)于任意向量必有.其中正確命題的序號(hào)是：( )A. B. C. D.2.在正六邊形ABCDEF中，O為其中心，則A. B. C. D.3.如圖所示，D、E、F分別是ABC的邊AB、BC、CA的中點(diǎn)，則=( )A. B. C. D.4.

13、若是不共線(xiàn)的任意三點(diǎn)，則以下各式中成立的是( )A. B. C.D.5.如圖，在平行四邊形ABCD中，M、N分別是DC、BC中點(diǎn)，已知，用表示=_，_.【課后作業(yè)】1.已知向量，且則一定共線(xiàn)的三點(diǎn)是( )A.A、B、D B.A、B、C C.B、C、D D.A、C、D2.已知?jiǎng)t是A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成三角形的( )A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D既不充分也不必要條件3.已知向量若與共線(xiàn)，則( )A. B. C. D.或4.若則(用表示)5.已知在ABC中，D、E、F分別是BC、CA、AB的中點(diǎn)，求證：(1)；(2)； (3).6.已知OAB中，點(diǎn)C是以A為中心的B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，D是將分成2：1的一個(gè)內(nèi)分點(diǎn)，DC與OA交于E，設(shè).(1)用與表示；(2)若，求實(shí)數(shù)的值.7.(2006上海理)如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）ABCD（