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1、阿波羅尼斯圓及其應(yīng)用數(shù)學(xué)理論1. “阿波羅尼斯圓”：在平面上給定兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在同一平面上且滿足當(dāng)且時(shí)，點(diǎn)的軌跡是個(gè)圓，稱之為阿波羅尼斯圓。（時(shí)點(diǎn)的軌跡是線段的中垂線）2. 阿波羅尼斯圓的證明及相關(guān)性質(zhì)定理：為兩已知點(diǎn)，分別為線段的定比為的內(nèi)外分點(diǎn)，則以為直徑的圓上任意點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之比為證 （以為例）設(shè)，則.由相交弦定理及勾股定理知于是而同時(shí)在到兩點(diǎn)距離之比等于的曲線（圓）上，不共線的三點(diǎn)所確定的圓是唯一的，因此，圓上任意一點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之比恒為性質(zhì)1.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓外； 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓外。性質(zhì)2.因，過(guò)是圓的一條切線。 若已知圓及圓O外一點(diǎn)，可以作出與之對(duì)應(yīng)的點(diǎn)反之亦然。性質(zhì)3

2、.所作出的阿波羅尼斯圓的直徑為，面積為性質(zhì)4.過(guò)點(diǎn)作圓的切線為切點(diǎn)），則分別為的內(nèi)、外角平分線。性質(zhì)5.過(guò)點(diǎn)作圓不與重合的弦則平分?jǐn)?shù)學(xué)應(yīng)用1. （03北京春季）設(shè)為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之比為定值求點(diǎn)的軌跡.2. （05江蘇）圓和圓的半徑都是1，過(guò)動(dòng)點(diǎn)分別作圓和圓的切線分別為切點(diǎn)），使得，試建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.3. （06四川）已知兩定點(diǎn)如果動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡所圍成的圖形的面積是_.4. (08江蘇)滿足條件的面積的最大值是_.5.在等腰中，是腰上的中線，且則面積的最大值是_.6. 已知是圓上任意一點(diǎn)，問(wèn)在平面上是否存在一點(diǎn)，使得若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.變式：已知圓，問(wèn)在軸上是否存在點(diǎn)和點(diǎn)，使得對(duì)于圓上任意一點(diǎn)，都有若存在，求出坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.7. 在中，是的平分

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