配套習(xí)題及答案

1、第二講 配套習(xí)題及答案1.若效用函數(shù)現(xiàn)為：其他條件與實(shí)例中給出的相同，試分別求分散經(jīng)濟(jì)與計(jì)劃經(jīng)濟(jì)的最優(yōu)解。計(jì)劃者目標(biāo)函數(shù)為：代約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù)，可以得到無(wú)約束的最大化問(wèn)題：一階條件為：求解可得：代n*進(jìn)生產(chǎn)函數(shù)可得：企業(yè)利潤(rùn)函數(shù)為：企業(yè)利潤(rùn)最大化的一階條件為：利用這兩個(gè)一階條件可以取得均衡的價(jià)格解，為：2.假設(shè)行為人的效用函數(shù)如下：， 其中c是行為人的消 費(fèi)，l是行為人每天用于閑暇的時(shí)間。行為人每天的時(shí)間除了用于閑暇，就是用于工作，但他既可以為自己工作也可以為別人工作。他為自己工作時(shí)的產(chǎn)出函數(shù)為，其中ns為用于自己工作的時(shí)間。 如果他為別人工作，每小時(shí)得到的報(bào)酬是工資，記為w（當(dāng)然是用消費(fèi)品

2、衡量的）。試寫(xiě)出該行為人的最優(yōu)化問(wèn)題，并求解之。代約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù)，分別對(duì)l和ns兩個(gè)變量求一階導(dǎo)數(shù)，并令其為零，有：求解上述聯(lián)立方程，可得：3.考慮一個(gè)具有如下代表性行為人的模型。代表性消費(fèi)者的效用函數(shù)如下：其中，c是消費(fèi)，l是閑暇，且 消費(fèi)者擁有一單位的時(shí)間稟賦和k0單位的資本。代表性企業(yè)生產(chǎn)消費(fèi)品的技術(shù)由如下的生產(chǎn)函數(shù)來(lái)表示：其中，y是產(chǎn)出，A是全要素生產(chǎn)率，k是資本投入，n是勞動(dòng)投入，且記w為市場(chǎng)的實(shí)際工資，r為資本的租金率。a.試求解實(shí)現(xiàn)競(jìng)爭(zhēng)均衡時(shí)的所有價(jià)格和數(shù)量。b.試分析全要素生產(chǎn)率A的一個(gè)變化會(huì)對(duì)消費(fèi)、產(chǎn)出、就業(yè)、實(shí)際工資以及資本租金率產(chǎn)生怎樣的影響。解：a.第一步，分析消費(fèi)

3、者行為：代約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù)，可轉(zhuǎn)化為無(wú)約束的最大化問(wèn)題。對(duì)l求一階導(dǎo)數(shù)，并令其為零，可得：第二步，分析企業(yè)的行為：根據(jù)市場(chǎng)出清條件，可得如下方程組：求解得：第三步，全部均衡解：或者，考慮計(jì)劃經(jīng)濟(jì)情形：代約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù)，可轉(zhuǎn)化為無(wú)約束的最大化問(wèn)題：對(duì)l求一階導(dǎo)數(shù)，并令其為零，可得：解得：b. 說(shuō)明：閑暇將隨技術(shù)進(jìn)步而減少，因而就業(yè)將隨技術(shù)進(jìn)步而增加；產(chǎn)出、消費(fèi)和資本租金率將隨技術(shù)進(jìn)步而上升；實(shí)際工資不會(huì)隨技術(shù)進(jìn)步的變化而變化。4.考慮一個(gè)如下的含有政府的代表性行為人的經(jīng)濟(jì)。消費(fèi)者的偏好由如下的效用函數(shù)代表：這里，c是消費(fèi)；l是閑暇；g是政府購(gòu)買(mǎi)，,0；消費(fèi)者擁有一單位的時(shí)間稟賦。私人消費(fèi)品

4、的生產(chǎn)技術(shù)如下：這里，y是產(chǎn)出，n是勞動(dòng)投入，z0，假設(shè)政府通過(guò)向消費(fèi)者征收一個(gè)總額稅來(lái)為自己的購(gòu)買(mǎi)融資。（1）對(duì)于一個(gè)給定的g，試求均衡時(shí)的消費(fèi)、產(chǎn)出和就業(yè)。證明這些均衡數(shù)量是帕累托最優(yōu)的。（2）試分析當(dāng)政府購(gòu)買(mǎi)發(fā)生變化時(shí)，這些均衡數(shù)量會(huì)受到怎樣的影響。平衡預(yù)算乘數(shù)時(shí)大于1還是小于1，解釋之。 （3）現(xiàn)在假設(shè)政府是一個(gè)“仁慈”的政府，它將選擇一個(gè)最優(yōu)的g。也就是說(shuō)，政府將選擇一個(gè)合適的g去最大化代表性行為人的福利。試求解最優(yōu)水平的政府購(gòu)買(mǎi)數(shù)量。解：（1）在給定g, 0時(shí)，消費(fèi)者的最優(yōu)規(guī)劃問(wèn)題可以表述如下：代約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為無(wú)約束的極值問(wèn)題：該最大化問(wèn)題的一階條件為：利用這一一階

5、條件，可以求得消費(fèi)者的閑暇需求函數(shù)：利用閑暇的需求函數(shù)，再加上消費(fèi)者的時(shí)間約束和預(yù)算約束，我們可以進(jìn)一步求得消費(fèi)者的勞動(dòng)供給和消費(fèi)需求函數(shù)：可以注意到，閑暇和消費(fèi)都是都是隨總額稅的增加而減少的，這確保在我們假設(shè)的效用函數(shù)下，這兩種商品都是正常商品。也可以注意到，閑暇和消費(fèi)都隨w的增加而增加，這意味著在我們的模型中，相對(duì)于收入效應(yīng)而言，替代效應(yīng)是占主導(dǎo)地位的。從企業(yè)的利潤(rùn)最大化問(wèn)題中，我們能得到：w=z競(jìng)爭(zhēng)均衡的定義要求政府的預(yù)算要平衡：g=代這些表達(dá)式進(jìn)入消費(fèi)者的閑暇和消費(fèi)需求函數(shù)中，可以得到如下的競(jìng)爭(zhēng)均衡數(shù)量：注意，當(dāng)我們把消費(fèi)者的時(shí)間預(yù)算代進(jìn)其預(yù)算約束的時(shí)候，我們已經(jīng)運(yùn)用了勞動(dòng)市場(chǎng)的出清條

6、件，n=1-l。利用或者商品市場(chǎng)出清條件，c+g=y，或者生產(chǎn)函數(shù)，y=zn，并與上述均衡數(shù)量相結(jié)合，可以求得均衡產(chǎn)量：給定時(shí)，g0我們可以借助如下的社會(huì)計(jì)劃者最優(yōu)問(wèn)題來(lái)求得帕累托最優(yōu)的均衡數(shù)量：代約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為無(wú)約束的極值問(wèn)題：該最大化問(wèn)題的一階條件為：利用該一階條件，可以求得消費(fèi)者的閑暇需求函數(shù)：利用閑暇的需求函數(shù)，再加上消費(fèi)者的時(shí)間約束、生產(chǎn)函數(shù)和資源約束，我們可以進(jìn)一步求得如下的均衡數(shù)量：因?yàn)檫@些解與上面我們已經(jīng)推導(dǎo)出來(lái)的競(jìng)爭(zhēng)均衡數(shù)量是相同的，因此，競(jìng)爭(zhēng)均衡分配是帕累托最優(yōu)的分配。在這一例子中，之所以?xún)烧叩慕Y(jié)果相同是因?yàn)榭傤~稅并不會(huì)產(chǎn)生扭曲效應(yīng)。（2）因?yàn)樵陬}（1）中我

7、們已經(jīng)求得均衡數(shù)量解，因而，我們之需要簡(jiǎn)單地讓這些均衡解對(duì)g求全導(dǎo)數(shù)，就可以得到結(jié)論：可以注意到，平衡預(yù)算乘數(shù)是小于1的。因?yàn)?+，所以， （回憶：政府預(yù)算約束=g必須成立，因而，g的任何一個(gè)變化一定對(duì)應(yīng)著的一個(gè)的相同變化：d=dg。因此，我們有“平衡預(yù)算乘數(shù)”這一名詞。）也可以注意到，擠出是不完全的：因?yàn)?gt;0，所以（3）為了確定最優(yōu)水平的政府購(gòu)買(mǎi)數(shù)量，政府在給定行為人對(duì)g變化的最優(yōu)反應(yīng)的基礎(chǔ)上通過(guò)選擇一個(gè)合適的g來(lái)最大化代表性行為人的福利。我們可以把在題（1）中求得的行為人的決策規(guī)則看成是一個(gè)g的函數(shù)：c=c(g)和l=l(g)。這些函數(shù)告訴我們行為人的最優(yōu)選擇c和l是如何隨著g的變化

8、而變化的。政府的最優(yōu)化問(wèn)題可以描述如下：或者，等價(jià)地：一階條件如下：或者注意，方程（1）的左邊代表的是政府購(gòu)買(mǎi)的邊際成本。這些成本是借助純財(cái)富效應(yīng)通過(guò)減少消費(fèi)和閑暇的形式實(shí)現(xiàn)的。方程（1）的右邊代表的是政府購(gòu)買(mǎi)的邊際收益。因此，最優(yōu)的g平衡著政府購(gòu)買(mǎi)的邊際收益和邊際成本。注意到邊際成本隨著g的增加而增加，而邊際收益則隨著g的增加而減少。求解（1）式可以得到最優(yōu)的政府購(gòu)買(mǎi)水平：5.考慮一個(gè)具有和題1相同的偏好和生產(chǎn)技術(shù)的代表性行為人經(jīng)濟(jì)。假設(shè)現(xiàn)在政府通過(guò)向消費(fèi)者的勞動(dòng)收入征收比例稅來(lái)為自己的購(gòu)買(mǎi)進(jìn)行融資。讓t代表稅率，因而政府的總稅收收入等于tw(1-l)，這里， w是實(shí)際工資。（1）寫(xiě)出政府的

9、預(yù)算約束。（2）對(duì)于給定的g，試求競(jìng)爭(zhēng)均衡中的消費(fèi)、產(chǎn)出和就業(yè)。討論這一均衡是否是帕累托最優(yōu)均衡。（3）證明競(jìng)爭(zhēng)均衡的最優(yōu)數(shù)量將隨著g的變化而變化。（4）求解實(shí)現(xiàn)福利最大化的政府購(gòu)買(mǎi)g的水平。這里的答案為什么與在題1中征總額稅時(shí)的答案不同？請(qǐng)解釋之。解：（1）政府的預(yù)算約束是政府購(gòu)買(mǎi)等于稅收收入：（2）由于稅收扭曲的存在，我們不能用社會(huì)計(jì)劃者的最優(yōu)問(wèn)題去求解競(jìng)爭(zhēng)均衡。在給定g, >0時(shí)，消費(fèi)者的最優(yōu)規(guī)劃問(wèn)題可描述如下：代約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為無(wú)約束的極值問(wèn)題：該最大化問(wèn)題的一階條件為：利用該一階條件，可以求得消費(fèi)者的閑暇需求函數(shù)：可以注意到該表達(dá)式與稅后實(shí)際工資無(wú)關(guān)。在這種情形下

10、，替代效應(yīng)在數(shù)值上等于收入效應(yīng)，因此正好相互抵消。代閑暇的需求函數(shù)進(jìn)預(yù)算約束方程，我們可以進(jìn)一步求得消費(fèi)者的消費(fèi)需求函數(shù)：可以注意到消費(fèi)與稅后收入成正比關(guān)系。因此，消費(fèi)將隨稅率的提高而下降。從企業(yè)的最大化問(wèn)題中，我們可以得到：w=z市場(chǎng)出清條件是：n=1-l,c+g=y(=zn)因此，競(jìng)爭(zhēng)均衡的數(shù)量解將由如下的表達(dá)式給出：我們?cè)诘谝活}的（1）部分已經(jīng)求得帕累托最優(yōu)的數(shù)量解。通過(guò)對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)只有在g=0時(shí)兩個(gè)解才一致。只要g>0，競(jìng)爭(zhēng)均衡分配將總是次優(yōu)的。（3）注意，在這種情況下，擠出效應(yīng)是完全的：（4）政府的最優(yōu)化問(wèn)題能描述如下：這里，c(g)和l(g)代表了競(jìng)爭(zhēng)均衡的數(shù)量（我們已經(jīng)在

11、（2）中求得）。代入c(g)和l(g)的表達(dá)式，可以得到政府的最優(yōu)化問(wèn)題：或者，更簡(jiǎn)潔地：一階條件如下：再一次，可以注意到，方程（3）的左邊代表的是政府購(gòu)買(mǎi)的邊際成本。方程（3）的右邊代表的是政府購(gòu)買(mǎi)的邊際收益。求解（3）式可以得到最優(yōu)的政府購(gòu)買(mǎi)水平：比較表達(dá)式（4）和第一題中的表達(dá)式（2），我們可以看到在目前的情形下，政府的購(gòu)買(mǎi)水平更?。ㄒ?yàn)?gt;0）。也就是說(shuō)，最優(yōu)水平的 g在征總額稅時(shí)要比在征比例稅時(shí)來(lái)得大。因?yàn)?，在征比例稅時(shí)，稅 收將對(duì)勞動(dòng)供給和消費(fèi)需求產(chǎn)生一個(gè)扭曲效應(yīng)。而這些額外的成本是伴隨著政府的行為而產(chǎn)生的，因此，g自然會(huì)下降。比較（1）和（3）式可以發(fā)現(xiàn)，在g給定時(shí)，在征比例

12、稅時(shí)，政府活動(dòng)的邊際成本更大，而邊際收益兩者卻是一樣的。第三講 配套習(xí)題及答案1.在我們的講義的實(shí)例中曾描述了一個(gè)兩期模型，現(xiàn)在，若在這個(gè)兩期模型中的期效用函數(shù)成為：（1）.試推導(dǎo)出歐拉方程。（2）.試求代表性消費(fèi)者的最優(yōu)消費(fèi)組合（c*1,c*2,b*1）（3）.試求均衡的利率r*。（1）歐拉方程為因?yàn)樗砸蚨校海?）我們有三個(gè)未知數(shù)，但相應(yīng)的也有三個(gè)方程，一個(gè)是歐拉方程，另兩個(gè)就是約束條件。求解得：（3）在均衡時(shí)，b*1=0，因此：2.假設(shè)瑪麗只生活兩期。在每一期里她都可以不勞而獲地得到一些消費(fèi)品：第一期記為e1；第二期記為e2。她對(duì)兩期消費(fèi)品的偏好可由如下的效用函數(shù)來(lái)表達(dá)：u(c1,c2)=ln(c1)+ ln(c2)，其中，c1和c2分別是她在第一期和第二期的消費(fèi)；是一個(gè)間于0和1之間的參數(shù)，表示的是時(shí)間偏好。當(dāng)然，如果瑪麗覺(jué)得第一期的稟賦，也即e1太多，她是可以把它儲(chǔ)蓄起來(lái)，以供第二期消費(fèi)的。我們把她儲(chǔ)蓄的數(shù)量記為 s。非常不幸，老鼠會(huì)偷吃她儲(chǔ)蓄的物品，因此，假如她在第一期儲(chǔ)蓄s單位的物品，在第二期她只能得到(1-)單位，其中，是一個(gè)間于0和1之間的參數(shù)。a.試寫(xiě)出瑪麗的最優(yōu)化問(wèn)題。（你應(yīng)該描述出她的選擇變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件。）b.試求解最優(yōu)化問(wèn)題的解。（當(dāng)然，你應(yīng)給把諸如e1、e2