屈服假塑性流體軸向同心環(huán)空中速度及溫度分布研究

1、屈服假塑性流體軸向同心環(huán)空中速度及溫度分布研究李兆敏張平(石油大學(xué)(華東)石油工程學(xué)院山東東營(yíng)257061)摘要:赫謝爾,巴爾克萊(Herschel-Bulkley)流變模式是一個(gè)三參數(shù)模式，因其精度較高，近幾年國(guó)內(nèi)多采用其描述鉆井液的流變性。本文將非牛頓流體動(dòng)量方程、能量方程與H-B流體的本構(gòu)方程相結(jié)合，推導(dǎo)出了流體在軸向同心環(huán)空中的速度及溫度分布公式。數(shù)值研究結(jié)果表明，由于H-B屈服應(yīng)力的作用，軸向同心環(huán)空內(nèi)存在柱塞流動(dòng)，柱塞的大小與H-B,0*,p屈服應(yīng)力成正比，與單位管長(zhǎng)壓力降成反比。在其它相同條件下，柱塞速度隨環(huán)空,0L尺寸的增大而增大。隨著流變指數(shù)的增大，流核速度變小。柱塞內(nèi)溫度呈

2、對(duì)數(shù)曲線變化，柱塞外側(cè)溫度與內(nèi)側(cè)溫度不相同，從柱塞邊界到管壁，溫度逐漸減小。越靠近管壁，溫度降低幅度越大。主題詞H-B流體環(huán)空管流柱塞流速度分布溫度分布中圖分類號(hào):TE249文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A1. 前言在石油工業(yè)中，經(jīng)常會(huì)遇到非牛頓流體，例如，我國(guó)多數(shù)油田生產(chǎn)的“三高”原油、在石油開采中用到的鉆井泥漿及“三次采油”中大量使用的聚合物水溶液等液體，均為非牛頓,1流體。非牛頓流體的流動(dòng)往往與傳熱聯(lián)系在一起，因此研究非牛頓流體在圓管、環(huán)空中的流動(dòng)及傳熱規(guī)律，具有重要意義。赫謝爾,巴爾克萊流變模式在國(guó)內(nèi)俗稱帶屈服值的冪律模式，是一個(gè)三參數(shù)模式。因其,2綜合了賓漢和冪律兩個(gè)流變模式的特點(diǎn)，能較好地反映鉆井液

3、的流變性。而已進(jìn)行的研究表明，對(duì)非牛頓流體流動(dòng)特性研究的比較多，由于能量方程和動(dòng)量方程相耦合而引起的數(shù)學(xué)求解的復(fù)雜性，文獻(xiàn)調(diào)研發(fā)現(xiàn)研究者對(duì)其傳熱規(guī)律的研究相對(duì)較少。樊洪海、劉希圣研究,3了赫謝爾,巴爾克萊液體在直井中的穩(wěn)態(tài)波動(dòng)壓力計(jì)算模式;蔡均猛得出了圓管中赫,4巴流體的速度及溫度分布。本文將其本構(gòu)方程和非牛頓流體動(dòng)量方程、能量方程相結(jié)合，推導(dǎo)并分析其在軸向同心環(huán)空流動(dòng)情況下的速度和溫度分布。研究結(jié)果不僅豐富了流體力學(xué)和傳熱學(xué)的理論，同時(shí)對(duì)有關(guān)石油工程、化學(xué)工程中非牛頓流體的流動(dòng)及工程應(yīng)用具有一定的指導(dǎo)意義。2. 計(jì)算模型的建立2.1 物理模型考慮垂直放置軸向同心環(huán)空中的H-B流體在壓力梯度作

4、用下的流動(dòng)過程，如圖1。設(shè)環(huán)空外管內(nèi)徑為,，管壁溫度為,;內(nèi)管外徑為,，管壁溫度為,，r，r分別為柱塞的,2211121內(nèi)外半徑，流體自下而上，沿軸向流動(dòng)，為便于討論，作如下假設(shè)。1基金項(xiàng)目：山東省自然科學(xué)研究基金資助項(xiàng)目(Y98A11014)“非牛頓流體流動(dòng)和傳熱的耦合理論及應(yīng)用”作者簡(jiǎn)介:李兆敏，男，1965年生，1995年獲石油大學(xué)(北京)油氣井工程專業(yè)博士學(xué)位，現(xiàn)為石油大學(xué)1(1) 流動(dòng)為充分發(fā)展的穩(wěn)定層流流動(dòng);(2) 流體常物性;(3) 無滑移。zTTw1w2rr120,r12圖,H-B流體在圓管環(huán)空中的流動(dòng)2.2 數(shù)學(xué)模型(1) 動(dòng)量方程1 文獻(xiàn)給出了柱坐標(biāo)系下的非牛頓流體動(dòng)量方程

5、。根據(jù)假設(shè)條件，可將動(dòng)量方程簡(jiǎn)化為,r(,),p1,p,prz,，,g(其中)(1)r,r,z,z,z式(1)不僅適合非牛頓流體，對(duì)于不可壓縮的牛頓流體也適用;不僅適用于圓管流動(dòng)，也適用于同心環(huán)空流動(dòng)。(2) 能量方程,1文獻(xiàn)給出了柱坐標(biāo)系下的非牛頓流體能量方程。根據(jù)假設(shè)條件，可將能量方程簡(jiǎn)化為,T,u(2)(r)，,0rzr,r,r,r式中,熱傳導(dǎo)系數(shù)。(3)H-B流體的本構(gòu)方程,H-B流體受力后不能立即變形，只有當(dāng)外力足以克服H-B流體屈服應(yīng)力后，才能發(fā)0生剪切變形。其本構(gòu)方程為:,0,0,(3),n,，K,00,n,式(3)中，為屈服應(yīng)力，為稠度系數(shù)，為流性指數(shù)。K0在軸向同心環(huán)空流動(dòng)中

6、:,du,R,r,r,11,dr,0(4),r,r,r,12,du,drr,r,R,22,(華東)石油工程學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師。2其中r,r為環(huán)空柱塞的內(nèi)外徑(未知)。12,5這一流變模式，實(shí)際上包含了常見的幾種流變模式的情況:當(dāng)n=1時(shí)，液體為牛頓液體，,00，液體為塑性液體;,00當(dāng),0時(shí)，液體為假塑性液體，n,10，液體為膨脹性液體。(4) 邊界條件根據(jù)壁面無滑移及管壁保持恒溫的假設(shè)，可得到邊界條件:r,R,u,0,T,T1w1r,R,u,0,T,T(5)2w23. 模型的求解3.1 速度分布的求解流體在同心環(huán)空中的速度分布方程可在兩個(gè)特定區(qū)域內(nèi)解出。R,r,r在區(qū)域(環(huán)空內(nèi)側(cè)速梯區(qū)):

7、11,du,將(4)式中，代入H-B流體本構(gòu)方程，得：，drdunK(),，(6)0rzdr將(6)式代入動(dòng)量方程，得:,du,p1nr，K,(,()0r,rdr,z,du1p,n2r,，K(),r，C(7)01dr2z,1,pdu2C,r,rr,r,0根據(jù)邊界條件，確定(8)110112,zdrr,r1由流核表面的力平衡關(guān)系式可得,2,p,p0(9),zLr,r21將(8)和(9)式代入(7)式，得:21rrdur,11nu(10),，,1drrrrrrr,(,)212131,0nu,()式中，以下皆同。K積分(10)式，并將邊界條件代入，整理后得同心環(huán)空內(nèi)側(cè)速梯區(qū)的速度分布:21rrrr,

8、11nR,r,r(11)u,u,，,1dr111,R1rr,rr(r,r)2121r,r,R同理可得同心環(huán)空外側(cè)速梯區(qū)()的速度分布22,du,將(4)式中，代入H-B流體本構(gòu)方程，得：，drdun,，K,()(12)rz0dr將(12)式與動(dòng)量方程結(jié)合，得:21rrdur,22n(13)u,1drrrrrrr,(,)2121積分(13)式，并將邊界條件代入，整理后得同心環(huán)空外側(cè)速梯區(qū)的速度分布:21Rrrr2,22n(14)u,u，,1dr2,rrr,rr(r,r)2121r,r,r在區(qū)域(柱塞區(qū))12r,rr,ruu當(dāng)或時(shí)，有，即為流核速度，故由式(11)、u,u,12maxmax2r,r

9、1r,r12u(14)式，可得的表達(dá)式為max21rrrr1,11n(15)u,u,，,1drmax,R1rr,rr(r,r)2121或21Rrrr2,22n(16)u,u，,1drmax,r2rr,rr(r,r)2121rr聯(lián)立(9)、(15)、(16)三式可求出與的值，顯然此方程組為非線性方程組，幾乎沒12,6辦法給出解析解，本文利用數(shù)值方法求解了H-B流體在軸向同心環(huán)空中速度分布。3.2 溫度分布的求解由動(dòng)量方程(1)得:,1pC,r，(17)rz2zr,4dudu根據(jù)和，由(6)和(12)式，得,0,0drdrr,rr,r12，(18),rz0rz0r,rr,r12將(18)式，代入(

10、17)式，確定C,得:,rrp1,12r,(,)(19)rzzr2,dur,r,r在區(qū)域(柱塞區(qū))，,0，所以能量方程變?yōu)?12dr,T(r),0(20),r,r柱塞段溫度分布:T,Clnr，C(21)23R,r,r在區(qū)域(環(huán)空內(nèi)側(cè)速梯區(qū)):11將(10)和(19)式代入能量方程(2)，得:21rrTr,211n rArrr(),(,),，1,p10nA,() 其中，以下皆同。對(duì)上式進(jìn)行積分，得:21rrrr,Tr11211n d(r),A(r,rr),21rCrr,TAr12211n , ， (r,rr),積分，得 :21TrrCrrAr12211n dT, ， (r,rr),整理得 :,1

11、12rrrrrrrr,(,)2121,zk2,，,1dr12,rr,rrr,rr(r,r)2121整理得:,1dr12,r,rrrrr,rr(r,r)2121對(duì)上式進(jìn)行，,1drdr12,TRrw11rrrr,rr(r,r)212121rrrrrAr1211n(22)T,T，Cln，(r,rr),，,1drdrw1212,Rr1Rrrr,rr(r,r)12121r,r,R同理可得，環(huán)空外側(cè)()溫度分布:2221RrRrrAr22222n(23)T,T,Cln,(r,rr)，,1drdrw2212,rr2rrrr,rr(r,r)2121柱塞內(nèi)邊界溫度:21rrrrrAr112111nT,T，Cl

12、n，(r,rr),，,1drdrw011212,Rr1Rrrr,rr(r,r)12121,Clnr，C(24)213柱塞外邊界溫度:21RrRrrAr22222nT,T,Cln,(r,rr)，,1drdrw022212,rr22rrrr,rr(r,r)22121,Clnr，C(25)223聯(lián)立(24)、(25)式，可以解出C，C。23環(huán)空管路溫度分布:r,T(r)TCln,，w12,R1,21,rrR,r,rrrAr121111n，(r,rr),，,1drd,12,Rr1rrr,rr(r,r)2121,T(r),Clnr，C(26)r,r,r,2312,R2,T(r),T,Clnw22r,r,

13、r,R2221,RrrrAr2222n,(rrr)1drdr,，,12,rr2rrrrr(rr),2121,3.3 平均流速根據(jù)環(huán)形空間中截面平均流速的概念，根據(jù)(11)、(14)、(15)式可得斷面平均流速的表達(dá)式。QV,(27)22,(R,R)21流量QrR1222Q(28),2urdr，2urdr，u(r,r)12max21,Rr124. 分析和討論r,r當(dāng)管內(nèi)環(huán)空H-B流體流動(dòng)時(shí)，存在柱塞流動(dòng)。分析式(9),柱塞的大小()與21*,p,H-B流體的屈服應(yīng)力成正比，與成反比。顯然越大，與對(duì)應(yīng)的柱塞寬度就越大。000L6*,p另外，越大，管內(nèi)流量越大，在相同的H-B流體屈服應(yīng)力下，柱塞寬度

14、就越小。,0L4.1 考察屈服應(yīng)力對(duì)速度剖面的影響R,0.1524mR,0.0706m套管內(nèi)徑，鉆桿外徑，單位管長(zhǎng)壓力降21*,p,50.1Pa/m,取分別為0.342Pa,0.489Pa,0.684Pa,通過數(shù)值計(jì)算得到速度剖面,0L圖2。0.120.10*u/u0.08,=0.342Pa,=0.489Pa,=0.684Pa0.06,0.040.020.001.0無量綱半徑r/R2圖2屈服應(yīng)力對(duì)速度剖面的影響,從圖2中可以看出，隨著屈服應(yīng)力的逐漸增大(從0.342Pa到0.684Pa)，等速核的寬0度也逐漸增大。從式(9)也可以分析出，在壓力梯度保持不變的

15、情況下，柱塞寬度與屈服應(yīng)力服從線性關(guān)系。4.2 考察單位管長(zhǎng)壓力降對(duì)速度剖面的影響R,0.1524mR,0.0706m,0.342Pa套管內(nèi)徑，鉆桿外徑，取，單位管長(zhǎng)壓力210*,p,50.1Pa/m降分別為，74Pa/m,106Pa/m,通過數(shù)值計(jì)算得到速度剖面圖3。 L70.400.35*0.30u/u*,p/L=106Pa/m0.25*,p/L=74Pa/m*0.20,p/L=50Pa/m50.001.0無量綱半徑r/R2圖3壓力梯度對(duì)速度剖面的影響,0.342Pa從圖3可以看出，當(dāng)屈服應(yīng)力時(shí)，不同單位管長(zhǎng)壓力降下的H-B流體環(huán)0

16、*,p,空流動(dòng)均存在等速核。隨著的逐漸增大（由5074106Pa/m）,等速核的寬度逐漸L減小，這一數(shù)值計(jì)算的結(jié)果和理論分析是完全一致的。4.3 考察環(huán)空大小對(duì)柱塞速度的影響由圖4，可以看出在單位管長(zhǎng)壓力降和屈服應(yīng)力保持不變的情況下，柱塞速度隨著環(huán)空尺寸的增大而增大。由水力學(xué)基本原理也可以證實(shí)，在其它條件相同的情況下，環(huán)空尺寸增大，流動(dòng)阻力減小，流動(dòng)速度增大。8*0.14/umax0.12u0.100.080.060.040.020.00無量綱環(huán)空尺寸(R-R)/R212圖4環(huán)空尺寸對(duì)柱塞速度的影響4.4考察流變指數(shù)對(duì)速度剖面的影響R,0.1524mR,0.

17、0706m,0.342Pa套管內(nèi)徑，鉆桿外徑，取屈服應(yīng)力，單位210*,p,50.1Pa/m管長(zhǎng)壓力降，改變流變指數(shù)，得到流變指數(shù)對(duì)速度剖面的影響。從圖中L我們看出，隨著n值的增大，流核寬度變寬，并且流速減小。0.160.14*0.12u/u0.100.080.06n=0.7n=0.80.04n=0.90.020.001.0無量綱半徑r/R2圖5流變指數(shù)對(duì)速度剖面的影響4.5考察環(huán)空管路內(nèi)溫度分布假設(shè)內(nèi)管外壁和外管內(nèi)壁溫度恒定，且外管內(nèi)壁溫度等于內(nèi)管外壁溫度，作H-B流體環(huán)空管路的溫度分布圖。91.0)w0.8-T02)/(T0.6,=0.489Paw0*,

18、p/L=50Pa/mn=無量綱溫度(T-T0.01.0無量綱半徑r/R2圖6環(huán)空管路溫度分布從圖6可以看出由于剪切作用，存在摩擦功損失，故引起溫度變化。在軸向圓管流動(dòng)中的柱塞中，柱塞內(nèi)外側(cè)邊界溫度相同，且剪切應(yīng)力小于屈服應(yīng)力，其剪切速率為零，不存在摩擦功的損失，故溫度不變。但是在環(huán)空管路中，盡管其剪切速率為零，但是由于柱塞邊界溫度不同,其溫度是變化的，曲線為一對(duì)數(shù)曲線。在該計(jì)算實(shí)例中，柱塞外側(cè)溫度高于內(nèi)側(cè)溫度，是由于柱塞外側(cè)速梯區(qū)的剪切速率高于內(nèi)側(cè)速梯區(qū)的剪切速率，摩擦功損失增大，導(dǎo)8,9致柱塞外側(cè)溫度高于內(nèi)側(cè)溫度。從圖6，還可看出，從柱塞

19、邊界到管壁，溫度逐漸減小，而越靠近管壁，溫度變化越劇烈。這是因?yàn)樵娇拷鼙?，剪切?yīng)力越大，摩擦功損失越大。5. 結(jié)論,(1)當(dāng)管內(nèi)環(huán)空H-B流體流動(dòng)時(shí)，存在柱塞流動(dòng)。柱塞的大小與H-B屈服應(yīng)力成0*,pp,正比，與成反比。顯然越大，與對(duì)應(yīng)的柱塞寬度就越大。另外，越大，管00LL，內(nèi)流量越大，對(duì)應(yīng)相同的H-B屈服應(yīng)力，柱塞寬度就越小。柱塞寬度與環(huán)空尺寸大小無0關(guān)。(2) 柱塞速度隨著環(huán)空尺寸的增大而增大。(3) 柱塞速度隨著流變指數(shù)的增大而減小。(4) 柱塞內(nèi)溫度呈對(duì)數(shù)曲線變化，柱塞外邊界溫度一般不等于內(nèi)邊界溫度，而且從柱塞邊界到管壁溫度逐漸減小，越靠近管壁，溫度降低幅度越大。參考文獻(xiàn)10,1,

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