選修44參數(shù)方程

1、第二章 參數(shù)方程【課標要求】1、了解拋物運動軌跡的參數(shù)方程及參數(shù)的意義。2、理解直線的參數(shù)方程及其應(yīng)用；理解圓和橢圓（橢圓的中心在原點）的參數(shù)方程及其簡單應(yīng)用。3、會進行曲線的參數(shù)方程與普通方程的互化。第一課時 參數(shù)方程的概念一、教學目標：1通過分析拋物運動中時間與運動物體位置的關(guān)系，寫出拋物運動軌跡的參數(shù)方程，體會參數(shù)的意義。2分析曲線的幾何性質(zhì)，選擇適當?shù)膮?shù)寫出它的參數(shù)方程。二、教學重點：根據(jù)問題的條件引進適當?shù)膮?shù)，寫出參數(shù)方程，體會參數(shù)的意義。教學難點：根據(jù)幾何性質(zhì)選取恰當?shù)膮?shù)，建立曲線的參數(shù)方程。三、教學方法：啟發(fā)誘導(dǎo)，探究歸納四、教學過程（一）參數(shù)方程的概念xyOv=v01.問

2、題提出：鉛球運動員投擲鉛球，在出手的一剎那，鉛球的速度為，與地面成角，如何來刻畫鉛球運動的軌跡呢？2分析探究理解：（1）、斜拋運動：（2）、抽象概括：參數(shù)方程的概念。（見課本第27頁）說明：（1）一般來說，參數(shù)的變化范圍是有限制的。（2）參數(shù)是聯(lián)系變量x，y的橋梁，可以有實際意義，也可無實際意義。xy500OAv=100m/s（3）平拋運動：【課本P27頁例題】（4）思考交流：把引例中求出的鉛球運動的軌跡的參數(shù)方程消去參數(shù)t后，再將所得方程與原方程進行比較，體會參數(shù)方程的作用。（二）、應(yīng)用舉例：例1、（課本第28頁例1）已知曲線C的參數(shù)方程是 (t為參數(shù))（1）判斷點(0,1), (5,4)與

3、曲線C的位置關(guān)系；（2）已知點(6,a)在曲線C上，求a的值。分析：只要把參數(shù)方程中的t消去化成關(guān)于x,y的方程問題易于解決。學生練習。反思歸納：給定參數(shù)方程要研究問題可化為關(guān)于x,y的方程問題求解。例2、設(shè)質(zhì)點沿以原點為圓心，半徑為2的圓做勻速（角速度）運動，角速度為rad/s,試以時間t為參數(shù)，建立質(zhì)點運動軌跡的參數(shù)方程。解析：如圖，運動開始時質(zhì)點位于A點處，此時t=0，設(shè)動點M（x,y）對應(yīng)時刻t,由圖可知，得參數(shù)方程為。反思歸納：求曲線的參數(shù)方程的一般步驟。（三）、課堂練習：課本P28頁中練習題1、2（四）、小結(jié)：1本節(jié)學習的數(shù)學知識；2、本節(jié)學習的數(shù)學方法。學生自我反思、教師引導(dǎo)，抓

4、住重點知識和方法共同小結(jié)歸納、進一步深化理解。（五）、作業(yè)：課本P28頁中1、3 補充：設(shè)飛機以勻速v=150m/s作水平飛行，若在飛行高度h=588m處投彈（設(shè)投彈的初速度等于飛機的速度，且不計空氣阻力）。（1）求炸彈離開飛機后的軌跡方程；（2）試問飛機在離目標多遠（水平距離）處投彈才能命中目標。簡解：（1）。（2）1643m。五、教學反思：第二課時 圓的參數(shù)方程及應(yīng)用一、教學目標：知識與技能：分析圓的幾何性質(zhì)，選擇適當?shù)膮?shù)寫出它的參數(shù)方程。利用圓的幾何性質(zhì)求最值（數(shù)形結(jié)合）過程與方法：能選取適當?shù)膮?shù)，求圓的參數(shù)方程 情感、態(tài)度與價值觀：通過觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。

5、二、重難點：教學重點：能選取適當?shù)膮?shù)，求圓的參數(shù)方程xyOrMM0x教學難點：選擇圓的參數(shù)方程求最值問題.三、教學方法：啟發(fā)、誘導(dǎo)發(fā)現(xiàn)教學.四、教學過程：（一）、圓的參數(shù)方程探求1、學生閱讀課本P32,根據(jù)圖形求出圓的參數(shù)方程，教師準對問題講評。這就是圓心在原點、半徑為r的圓的參數(shù)方程。說明：（1）參數(shù)的幾何意義是OM與x軸正方向的夾角。（2）隨著選取的參數(shù)不同，參數(shù)方程形式也有不同，但表示的曲線是相同的。（3）在建立曲線的參數(shù)方程時，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。思考交流：你能回答課本第33頁的思考交流題嗎？3、若如圖取<PAX=，AP的斜率為K，如何建立圓的參數(shù)方程，同學們討論交流，

6、自我解決。并閱讀課本P33頁。結(jié)論：參數(shù)取的不同，可以得到圓的不同形式的參數(shù)方程。4，反思歸納：求參數(shù)方程的方法步驟。（二）、應(yīng)用舉例例1、【課本P33頁例3】已知兩條曲線的參數(shù)方程（1）、判斷這兩條曲線的形狀；（2）、求這兩條曲線的交點坐標。學生練習，教師準對問題講評。（二）、最值問題：利用圓的幾何性質(zhì)和圓的參數(shù)方程求最值（數(shù)形結(jié)合）例2、1、已知點P（x，y）是圓x2+y2- 6x- 4y+12=0上動點，求（1） x2+y2 的最值， （2）x+y的最值， （3）P到直線x+y- 1=0的距離d的最值。 解：圓x2+y2- 6x- 4y+12=0即（x- 3）2+（y- 2）2=1，用參

7、數(shù)方程表示為由于點P在圓上，所以可設(shè)P（3+cos，2+sin），（1） x2+y2 = (3+cos)2+(2+sin)2 =14+4 sin +6cos=14+2 sin( +). (其中tan =3/2) x2+y2 的最大值為14+2 ，最小值為14- 2 。(2) x+y= 3+cos+ 2+sin=5+ sin（ + ） x+y的最大值為5+ ，最小值為5 - 。(3)顯然當sin（ + ）= 1時，d取最大值，最小值，分別為， . 2、 過點(2,1)的直線中,被圓x2+y2-2x+4y=0截得的弦：為最長的直線方程是_；為最短的直線方程是_；3、若實數(shù)x,y滿足x2+y2-2x

8、+4y=0，則x-2y的最大值為 。（三）、課堂練習：學生練習：1、2（四）、小結(jié)：1、本課我們分析圓的幾何性質(zhì)，選擇適當?shù)膮?shù)求出圓的參數(shù)方程。2、參數(shù)取的不同，可以得到圓的不同形式的參數(shù)方程。從中體會參數(shù)的意義。3、利用參數(shù)方程求最值。要求大家掌握方法和步驟。（五）、作業(yè)：課本P39頁A組6、7、8 B組51、方程(t為參數(shù))所表示的一族圓的圓心軌跡是（D）A一個定點 B一個橢圓 C一條拋物線 D一條直線2、已知，則的最大值是6。8曲線的一個參數(shù)方程為五、教學反思：第三課時 圓錐曲線的參數(shù)方程一、教學目標：知識與技能：了解圓錐曲線的參數(shù)方程及參數(shù)的意義過程與方法：能選取適當?shù)膮?shù)，求簡單曲

9、線的參數(shù)方程 情感、態(tài)度與價值觀：通過觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。 二、重難點：教學重點：圓錐曲線參數(shù)方程的定義及方法教學難點：選擇適當?shù)膮?shù)寫出曲線的參數(shù)方程. 三、教學方法：啟發(fā)、誘導(dǎo)發(fā)現(xiàn)教學.四、教學過程：（一）、復(fù)習引入： 1寫出圓方程的標準式和對應(yīng)的參數(shù)方程。(1)圓參數(shù)方程 （為參數(shù)）（2）圓參數(shù)方程為： （為參數(shù)）2寫出橢圓、雙曲線和拋物線的標準方程。3能模仿圓參數(shù)方程的推導(dǎo)，寫出圓錐曲線的參數(shù)方程嗎？（二）、講解新課： 1.橢圓的參數(shù)方程推導(dǎo)：橢圓參數(shù)方程 （為參數(shù)）,參數(shù)的幾何意義是以a為半徑所作圓上一點和橢圓中心的連線與X軸正半軸的夾角。2.雙曲線的參數(shù)方程

10、的推導(dǎo)：雙曲線參數(shù)方程 （為參數(shù)）參數(shù)幾何意義為以a為半徑所作圓上一點和橢圓中心的連線與X軸正半軸的夾角。3.拋物線的參數(shù)方程：拋物線參數(shù)方程 （t為參數(shù)）,t為以拋物線上一點（X,Y）與其頂點連線斜率的倒數(shù)。（1）、關(guān)于參數(shù)幾點說明：A.參數(shù)方程中參數(shù)可以是有物理意義，幾何意義，也可以沒有明顯意義。B.同一曲線選取的參數(shù)不同，曲線的參數(shù)方程形式也不一樣C.在實際問題中要確定參數(shù)的取值范圍(2)、參數(shù)方程的意義：參數(shù)方程是曲線點的位置的另一種表示形式，它借助于中間變量把曲線上的動點的兩個坐標間接地聯(lián)系起來，參數(shù)方程與變通方程同等地描述，了解曲線，參數(shù)方程實際上是一個方程組，其中，分別為曲線上點

11、M的橫坐標和縱坐標。（3）、參數(shù)方程求法：（A）建立直角坐標系，設(shè)曲線上任一點P坐標為；（B）選取適當?shù)膮?shù)；（C）根據(jù)已知條件和圖形的幾何性質(zhì)，物理意義，建立點P坐標與參數(shù)的函數(shù)式；（D）證明這個參數(shù)方程就是所由于的曲線的方程(4)、關(guān)于參數(shù)方程中參數(shù)的選取：選取參數(shù)的原則是曲線上任一點坐標當參數(shù)的關(guān)系比較明顯關(guān)系相對簡單。與運動有關(guān)的問題選取時間做參數(shù)；與旋轉(zhuǎn)的有關(guān)問題選取角做參數(shù)；或選取有向線段的數(shù)量、長度、直線的傾斜斜角、斜率等。4、橢圓的參數(shù)方程常見形式：（1）、橢圓參數(shù)方程 （為參數(shù)）；橢圓的參數(shù)方程是（2）、以為中心焦點的連線平行于x 軸的橢圓的參數(shù)方程是。 （3）在利用研究橢圓

12、問題時，橢圓上的點的坐標可記作（acos,bsin）。（三）、鞏固訓(xùn)練1、曲線的普通方程為。2、曲線上的點到兩坐標軸的距離之和的最大值是（D）A B C1 D3、課本P36頁中2 4、P38頁中25、已知橢圓 (為參數(shù))求 （1）時對應(yīng)的點P的坐標 （2）直線OP的傾斜角（四）、小結(jié)：本課要求大家了解圓錐曲線的參數(shù)方程及參數(shù)的意義，能選取適當?shù)膮?shù)，求簡單曲線的參數(shù)方程，通過推到橢圓及雙曲線的參數(shù)方程，體會求曲線的參數(shù)方程方法和步驟，對橢圓的參數(shù)方程常見形式要理解和掌握。（五）、作業(yè)：課本P38頁中A組9、10 B組2、4五、教學反思：第四課時 圓錐曲線參數(shù)方程的應(yīng)用一、教學目標：知識與技能：

13、利用圓錐曲線的參數(shù)方程來確定最值，解決有關(guān)點的軌跡問題過程與方法：選擇適當?shù)膮?shù)方程求最值。 情感、態(tài)度與價值觀：通過觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。 二、重難點：教學重點：選擇適當?shù)膮?shù)方程求最值。教學難點：正確使用參數(shù)式來求解最值問題三、教學模式：講練結(jié)合，探析歸納四、教學過程：（一）、復(fù)習引入：通過參數(shù)簡明地表示曲線上任一點坐標將解析幾何中以計算問題化為三角問題，從而運用三角性質(zhì)及變換公式幫助求解諸如最值，參數(shù)取值范圍等問題。（二）、講解新課： 例1、【課本P39頁3】雙曲線 的兩焦點坐標是 。答案：（0，-4），（0，4）。學生練習。例2、【課本P39頁6】方程（t為參數(shù)）

14、的圖形是 雙曲線右支 。學生練習，教師準對問題講評。反思歸納：判斷曲線形狀的方法。例3、設(shè)P是橢圓在第一象限部分的弧AB上的一點，求使四邊形OAPB的面積最大的點P的坐標。分析：本題所求的最值可以有幾個轉(zhuǎn)化方向，即轉(zhuǎn)化為求的最大值或者求點P到AB的最大距離，或者求四邊形OAPB的最大值。學生練習，教師準對問題講評?！?時四邊形OAPB的最大值=6，此時點P為（3，2）?！坷?、【練習冊P33頁第11題】：分析：把雙曲線方程化為參數(shù)方程，設(shè)動點為M（sec,tan）建立二次函數(shù)可求解。學生練習。 【】（三）、鞏固訓(xùn)練1、7直線與圓相切，那么直線的傾斜角為（A）A或 B或 C或 D或2、橢圓 （）

15、與軸正向交于點A，若這個橢圓上存在點P，使OPAP，（O為原點），求離心率的范圍。3、拋物線的內(nèi)接三角形的一個頂點在原點，其重心恰是拋物線的焦點，求內(nèi)接三角形的周長。4、設(shè)P為等軸雙曲線上的一點，為兩個焦點，證明5、求直線與圓的交點坐標。解：把直線的參數(shù)方程代入圓的方程，得(1+t)2+(1-t)2=4,得t=±1,分別代入直線方程,得交點為（0，2）和（2，0）。（三）、小結(jié)：本節(jié)課我們利用圓錐曲線的參數(shù)方程來確定最值，解決有關(guān)點的軌跡問題，選擇適當?shù)膮?shù)方程正確使用參數(shù)式來求解最值問題，要求理解和掌握求解方法。（四）、作業(yè)：課本P39頁B組中4、5、7、8 練習：在拋物線的頂點，

16、引兩互相垂直的兩條弦OA，OB，求頂點O在AB上射影H的軌跡方程。五、教學反思： 第五課時 直線的參數(shù)方程一、教學目標：知識與技能：了解直線參數(shù)方程的條件及參數(shù)的意義 過程與方法：能根據(jù)直線的幾何條件,寫出直線的參數(shù)方程及參數(shù)的意義 情感、態(tài)度與價值觀：通過觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。 二重難點：教學重點：曲線參數(shù)方程的定義及方法教學難點：選擇適當?shù)膮?shù)寫出曲線的參數(shù)方程. 三、教學方法：啟發(fā)、誘導(dǎo)發(fā)現(xiàn)教學.四、教學過程（一）、復(fù)習引入： 1寫出圓方程的標準式和對應(yīng)的參數(shù)方程。圓參數(shù)方程 （為參數(shù)）（2）圓參數(shù)方程為： （為參數(shù)）2寫出橢圓參數(shù)方程.3復(fù)習方向向量的概念.提出問

17、題:已知直線的一個點和傾斜角,如何表示直線的參數(shù)方程?（二）、講解新課： 1、問題的提出：一條直線L的傾斜角是，并且經(jīng)過點P（2，3），如何描述直線L上任意點的位置呢？Y LMP QAO B C X 如果已知直線L經(jīng)過兩個定點Q（1，1），P（4，3），那么又如何描述直線L上任意點的位置呢？2、教師引導(dǎo)學生推導(dǎo)直線的參數(shù)方程：（1）過定點傾斜角為的直線的參數(shù)方程 （為參數(shù)）【辨析直線的參數(shù)方程】：設(shè)M(x,y)為直線上的任意一點，參數(shù)t的幾何意義是指從點P到點M的位移，可以用有向線段數(shù)量來表示。帶符號.（2）、經(jīng)過兩個定點Q，P(其中)的直線的參數(shù)方程為YLPM NQ A B O X。其中點M

18、(X,Y)為直線上的任意一點。這里參數(shù)的幾何意義與參數(shù)方程（1）中的t顯然不同，它所反映的是動點M分有向線段的數(shù)量比。當時，M為內(nèi)分點；當且時，M為外分點；當時，點M與Q重合。（三）、直線的參數(shù)方程應(yīng)用，強化理解。 1、例題：例1、【課本P31頁例1】；例2、【課本P31頁例2】學生練習，教師準對問題講評。反思歸納：1、求直線參數(shù)方程的方法；2、利用直線參數(shù)方程求交點。2、鞏固導(dǎo)練：課本P32頁練習2、3題。補充：1、直線與圓相切，那么直線的傾斜角為（A）A或 B或 C或 D或2、(2009廣東理)（坐標系與參數(shù)方程選做題）若直線與直線（為參數(shù)）垂直，則 解：直線化為普通方程是，該直線的斜率為

19、， 直線（為參數(shù)）化為普通方程是，該直線的斜率為，則由兩直線垂直的充要條件，得， 。（四）、小結(jié)：（1）直線參數(shù)方程求法；（2）直線參數(shù)方程的特點；（3）根據(jù)已知條件和圖形的幾何性質(zhì)，注意參數(shù)的意義。（五）、作業(yè)：課本P39習題A組3、4、5 B組2補充： (2009天津理)設(shè)直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線的方程為y=3x+4則與的距離為_ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【考點定位】本小題考查參數(shù)方程化為普通方程、兩條平行線間的距離，基礎(chǔ)題。解析：由題直線的普通方程為，故它與與的距離為。五、教學反思：第六課時 參數(shù)方程與普通方程互化一、教學目標：知識與技能：掌握參數(shù)方程化為普通方

20、程幾種基本方法過程與方法：選取適當?shù)膮?shù)化普通方程為參數(shù)方程 情感、態(tài)度與價值觀：通過觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。 二、重難點：教學重點：參數(shù)方程與普通方程的互化教學難點：參數(shù)方程與普通方程的等價性三、教學方法：啟發(fā)、誘導(dǎo)發(fā)現(xiàn)教學.四、教學過程：（一）、復(fù)習引入：（1）、圓的參數(shù)方程；（2）、橢圓的參數(shù)方程；（3）、直線的參數(shù)方程；（4）、雙曲線的參數(shù)方程。（二）、新課探究： 1、參數(shù)方程化為普通方程的過程就是消參過程常見方法有三種：（1） 代入法：利用解方程的技巧求出參數(shù)t，然后代入消去參數(shù)（2） 三角法：利用三角恒等式消去參數(shù)（3） 整體消元法：根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征，

21、從整體上消去?；瘏?shù)方程為普通方程為：在消參過程中注意變量、取值范圍的一致性，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定和值域得、的取值范圍。2、探析常見曲線的參數(shù)方程化為普通方程的方法，體會互化過程，歸納方法。（1）圓參數(shù)方程 （為參數(shù)）（2）圓參數(shù)方程為： （為參數(shù)）（3）橢圓參數(shù)方程 （為參數(shù)）（4）雙曲線參數(shù)方程 （為參數(shù)）（5）拋物線參數(shù)方程 （t為參數(shù)）（6）過定點傾斜角為的直線的參數(shù)方程 （為參數(shù)）3、教師指導(dǎo)學生閱讀練習冊P35，理解參數(shù)方程與普通方程的區(qū)別于聯(lián)系及互化要求。（二）、例題探析例1、【課本P40例1題】將下列參數(shù)方程化為普通方程（1） （2）（3） （4） （5）學生練習，教師

22、準對問題講評，反思歸納方法。例2化下列曲線的參數(shù)方程為普通方程，并指出它是什么曲線。（1） （t是參數(shù)） （2） （是參數(shù)）（3） （t是參數(shù)）學生練習，教師準對問題講評，反思歸納方法。例3、已知圓O半徑為1，P是圓上動點，Q（4，0）是軸上的定點，M是PQ的中點，當點P繞O作勻速圓周運動時，求點M的軌跡的參數(shù)方程。學生練習，教師準對問題講評，反思歸納方法。（三）、鞏固導(dǎo)練： 1、（1）方程 表示的曲線（ ）。 A、一條直線 B、兩條射線 C、一條線段 D、拋物線的一部分（2）下列方程中，當方程表示同一曲線的點A、 B、 C、 D、2、P是雙曲線 （t是參數(shù)）上任一點，是該焦點：求F1F2的重心G的軌跡的普通方程。3、 已知為圓上任意一點，求的最大值和最小值。（四）、小結(jié)：本節(jié)課學習了以下內(nèi)容：熟練理解和掌握把參數(shù)方程化為普通方程的幾種方法。抓住重點題目反思歸納方法，進一步深化理解。（五）、作業(yè)