數(shù)值分析第二章 插值法

1、Ch2 插值法插值法/* Interpolation */插值就是利用鄰近點上已知函數(shù)值的加權(quán)平插值就是利用鄰近點上已知函數(shù)值的加權(quán)平均來估計未知函數(shù)值均來估計未知函數(shù)值當精確函數(shù)當精確函數(shù) y = f(x) 非常復(fù)雜或未知時，在一非常復(fù)雜或未知時，在一系列節(jié)點系列節(jié)點 x0 xn 處測得函數(shù)值處測得函數(shù)值 y0 = f(x0), yn = f(xn)，由此構(gòu)造一個簡單易算的近似函，由此構(gòu)造一個簡單易算的近似函數(shù)數(shù) P(x) f(x)，滿足條件，滿足條件P(xi) = f(xi) (i = 0, n)。這里的。這里的 P(x) 稱為稱為f(x) 的的插值函數(shù)插值函數(shù)。最常。最常用的插值函數(shù)是用

2、的插值函數(shù)是 ?多項式多項式x0 x1x2x3x4xP(x) f(x)1 拉格朗日多項式拉格朗日多項式 /* Lagrange Polynomial */niyxPiin,., 0,)(= = =求求 n 次多項式次多項式 使得使得nnnxaxaaxP = =10)(條件：條件：無重合節(jié)點，即無重合節(jié)點，即jixx ji n = 1已知已知 (x0 , y0);( x1 , y1) ，求，求xaaxP101)( = =使得使得111001)(,)(yxPyxP= = =幾何意義幾何意義: P1(x) 是過是過 ( x0 , y0 ) 和和 ( x1, y1 ) 兩點的直線。兩點的直線。此時為線

3、性插值此時為線性插值1 拉格朗日多項式拉格朗日多項式 /* Lagrange Polynomial */niyxPiin,., 0,)(= = =求求 n 次多項式次多項式 使得使得nnnxaxaaxP = =10)(條件：條件：無重合節(jié)點，即無重合節(jié)點，即jixx ji n = 1已知已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求，求xaaxP101)( = =使得使得111001)(,)(yxPyxP= = =可見可見 P1(x) 是過是過 ( x0 , y0 ) 和和 ( x1, y1 ) 兩點的直線。兩點的直線。)()(0010101xxxxyyyxP- - - - = =101xxx

4、x- - -010 xxxx- - -= y0 + y1l0(x)l1(x) = = =10)(iiiyxl稱為稱為拉氏基函數(shù)拉氏基函數(shù) /* Lagrange Basis */，滿足條件滿足條件 li(xj)= ij /* Kronecker Delta */1 拉格朗日多項式拉格朗日多項式 /* Lagrange Polynomial */)cos()(0.0,1.2 xxfy=上的曲線考慮例例1 1 )(2 . 10 . 0 (a)110 xPxx構(gòu)造線性插值多項式和利用節(jié)點=)(0 . 12 . 0 (b)110 xQxx構(gòu)造線性插值多項式和利用節(jié)點=例例2 2 1.3010,1g20

5、1,lg10 =已知的近似值利用插值一次多項式求lg121 拉格朗日多項式拉格朗日多項式 /* Lagrange Polynomial */n = 2已知已知 (xk-1 , yk-1)、 (xk , yk)和和(xk+1 , yk+1) ，求，求22102)(xaxaaxP=使得使得幾何意義幾何意義: P2(x) 是過已知三點是過已知三點 (xk-1 , yk-1)、 (xk , yk)和和(xk+1 , yk+1) 的拋物線的拋物線P2 (xk-1)=yk-1， P2 (xk)= yk和和 P2(xk+1)=yk+1 1 Lagrange Polynomialn 1希望找到希望找到li(x

6、)，i = 0, , n 使得使得 li(xj)= ij ；然后令；然后令 = = =niiinyxlxP0)()(，則顯然有，則顯然有Pn(xi) = yi 。li(x)每個每個 li 有有 n 個根個根 x0 xi xn = =- -= =- - - -= =njj i jiniiixxCxxxxxxCxl00)().().()( - -= = =j i jiiiixxCxl)(11)(= = - - -= =njijjijixxxxxl0)()()( = = =niiinyxlxL0)()(Lagrange Polynomial與與 有關(guān)，而與有關(guān)，而與 無關(guān)無關(guān)節(jié)點節(jié)點f1 Lagra

7、nge Polynomial定理定理 (唯一性唯一性) 滿足滿足 的的 n 階插值多階插值多項式是唯一存在的。項式是唯一存在的。niyxLii,., 0,)(=證明：證明：反證：若不唯一，則除了反證：若不唯一，則除了Ln(x) 外還有另一外還有另一 n 階多項階多項式式 Pn(x) 滿足滿足 Pn(xi) = yi ?？疾炜疾?則則 Qn 的階數(shù)的階數(shù), )()()(xLxPxQnnn-= n而而 Qn 有有 個不同的根個不同的根n + 1x0 xn一個次數(shù)小于等于一個次數(shù)小于等于n的多項式的多項式Qn(x)至多有至多有n個根個根 1 Lagrange Polynomial定理定理 (唯一性唯

8、一性) 滿足滿足 的的 n 階插值多階插值多項式是唯一存在的。項式是唯一存在的。niyxLii,., 0,)(=證明：證明：注：注：若不將多項式次數(shù)限制為若不將多項式次數(shù)限制為 n ，則插值多項式，則插值多項式不唯一不唯一。例如例如 也是一個插值也是一個插值多項式，其中多項式，其中 可以是任意多項式?？梢允侨我舛囗検健? =- - = =niinxxxpxLxP0)()()()()(xp推論推論1 Lagrange Polynomial 插值余項插值余項 /* Remainder */設(shè)節(jié)點設(shè)節(jié)點)1( nf在在a , b內(nèi)存在內(nèi)存在, 考察截斷誤差考察截斷誤差)()()(xLxfxRnn-

9、-= =上連續(xù)在,)()(baxfnbxxxan 10定理定理 ,)(,)()()(）內(nèi)內(nèi)存存在在在在（上上連連續(xù)續(xù)，在在設(shè)設(shè)baxfbaxfnn1的的是是滿滿足足條條件件節(jié)節(jié)點點jjnnnyxLxLbxxxa=)()(,10插插值值余余項項則則對對任任何何插插值值多多項項式式,bax)()!1()()()()(1)1(xnfxLxfxRnnnn=-=,),(xba且且依依賴賴于于這這里里)()()(101nnxxxxxxx-=1 Lagrange Polynomial 插值余項插值余項 /* Remainder */設(shè)節(jié)點設(shè)節(jié)點)1( nf在在a , b內(nèi)存在內(nèi)存在, 考察截斷誤差考察截斷誤

10、差)()()(xLxfxRnn- -= =上連續(xù)在,)()(baxfnbxxxan 10Rolles Theorem: 若若 充分光滑，充分光滑， ，則，則存在存在 使得使得 。)(x 0)()(10= = =xx ),(10 xx 0)(= = 推廣：推廣：若若0)()()(210= = = =xxx ),(),(211100 xxxx 使得使得0)()(10= = = = ),(10 使得使得0)(= = ),(, 0)()(baxxn=0)()(0= = = =nxx 1 Lagrange PolynomialRn(x) 至少有至少有 個根個根n+1 = =- -= =niinxxxKx

11、R0)()()(任意固定任意固定 x xi (i = 0, , n), 考察考察 = =- - -= =niixtxKtRnt0)()()()( (x)有有 n+2 個不同的根個不同的根 x0 xn x),(, 0)()1(baxxn = = !)1()()()1(-nxKRxnn 注意這里是對注意這里是對 t 求導(dǎo)求導(dǎo)= = - - - !)1)()()()1()1(nxKLfxnnxn !)1()()()1( = = nfxKxn = = - - = =niixnnxxnfxR0)1()(! ) 1()()( 1 Lagrange Polynomial注：注： 通常不能確定通常不能確定 x

12、 , 而是估計而是估計 , x (a,b) 將將 作為誤差估計上限。作為誤差估計上限。1)1()( nnMxf= = - - niinxxnM01|)!1(當當 f(x) 為任一個次數(shù)為任一個次數(shù) n 的的多項式多項式時，時， , 可知可知 ，即插值多項式對于次數(shù)，即插值多項式對于次數(shù) n 的的多項多項式是式是精確精確的。的。0)()1( xfn0)( xRn1 Lagrange Polynomial例：例：已知已知233sin,214sin,216sin= = = = 分別利用分別利用 sin x 的的1次、次、2次次 Lagrange 插值計算插值計算 sin 50 并估計誤差。并估計誤差

13、。 解：解：0 x1x2x185500 =n = 1分別利用分別利用x0, x1 以及以及 x1, x2 計算計算4,610 =xx利用利用216/4/6/214/6/4/)(1 - - - - - -= = xxxL這里這里)3,6(,sin)(,sin)()2( - -= = =xxxfxxf而而)4)(6(!2)()(,23sin21)2(1 - - -= = xxfxRxx00762. 0)185(01319. 01- - - - Rsin 50 = 0.7660444)185(50sin10 L0.77614外推外推 /* extrapolation */ 的實際誤差的實際誤差 -

14、-0.010010.010013,421 = = =xx利用利用sin 50 0.76008, 00660. 018500538. 01 R內(nèi)插內(nèi)插 /* interpolation */ 的實際誤差的實際誤差 0.005960.00596內(nèi)插通常優(yōu)于外推。選擇內(nèi)插通常優(yōu)于外推。選擇要計算的要計算的 x 所在的區(qū)間的所在的區(qū)間的端點，插值效果較好。端點，插值效果較好。1 Lagrange Polynomialn = 223)()(21)()(21)()()(4363463464363646342 - - - - - - - - - - - - - - -= = xxxxxxxL)185(50s

15、in20 L0.7654323cos21;)3)(4)(6(!3cos)(2 - - - - -= =xxxxxxR 00077. 018500044. 02 Rsin 50 = 0.76604442次插值的實際誤差次插值的實際誤差 0.000610.00061高次插值通常優(yōu)于高次插值通常優(yōu)于低次插值低次插值但絕對不是次數(shù)越但絕對不是次數(shù)越高就越好，嘿高就越好，嘿嘿嘿課堂作業(yè)課堂作業(yè)1.的的二二次次插插值值多多項項式式求求時時當當)(, 4 , 3, 0)(2 , 1, 1xfxfx-=-=,2.構(gòu)構(gòu)造造出出的的和和已已知知由由數(shù)數(shù)據(jù)據(jù))2 , 2()3 , 1 (), 5 . 0(),0 ,

16、 0(yyxxP試試確確定定數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的系系數(shù)數(shù)是是的的三三次次插插值值多多項項式式6,33)(3.ikikxxninikk =-=00)(:證證明明牛頓插值牛頓插值2 牛頓插值牛頓插值 /* Newtons Interpolation */Lagrange 插值雖然易算，但若要增加一個節(jié)點時，插值雖然易算，但若要增加一個節(jié)點時，全部基函數(shù)全部基函數(shù) li(x) 都需重新算過。都需重新算過。的形式，希望每加一個節(jié)點時，的形式，希望每加一個節(jié)點時，將將 Ln(x) 改寫成改寫成.)()(102010 - - - - - xxxxaxxaa).(10- - - - nnxxxxa只附加一項只附加一

17、項上去即可。上去即可。? 差商差商( (亦稱均差亦稱均差) ) /* divided difference */),()()(,jijijijixxjixxxfxfxxf - - -= =1階差商階差商 /* the 1st divided difference of f w.r.t. xi and xj */)(,kixxxxfxxfxxxfkikjjikji - - -= =2階差商階差商2 Newtons Interpolation1102001100,.,.,.,.,.,- - - - - -= =- - -= =kkkkkkkK-1K-1kxxxxfxxxfxxxxxfxxxfxxf

18、(k)階差商：階差商： = = = =kiikikxxfxxf010)()(,., 事實上事實上其中其中,)()(01= = - -= =kiikxxx = = - -= = kijjjiikxxx01)()( Warning: my head is explodingWhat is the point of this formula?差商的值與差商的值與 xi 的順序無關(guān)！的順序無關(guān)！2 Newtons Interpolation 牛頓插值牛頓插值 /* Newtons Interpolation */,)()()(000 xxfxxxfxf- - = =,)(,101100 xxxfxxx

19、xfxxf- - = =,.,)(,.,.,0010nnnnxxxfxxxxfxxxf- - = =- -).(.)()()(10102010- - - - - - - - - = =nnnxxxxaxxxxaxxaaxN12 n- -11+ (x - - x0) 2+ + (x - - x0)(x - - xn- -1) n- -1.)(,)(,)()(102100100 - - - - - = =xxxxxxxfxxxxfxfxf).(,.,100- - - - nnxxxxxxf)().(,.,100nnnxxxxxxxxxf- - - - - -Nn(x)Rn(x)ai = f x0,

20、 , xi 2 Newtons Interpolation注：注： 由由唯一性可知唯一性可知 Nn(x) Ln(x)， 只是算法不同，故其只是算法不同，故其余項也相同，即余項也相同，即)(!)1()()(,.,1)1(10 xnfxxxxfkxnkn = = ),(,!)(,.,maxmin)(0 xxkfxxfkk = = 實際計算過程為實際計算過程為f (x0)f (x1)f (x2)f (xn- -1)f (xn)f x0, x1f x1, x2 f xn- -1, xnf x0, x1 , x2 f xn- -2, xn- -1, xnf x0, , xn f (xn+1) f xn,

21、 xn+1 f xn- -1, xn, xn+1 f x1, , xn+1 f x0, , xn+1課堂作業(yè)課堂作業(yè)1.構(gòu)造出的和已知由數(shù)據(jù))2 , 2()3 , 1 (), 5 . 0(),0 , 0(yyxxP試確定數(shù)據(jù)的系數(shù)是的三次插值多項式6,33)(2.數(shù)值表給出xxfln)(=0.40.50.60.70.8-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144xxln的近似值算線性插值和二次插值計利用54. 0lnNewton等距節(jié)點插值等距節(jié)點插值2 Newtons Interpolation 等距節(jié)點公式等距節(jié)點公式 /* Formulae

22、with Equal Spacing */向前差分向前差分 /* forward difference */iiifff- -= = 1ikikikikffff1111)(- - - - - - - = = = = 向后差分向后差分 /* backward difference */111- - - - - - = = ikikikfffi- -1iifff- -= = 中心差分中心差分 /* centered difference */212111- - - - - -= =ikikikfff 其中其中)(221hiixff = = 當節(jié)點當節(jié)點等距等距分布時分布時:),.,0(0nihix

23、xi= = = =2 Newtons Interpolation 差分的重要性質(zhì)：差分的重要性質(zhì)： 線性：例如線性：例如gbfaxgbxfa = = )()( 若若 f (x)是是 m 次多項式，則次多項式，則 是是 次多項次多項式，而式，而 )0()(mkxfk km -)(0)(mkxfk = = 差分值可由函數(shù)值算出：差分值可由函數(shù)值算出： = =- - - -= = njjknjknfjnf0)1( = =- - - - -= = njnjkjnknfjnf0) 1(!)1).(1(jjnnnjn - - -= = 其中其中/* binomial coefficients */kkkh

24、kfxxf!,.,00 = =knkknnnhkfxxxf!,.,1 = =- - -kkkhff0)()( = = 由由 Rn 表達式表達式2 Newtons Interpolation牛頓公式牛頓公式).(,.,.)(,)()(1000100- - - - - - = =nnnxxxxxxfxxxxfxfxN 牛頓前差公式牛頓前差公式 /* Newtons forward-difference formula */ 牛頓后差公式牛頓后差公式 /* Newtons backward-difference formula */將節(jié)點順序倒置：將節(jié)點順序倒置：).(,.,.)(,)()(101x

25、xxxxxfxxxxfxfxNnnnnnnn- - - - - = =- -設(shè)設(shè)htxx = =0，則，則)()()(000 xfkthtxNxNknknn = = = = = =),(,).(1()!1()()(01)1(nnnnxxhntttnfxR - - - = = 設(shè)設(shè)htxxn = =，則，則)() 1()()(0nknkknnnxfkthtxNxN - - -= = = = = =注：注：一般當一般當 x 靠近靠近 x0 時用前插，靠近時用前插，靠近 xn 時用后插，故兩時用后插，故兩種公式亦稱為種公式亦稱為表初公式表初公式和和表末公式表末公式。課堂作業(yè)課堂作業(yè)1.給給出出數(shù)數(shù)據(jù)

26、據(jù)表表如如下下0.20.40.60.81.01.2212523202124x)(xf的的近近似似值值用用三三次次插插值值多多項項式式計計算算)7 . 0() 1 (f的的近近似似值值用用二二次次插插值值多多項項式式計計算算). 0()2(95f4 分段低次插值分段低次插值 /* piecewise polynomial approximation */問題提出：問題提出：隨著插值節(jié)點數(shù)增加，插值多項式的次數(shù)也相應(yīng)增隨著插值節(jié)點數(shù)增加，插值多項式的次數(shù)也相應(yīng)增加，而對于高次插值容易帶來劇烈震蕩，帶來數(shù)值加，而對于高次插值容易帶來劇烈震蕩，帶來數(shù)值的不穩(wěn)定性。的不穩(wěn)定性。既要增加插值節(jié)點，減小插值

27、區(qū)間，又要不增加插值多項式既要增加插值節(jié)點，減小插值區(qū)間，又要不增加插值多項式的次數(shù)以減小誤差的次數(shù)以減小誤差分段插值分段插值4 Piecewise Polynomial Approximation 分段線性插值分段線性插值 /* piecewise linear interpolation */在每個區(qū)間在每個區(qū)間 上，用上，用1階多項式階多項式 (直線直線) 逼近逼近 f (x):,1 iixx11111)()( - - - - - -= = iiiiiiiiyxxxxyxxxxxPxf,for 1 iixxx記記 ，易證：當，易證：當 時，時，|max1iixxh- -= = 0h)()

28、(1xfxPh一致一致失去了原函數(shù)的光滑性。失去了原函數(shù)的光滑性。1.,5 , 011)(2上取等距插值節(jié)點在區(qū)間已知函數(shù)xxfy=)5 . 4(f它求出線性插值函數(shù)，并利用如下表。求區(qū)間上分段的近似值01234510.50.20.10.058820.03846x)(xf5 三次樣條三次樣條 /* Cubic Spline */高次插值函數(shù)計算量大高次插值函數(shù)計算量大,有劇烈震蕩，帶來數(shù)值的不有劇烈震蕩，帶來數(shù)值的不穩(wěn)定性。分段線性插值在分段點上僅連續(xù)而不光滑。穩(wěn)定性。分段線性插值在分段點上僅連續(xù)而不光滑。樣條函數(shù)樣條函數(shù)bxxxxanban=2101,個個插插值值節(jié)節(jié)點點，上上取取在在，則則

29、在在個個點點的的函函數(shù)數(shù)值值為為在在這這已已知知函函數(shù)數(shù))(1)(kkxfynxfy=滿滿足足次次樣樣條條插插值值函函數(shù)數(shù)的的上上函函數(shù)數(shù))()(,xSmxfyba=階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)；上上直直到到在在）（1),()(1-mbaxS；nkyxSkk, 1 , 0,)()2(=次次多多項項式式。是是上上，在在區(qū)區(qū)間間mxSnkxxkk)() 1, 1 , 0(,)3(1-=5 三次樣條三次樣條 /* Cubic Spline */定義定義設(shè)設(shè) 。三次樣條函數(shù)三次樣條函數(shù) , 且在每個且在每個 上為上為三次多項式三次多項式 /* cubic polynomial */。若它同。若它同時還滿足時還

30、滿足 ，則稱為，則稱為 f 的的三次樣條插值函三次樣條插值函數(shù)數(shù) /* cubic spline interpolant */.bxxxan= = = =.10,)(2baCxS ,1 iixx),., 0(),()(nixfxSii= = =f(x)H(x)S(x)5 Cubic Spline 構(gòu)造三次樣條插值函數(shù)的構(gòu)造三次樣條插值函數(shù)的三彎矩法三彎矩法 /* method of bending moment */在在 上，記上，記,1jjxx- -,1- - -= =jjjxxh,for )()(1jjjxxxxSxS- - = =對每個對每個j, 此為此為3次多項式次多項式則則 Sj”(

31、x) 為為 次多項式，需次多項式，需 個點的值確定之。個點的值確定之。12設(shè)設(shè) Sj”(xj- -1) = Mj- -1， Sj”(xj) = Mj 對應(yīng)力學(xué)中的對應(yīng)力學(xué)中的梁彎矩梁彎矩，故名，故名對于對于x xj- -1, xj 可可得到得到Sj”(x) =jjjjjjhxxMhxxM11- - - - - -積分積分2次，可得次，可得 Sj(x) 和和 Sj(x) ：jjjjjjjAhxxMhxxM - - - - - - - -2)(2)(21121Sj(x) =jjjjjjjjBxAhxxMhxxM - - - - - -6)(6)(3131Sj(x) =利用已知利用已知Sj(xj-

32、-1) = yj- -1 Sj(xj) = yj 可解可解5 Cubic SplinejjjjjjjhMMhyyA611- - - - - -= =jjjjjjjjjjjjhxxhMyhxxhMyBxA12211)6()6(- - - - - - - - -= = 下面解決下面解決 Mj ： 利用利用S 在在 xj 的的連續(xù)性連續(xù)性xj- -1, xj : Sj(x) =jjjjjjjjjjjhMMxxfhxxMhxxM6,2)(2)(112121- - - - - - - - - - - -1111211216,2)(2)( - - - - - - - -jjjjjjjjjjjhMMxxfh

33、xxMhxxMxj , xj+1: Sj+1(x) =利用利用Sj(xj) = Sj+1(xj)，合并關(guān)于，合并關(guān)于Mj- -1、 Mj、 Mj+1的同類項，并的同類項，并記記 , , , 整理整理后得到：后得到：11jjjjhhh=l l1jj-=l lm m),(6111jjjjjjjxxfxxfhhg-=211gMMMjjjjjj=-l lm m j 1n- -1即：有即：有 個未知數(shù)，個未知數(shù)， 個方程。個方程。n- -1n+1 = = - - - -110111122nnnnggMMl lm ml lm m還需還需2個個邊界條件邊界條件 /* boundary conditions

34、*/5 Cubic Spline 第第1類邊條件類邊條件 /* clamped boundary */： S(a) = y0， S(b) = yna , x1 : S1(x) =1011012112106,2)(2)(hMMxxfhaxMhxxM- - - - - - - -010110),(62gy0 xxfhMM= =- -= = nnnnnngxxfynhMM= =- -= = - - -),(6211類似地利用類似地利用 xn- -1, b 上的上的 Sn(x) 第第2類邊條件：類邊條件： S”(a) = y0” = M0， S”(b) = yn” = Mn這時：這時：nnnygyg

35、= = = = = =2,0;2,0000m ml l特別地，特別地，M0 = Mn = 0 稱為稱為自由邊界自由邊界 /* free boundary */，對應(yīng)的對應(yīng)的樣條函數(shù)稱為樣條函數(shù)稱為自然樣條自然樣條 /* Natural Spline */。 第第3類邊條件類邊條件 /* periodic boundary */ ： 當當 f 為為周期函數(shù)周期函數(shù)時，時， yn = y0 ， S(a+) = S(b- -) M0 = Mn = = - - -nnnnnnggMM111122112222m ml ll lm ml lm mm ml l5 Cubic Spline注：注：另有另有三轉(zhuǎn)

36、角法三轉(zhuǎn)角法得到樣條函數(shù)，即設(shè)得到樣條函數(shù)，即設(shè) Sj(xj) = mj，則，則易知易知xj- -1, xj 上的上的Sj(x) 就是就是Hermite函數(shù)函數(shù)。再利用。再利用S”的連續(xù)性，可導(dǎo)出關(guān)于的連續(xù)性，可導(dǎo)出關(guān)于mj 的方程組，加上邊界條件的方程組，加上邊界條件即可解。即可解。Cubic Spline 由由boundary conditions 唯一唯一確定。確定。收斂性：收斂性：若若 ，且，且 ，則，則,baCf Chhiiminmax一致一致S(x) f(x)0maxihas即即:提高精度只須提高精度只須增加節(jié)點增加節(jié)點, 而無須提高樣條階數(shù)。而無須提高樣條階數(shù)。穩(wěn)定性：穩(wěn)定性：只

37、要邊條件保證只要邊條件保證 | m m0 |, | l l0 |, | m mn |, | l l n | 2，則方程組系數(shù)陣為則方程組系數(shù)陣為SDD陣陣，保證數(shù)值穩(wěn)定。保證數(shù)值穩(wěn)定。HW: p.131 #4 #55 Cubic Spline Sketch of the Algorithm: Cubic Spline 計算計算 m mj , l l j , gj ; 計算計算 Mj (追趕法等追趕法等) ; 找到找到 x 所在區(qū)間所在區(qū)間 ( 即找到相應(yīng)的即找到相應(yīng)的 j ) ; 由該區(qū)間上的由該區(qū)間上的 Sj(x) 算出算出 f(x) 的近似值。的近似值。插值法小結(jié)插值法小結(jié) Lagrange : 給出給出 y0 yn，選基函數(shù)，選基函數(shù) li(x)，其次數(shù)為，其次數(shù)為 節(jié)點數(shù)節(jié)點數(shù) 1。 Newton Ln(x)，只是形式不同；節(jié)點等距或漸增節(jié)點只是形式不同；節(jié)點等距或漸增節(jié)點時方便處理。時方便處理。 Spline：分段低次：分段低次, 自身光滑自身光滑, f 的導(dǎo)數(shù)只在邊界給出。的導(dǎo)數(shù)只在邊界給出。 課堂作業(yè)課堂作業(yè)1.給給出出數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)表表如如下下0.250.300.390.450.530.50000.54770.62450.67080.7280 x)(xf，并并滿滿足足條條件件：試試求求三三次次樣樣條條插插值值)(xS6868. 0)5